线性代数试卷及答案

线性代数试卷及答案

一、单项选择题1.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值为（）A.-2B.2C.-1D.1答案：A2.若\(n\)阶方阵\(A\)可逆，则下列说法错误的是（）A.\(A\)的秩为\(n\)B.\(\vertA\vert\neq0\)C.\(A\)可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵D.\(A\)的列向量组线性相关答案：D3.设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是三维向量空间\(R^3\)的一组基，则下列向量组中，不能作为\(R^3\)的基的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)答案：C4.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，则\(A\)的特征值为（）A.1，2，3B.0，1，2C.1，1，1D.3，2，1答案：A5.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(B\)是\(n\timesm\)矩阵，则（）A.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)B.\(\vertAB\vert=\vertBA\vert\)C.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)D.\(r(AB)=r(A)+r(B)\)答案：C6.齐次线性方程组\(Ax=0\)（\(A\)为\(m\timesn\)矩阵）有非零解的充分必要条件是（）A.\(A\)的行向量组线性相关B.\(A\)的列向量组线性相关C.\(A\)的行向量组线性无关D.\(A\)的列向量组线性无关答案：B7.设矩阵\(A\)与\(B\)相似，则下列说法正确的是（）A.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量B.\(A\)与\(B\)有相同的特征值C.\(A\)与\(B\)有相同的行列式D.\(A\)与\(B\)有相同的秩答案：B8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&2\\3&2&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)答案：A9.设\(A\)是正交矩阵，则下列说法错误的是（）A.\(\vertA\vert=1\)B.\(A^TA=I\)C.\(A\)的列向量组是单位正交向量组D.\(A\)的行向量组是单位正交向量组答案：A10.若矩阵\(A\)满足\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值为（）A.0或1B.-1或1C.0或-1D.2或1答案：A二、多项选择题1.下列关于矩阵运算的说法正确的是（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（当\(AB=BA\)时）C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)（\(k\)为常数）D.\(A(B+C)=AB+AC\)答案：ACD2.设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，则下列说法正确的是（）A.存在不全为零的数\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)B.\(\alpha_1\)可以由\(\alpha_2,\alpha_3\)线性表示C.\(\alpha_2\)可以由\(\alpha_1,\alpha_3\)线性表示D.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的秩小于3答案：AD3.对于\(n\)阶方阵\(A\)，以下哪些条件等价于\(A\)可逆（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(A\)的秩为\(n\)C.\(A\)可以表示为若干个初等矩阵的乘积D.齐次线性方程组\(Ax=0\)只有零解答案：ABCD4.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(B\)是\(n\timess\)矩阵，则（）A.\(r(AB)\leqr(A)\)B.\(r(AB)\leqr(B)\)C.若\(A\)是可逆矩阵，则\(r(AB)=r(B)\)D.若\(B\)是可逆矩阵，则\(r(AB)=r(A)\)答案：ABCD5.下列关于特征值与特征向量的说法正确的是（）A.若\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，则\(\lambda\)满足\(\vert\lambdaI-A\vert=0\)B.若\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则\(A\xi=\lambda\xi\)C.矩阵\(A\)的不同特征值对应的特征向量线性无关D.若\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，则\(k\lambda\)是矩阵\(kA\)（\(k\)为常数）的特征值答案：ABC6.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)\)，则以下哪些是将其化为标准形的方法（）A.配方法B.正交变换法C.初等变换法D.克莱姆法则答案：ABC7.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的迹（主对角线元素之和）B.\(A\)与\(B\)有相同的秩C.\(A\)与\(B\)有相同的行列式D.\(A\)与\(B\)有相同的特征多项式答案：ABCD8.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关的充分必要条件是（）A.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意一个向量都不能由其余向量线性表示B.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩等于\(s\)C.存在一组不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\neq0\)D.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的极大线性无关组就是它本身答案：ABD9.设\(A\)是\(n\)阶对称矩阵，则（）A.\(A\)的特征值都是实数B.属于\(A\)的不同特征值的特征向量正交C.存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)为对角矩阵D.\(A\)一定合同于单位矩阵答案：ABC10.以下关于线性方程组的说法正确的是（）A.非齐次线性方程组\(Ax=b\)有解的充分必要条件是\(r(A)=r(A|b)\)B.齐次线性方程组\(Ax=0\)的基础解系所含向量个数为\(n-r(A)\)（\(n\)为未知数个数）C.若非齐次线性方程组\(Ax=b\)有解，则其解唯一当且仅当\(r(A)=n\)（\(n\)为未知数个数）D.非齐次线性方程组\(Ax=b\)的通解等于它的一个特解加上对应的齐次线性方程组\(Ax=0\)的通解答案：ABCD三、判断题1.若矩阵\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的列向量组一定线性相关。（√）2.两个矩阵\(A\)和\(B\)，如果\(AB=BA\)，则\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（√）3.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，向量组\(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关，则\(\alpha_4\)一定可以由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示。（×）4.矩阵\(A\)的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。（√）5.若\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，那么对于任意非零常数\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)对应于\(\lambda\)的特征向量。（√）6.正交矩阵的行列式的值一定为1。（×）7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)是正定二次型。（×）8.若\(A\)与\(B\)相似，且\(A\)可逆，则\(B\)也可逆，且\(A^{-1}\)与\(B^{-1}\)相似。（√）9.齐次线性方程组\(Ax=0\)中，若\(A\)的列数大于行数，则方程组必有非零解。（√）10.对于\(n\)阶方阵\(A\)，若\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值只能是0或1。（√）四、简答题1.简述矩阵可逆的判定方法。答：矩阵可逆的判定方法有多种。首先，\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件是其行列式\(\vertA\vert\neq0\)；其次，\(A\)的秩等于\(n\)时可逆；还可以看\(A\)能否表示为若干个初等矩阵的乘积；另外，齐次线性方程组\(Ax=0\)只有零解也等价于\(A\)可逆；若存在矩阵\(B\)使得\(AB=BA=I\)，则\(A\)可逆。2.说明如何求向量组的极大线性无关组。答：求向量组的极大线性无关组，一般先将向量组按列构成矩阵\(A\)。然后对\(A\)进行初等行变换化为行阶梯形矩阵。从行阶梯形矩阵中可以看出非零行的首非零元所在的列，这些列对应的原向量组中的向量就是一个极大线性无关组。例如向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)构成矩阵\(A\)，变换后首非零元在第1、2、3列，则\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是一个极大线性无关组。3.简述将二次型化为标准形的配方法步骤。答：对于二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)，配方法步骤如下：先看二次型中是否有平方项，若有，比如含有\(x_1^2\)项，将含\(x_1\)的所有项集中，配成完全平方形式；然后对剩下的不含\(x_1\)的变量继续重复此过程。若一开始没有平方项，可先通过变量代换构造出平方项，再进行配方。最后通过一系列的可逆线性变换将二次型化为标准形。4.解释矩阵的秩的概念。答：矩阵的秩是矩阵的一个重要性质。矩阵\(A\)的秩是指矩阵\(A\)中不为零的子式的最高阶数。比如一个矩阵\(A\)，如果存在一个\(r\)阶子式不为零，而所有\(r+1\)阶子式都为零，那么矩阵\(A\)的秩就是\(r\)。它也等于矩阵\(A\)的行秩，即行向量组的极大线性无关组所含向量个数，同时也等于列秩，反映了矩阵所包含的有效信息的多少。五、讨论题1.讨论矩阵相似的性质及应用。答：矩阵相似有诸多重要性质。相似矩阵有相同的特征值、特征多项式、行列式、迹和秩。这意味着在研究矩阵的这些性质时，相似矩阵可以相互替代。在应用方面，对于复杂矩阵\(A\)，若能找到与之相似的简单矩阵\(B\)（如对角矩阵），那么通过研究\(B\)的性质就能了解\(A\)。例如在计算矩阵的高次幂时，将矩阵相似对角化后可简化计算，在动态系统分析等领域也有广泛应用。2.分析线性方程组解的结构及其在实际问题中的意义。答：线性方程组解的结构包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。齐次线性方程组的解空间由基础解系张成，基础解系所含向量个数为\(n-r(A)\)（\(n\)为未知数个数，\(r(A)\)为系数矩阵\(A\)的秩），其通解是基础解系的线性组合。非齐次线性方程组的通解等于它的一个特解加上对应