（人教A版）必修一高一数学上册同步题型讲练+同步检测3.3 幂函数（原卷版）

第页3.3幂函数【知识点梳理】知识点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．知识点二、幂函数的图象及性质1．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2．作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3．幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4．幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【题型归纳目录】题型一：幂函数的概念题型二：求函数解析式题型三：定义域问题题型四：值域问题题型五：幂函数的图象题型六：定点问题题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题题型八：比较大小题型九：幂函数性质的综合运用【典型例题】题型一：幂函数的概念例1.现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧与总结】幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例2．下列函数是幂函数的是（

）A． B．C． D．例4．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（

）A． B． C． D．题型二：求函数解析式例5．已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．【方法技巧与总结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．例6．已知幂函数的图象关于y轴对称，则_________．例7．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．例8．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.例9．幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．例11．已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．例13．已知幂函数在上单调递减，则（

）A．2 B．16 C． D．例14．已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;例15．幂函数在上单调递减，则的值为______．题型三：定义域问题例17．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】使表达式有意义．例19．已知幂函数的图象过点，则的定义域为______．例21．函数的定义域是（

）A． B． C． D．题型四：值域问题例22．已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．【方法技巧与总结】利用单调性求解．例23．已知函数为幂函数，且为奇函数.(1)求的值，并确定的解析式；(2)令，求在的值域.例25．已知函数．(1)求的解析式；(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．例27．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．（1）求实数k的值；（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．题型五：幂函数的图象例31．函数的图像可能是（）A．B．C．D．【方法技巧与总结】先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．例32．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3例34．如图所示是函数(且互质)的图象，则（

）A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且例35．已知，则函数的图像不可能是（

）A．B．C．D．题型六：定点问题例37．下列命题正确的是（

）A．幂函数的图象都经过，两点B．函数的图象经过第二象限C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点【方法技巧与总结】所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点例38．（多选）已知幕函数的图象经过点，则（

）A．函数是偶函数B．函数是增函数C．函数的图象一定经过点D．函数的最小值为0例40．下列命题中正确的是（

）A．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1）B．若函数f（x）＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限D．幂函数的图象不可能是直线题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题例41．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．【方法技巧与总结】运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径．例42．已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．题型八：比较大小例43．比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．【方法技巧与总结】（1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断．（2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的．（3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．题型九：幂函数性质的综合运用例46．（多选）（已知幂函数的图象经过点，则（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．当时， D．当时，【方法技巧与总结】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．例47．（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（

）A． B．C． D．例49．已知函数，则其单调增区间为_____.例50．函数的单调递减区间为__．例52．已知函数．(1)若为偶函数，且在是增函数，求的解析式：(2)若在上减函数，求的取值范围．【同步练习】一、单选题1．下列函数中，在上单调递增的函数是（

）A． B． C． D．2．“函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知幂函数的图像过点，则（

）A． B． C． D．44．“当时，幂函数为减函数”是“或2”的（

）条件A．既不充分也不必要 B．必要不充分C．充分不必要 D．充要5．函数部分图象大致为（

）A．B．C．D．6．已知函数是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知幂函数在上是增函数，则实数的值为（

）A．1或 B．3 C． D．或38．给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（

）A．B．函数在上单调递增C．函数是偶函数D．函数的图象关于原点对称10．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（

）A．函数为增函数B．函数为减函数C．若，则D．若，则12．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（

）A．为偶函数B．的值域是C．若，则D．是上的增函数三、填空题14．已知幂函数的图象经过点，则的值为___．15．不等式的解为______．16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②；③任取，，且．四、解答题18．已知函数，.(1)求方程的解集；(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.19．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)是幂函数，且图象过点(3，)．(1)求f(x)在R上的解析式