第二十二章 二次函数 必考题检测卷（含解析）2025-2026学年数学九年级上册人教版

第二十二章二次函数必考题检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版一、选择题1．抛物线y=x−2A．−2,3 B．−3,2 C．2,3 D．3,−22．已知抛物线y=−x2+bx+4经过−2,−4A．−2 B．−4 C．2 D．43．二次函数y=ax−ℎx−10124y−2.524.550A．1<ℎ<1.5 B．−1.5<ℎ<−1C．1.5<ℎ<2 D．−2<ℎ<−1.54．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+45．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2A．−4 B．−2 C．0 D．26．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+a和y=−ax2+3x+3A． B．C． D．7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x=−1，且该抛物线与x轴交于点A1,0，与y轴的交点B在①abc>0；②9a−3b+c≥0；③23④若方程ax2+bx+c=x+1两根为m,nA．1 B．2 C．3 D．48．如图，小明站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y=ax−22+2，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为0.5m，高为0.5m的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为nA．7 B．9 C．10 D．8二、填空题9．若函数y=kx2−4x+1的图象与x轴有交点，则k10．如图，P是抛物线y=−x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB11．已知二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=x的图像如图所示，则不等式a12．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④若点−0.5,y1,13．如图，宝珠桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx（a≠0），小明骑自行车从拱梁一段O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小明骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC14．如图，某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为y=−125x2+10，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF三、解答题15．已知二次函数y=ax2−6ax+2（1）求此二次函数的表达式；（2）求出该抛物线的顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小．16．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x=−1，与y轴的交点为0,3，与x轴的一个交点为1,0．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象与x轴的另一个交点坐标；（3）观察图象，当y>0时，求自变量x的取值范围．17．掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.60m时，得分为满分10分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．18．足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式；（2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）19．合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司.市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元.汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆.已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元.（1）汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？（2）每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润=总租金-总支出）20．如图，抛物线y=x2+mx与直线y=−x+b交于点A(2，0)和点B（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：抛物线y=x−22+3故答案为：C．

【分析】根据抛物线y=ax−ℎ2+k2．【答案】B【解析】【解答】解：将−2,−4代入函数解析式，得：−4=−−2解得：b=2，∴y=−x当x=4时，y=−42+2×4+4=4故选：B．【分析】根据待定系数法将点−2,−4代入解析式可得y=−x3．【答案】C【解析】【解答】解：设二次函数解析式为y=a根据题意得，c=2解得c=2∴y=−∴ℎ=∴1.5<ℎ<2．故答案为：C．

【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，配方成顶点式求出对称轴即可解题．4．【答案】A【解析】【解答】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．故选A．【分析】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．5．【答案】B【解析】【解答】解：∵由图象可得抛物线的对称轴为x=-1.5，∴点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2），

当-3＜x＜0时，y＞2，

即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．

故答案为：B．【分析】利用二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数y=−ax2+3x+3的图象应该开口向上，对称轴B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴x=−3C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a>0，此时二次函数y=−axD、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数y=−ax故答案为：B．【分析】本题需结合一次函数与二次函数的图象性质，通过一次函数图象判断a的符号，再依据a的符号分析二次函数图象的开口方向和对称轴位置，从而筛选出符合条件的选项.7．【答案】B【解析】【解答】解：由图可知a>0，∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，且该抛物线与x∴x=−b2a=−1则b=2a>0，∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点B在0,−2∴−3<c<−2，则abc<0，故①错误；设抛物线与x轴另一个交点x,0，∵对称轴为直线x=−1，且该抛物线与x轴交于点A1,0∴1−−1=−1−x，解得则9a−3b+c=0，故②错误；∵−3<c<−2，a+b+c=0，b=2a>0，∴−3<−3a<−2，解得23<a<1，故根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A1,0和−3,0，直线y=x+1过点方程ax2+bx+c=x+1两根为m,n满足−3<m<1<n故答案为：B．【分析】根据二次函数，一次函数图象，性质与系数关系逐项进行判断即可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y=ax−22+2，且过点A∴a=−1∴解析式为：y=−1当x=2时，y的最大值为2，令y=0，则−1解得：x1∴B2+2∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，∴其最大高度为：2×1∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，设处着地后弹起的抛物线解析式为：y=−1将点B2+22，解得：ℎ=22∴该抛物线的解析式为：y=−1∴对称轴为：x=22∵点B的坐标为2+22，0，则点C∵圆柱形的高为0.5m，当y=0.5时，则−1解得：x=4+32或x=4+∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，n=4+32∵筐的底面半径为0.5m，直径为1m，∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，n=4+32∴3+32∴选项B，n=8满足，故答案为：D．

【分析】根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式为y=−14x−22+2，令该解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得到点B的坐标；再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可设第二次着地钱抛物线的解析式为y=−149．【答案】k≤4【解析】【解答】解：当k≠0时，函数是二次函数，令y=0，即kx当Δ=−42−4k≥0时，二次函数解得：k≤4，当k=0时，函数是一次函数，其解析式为y=−4x+1，直线y=−4x+1与x轴有交点，故k的取值范围是k≤4．故答案为：k≤4．【分析】根据二次函数与坐标轴的有交点，分“k≠0”、“k=0”两种情况下，函数与x轴有交点时k的取值范围．10．【答案】6【解析】【解答】解：当y=0时，-x2+x+2=0

解之：x1=-1，x2=2，

∴当0＜x＜2时y＞0

设点P（x，-x2+x+2），

∴矩形OAPB的周长为2（x-x2+x+2）=-2（x-1）2+6，

∵-2＜0，抛物线的开口向下，

∴当x=1时矩形OAPB的周长最大值为6.

故答案为：6.

【分析】由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到y＞0时x的取值范围；设点P（x，-x2+x+2），可得到矩形OAPB的周长与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质和x的取值范围可得到矩形OAPB的周长的最大值.11．【答案】1＜x＜3【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c∴结合图象，可知：ax∴ax故答案是：1＜x＜3.【分析】

本题主要考查函数图象和不等式的解集的关系，掌握数形结合的思想方法，是解题的关键.根据二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=x12．【答案】②③⑤【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，

∴b=2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c＜0，

∴abc＜0，所以①错误；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△=b2-4ac＞0，所以②正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），

∴9a-3b+c=0，所以③正确；

∵点（-0.5，y1）到直线x=-1的距离比点（-2，y2）到直线x=-1的距离小，

而抛物线开口向上，

∴y1＜y2；所以④∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确，故答案为：②③⑤．【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.13．【答案】32【解析】【解答】解：∵当小明骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，∴抛物线的对称轴是直线x=8+242=16，

∵∴−b2a=16，

令y=0，则0=ax2+bx，

将b=−32a解得：x1∴小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC的时间为32−0=32（秒），故答案为：32．【分析】先根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，从而可以得到b=−32a，然后令y=0，代入b=−32a的值，即可得到抛物线与x轴的交点横坐标，进而可以得到OC的长.14．【答案】20【解析】【解答】解：由题意得yE=yF=6，

−125x2+10=6

解得：x1=10，x2=-10，

∴故答案为：20.【分析】根据题意得到yE=yF=6，代入解析式求解即可.15．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2−6ax+2∴−12解得a=1，∴二次函数的表达式为y=x（2）解：∵y=x∴其顶点坐标为3，∵a=1>0，∴二次函数的图象开口向上，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．【解析】【分析】（1）根据二次函数y=ax2−6ax+2（2）将二次函数转化为顶点式，求得顶点坐标，再利用增减性求解．（1）∵二次函数的图象经过点−1，∴−12解得a=1，∴二次函数的表达式为y=x（2）∵y=x∴其顶点坐标为3，∵a=1>0，∴二次函数的图象开口向上，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．16．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=ax+12+k，

将1,0，0,3代入得：0=4a+k3=a+k，

解得a=−1k=4（2）解：把y=0代入y=−x+12+4得：0=−x+12+4，

解得：x1（3）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为−3,0或1,0，

∴由函数图象得：当y>0时，自变量x的取值范围是−3<x<1【解析】【分析】（1）由对称轴为直线x=−1，可设抛物线解析式为y=ax+1（2）由题意，把y=0代入（1）中的解析式可得关于x的一元一次方程，解方程即可求解；（3）由y＞0可知，自变量的取值范围就是抛物线在x轴上方的图象所对应的x的值，结合抛物线与x轴的交点坐标即可求解．（1）解：设抛物线解析式为y=ax+1将1,0，0,3代入得：0=4a+k3=a+k解得a=−1k=4∴二次函数的解析式为：y=−x+1（2）解：把y=0代入y=−x+12+4解得：x1=1或∴该图象与x轴的另一个交点坐标为−3,0；（3）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为−3,0或1,0，∴由函数图象得：当y>0时，自变量x的取值范围是−3<x<1．17．【答案】（1）解：∵抛物线顶点为4,3设函数表达式为y=a(x−4)2+3(a≠0)，

∵抛物线过点0,53

∴a(0−4)2+3=53（2）解：令y=0，即−112x−42+3=0解得x1=10，x2=−2(不合题意，舍去【解析】【分析】（1）根据二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数表达式；；（2）根据题意只需求得抛物线与x轴的交点的横坐标（负值舍去），然后与9.60m比较大小即可，（1）解：∵抛物线顶点为4,3设函数表达式为y=a(x−4)∵抛物线过点0,∴a(0−4)解得a=−1∴y关于x的函数表达式为：y=−1（2）解：令y=0，即−解得x1=10，x2∵10＞9.60，∴该男生在此项考试中得满分．18．【答案】（1）解：∵8−6=2，∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，设抛物线y=a(x−2)把点A(8,0)代入得：36a+3=0，解得a=−1∴抛物线的函数表达式为y=−1​​​​​​（2）解：当x=0时，y=−1∴球不能射进球门．【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式；（2）当x=0时，求出y值，与2.44作比较解答即可．（1）解：∵8−6=2，∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，设抛物线y=a(x−2)把点A(8,0)代入得：36a+3=0，解得a=−1∴抛物线的函数表达式为y=−1（2）解：当x=0时，y=−1∴球不能射进球门．19．【答案】（1）解：设每辆汽车的日租金为x元，

依题意得：

x≤15040x≥20×40+1800

解得：65≤x≤150，

又∵x为10的整数倍，

x的最小值为70.

（2）（2）解：设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元，

当m≤150时，w=40m-20x40-1800=40m-2600，

∵40>0，

w随m的增大而增大，

当m=150时，w取得最大值，最大值=40x150-2600＝3400（元）；

当m>150时，每天可租出40-m−15010x2＝（70-m5）辆

∴w=（70-m5）m-（70-m5）×20-[40-（（70-m5）]×10-1800

∴当m=180时，w取得最大值，最大值为3580．

又【解析】【分析】{1)设每辆汽车的日租金为x元，根据°40辆汽车能全部租出，且每天总租金不低于总支出”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为10的整数倍即可得出结论；

(2)设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元，分m＜150及m>