CN120197405A 一种硅通孔的非定常热应力解析模型构建方法

(19)国家知识产权局陈文婷杨银堂务所(普通合伙)61230一种硅通孔的非定常热应力解析模型构建方法本发明公开了一种硅通孔的非定常热应力建立硅通孔的瞬态热传导方程以及温度场边界析模型确定硅通孔的位移场和应力场解析模型解决了热应力解析模型中未考虑温度场分布和根据硅通孔的结构和所处工作环境，建立硅通孔的瞬态热传导方根据硅通孔的结构和所处工作环境，建立硅通孔的瞬态热传导方根据硅通孔的瞬态热传导方程以及温度场边界条件，得到硅通孔的瞬态温度场解析模型，根据瞬态温度场解析模型得到硅通孔的瞬态温度场分布，以验证瞬型的基本形式，将瞬态温度场与瞬态应力场耦合，得到硅解析模型；根据非定常热应力解析模型得到硅通孔的非2根据硅通孔的结构和所处工作环境，建立硅通孔的瞬态热传导方程以及温度场边界条根据所述硅通孔的瞬态热传导方程以及温度场边界条件，得温度场解析模型确定硅通孔的位移场解析模型的基本形式和应力根据力学边界条件、硅通孔的位移场解析模型的基本形式和应力场解析模型的基本形3.根据权利要求1所述的一种硅通孔的非定常热应力解析模热扩散率，j表示硅通孔的中心轴线到第j层的最外侧轴线的距离，j-3j-1~'j,z'的积分范围为0~h,dr’、dz'分别表示径向坐标积分微元和轴向坐标积分微元，r、中第j层7m对应的第n个径向特征值，2imm表示硅通孔中第i层的时间函数的衰减系数，的径向特征函数中第一类贝塞尔函数的系数，Binm表示硅通孔中第i层的径向特征函数中第二类贝塞尔函数的系数，Jo表示第一类零阶贝塞尔函数，Yo表示第二类零阶贝塞尔函5.根据权利要求1所述的一种硅通孔的非定常热应力解析模型构建方法，其特征在于，其中，0m表示径向正应力，φ表示环向正应力，Ozz表示轴向正应力，0rz表示径向-6.根据权利要求1所述的一种硅通孔的非定常热应力解析模4示硅通孔中第i层的勒夫位移函数，r、z分别表示圆柱坐标系中的径向坐标和轴向坐标，用拉普拉斯算子进行运算，表示Φi在轴数，o表示硅通孔中第i层的径向正应力，σ表示硅通孔温度与环境温度的温差，表示L在径向的二阶在轴向的二阶偏导数，o₂表示硅通孔中第i层的径向-轴向剪应力，表示Φ关于r和所述根据力学边界条件、硅通孔的位移场解析模型的基本形式和根据力学边界条件、硅通孔的位移场解析模型的基本形式，根据硅通孔的位移场解析模型和硅通孔的应力场解析模型的基本形式，将瞬态温度场5一种硅通孔的非定常热应力解析模型构建方法技术领域[0001]本发明属于微电子技术领域，具体涉及一种硅通孔的非定常热应力解析模型构建方法。背景技术[0002]集成电路进入22nm工艺节点之后，摩尔定律逐渐逼近极限，三维集成电路被视为延续摩尔定律的有效解决方案。然而，在实现高集成度的同时，也不可避免的带来了更为严峻的散热问题以及由于材料之间热膨胀系数不匹配而引起的热应力问题，严重时可能导致局部结构乃至整个系统的失效。而硅通孔附近的热应力问题尤为显著。常见的硅通孔结构中包含硅衬底、金属填充材料(如铜)以及绝缘层几种材料，对于更复杂的硅通孔结构，如同轴硅通孔、环形硅通孔等则结构更为复杂，且包含更多不同的材料，由于这些材料之间热膨胀系数的不匹配，会在材料界面处产生相互作用力，从而引发热应力，这种应力可能会导致界面分层、开裂等问题，影响硅通孔的电学特性和可靠性，长期的热应力作用还可能使金属围热应力的通用方法显得十分重要。[0003]目前，许多研究开发了针对硅通孔热应力的计算分析方法：续结构离散为有限个小单元(如四面体、六面体),通过求解每个单元的物理方程，逼近真实系统的行为；二是解析模型，基于热弹性力学理论，通过数学推导获得闭式解，直接给出热应力的解析表达式；三是机器学习，通过数据驱动建立输入(如硅通孔参数)与输出(如热应力)之间的统计映射关系，替代物理方程求解。[0004]但是，上述热应力分析方法有一些局限性。方法一需要精细网格划分以提高结果的精确度，进行瞬态热-力耦合仿真分析时耗时较长，特别是在进行结构优化时，需要进行参数化扫描，计算资源需求较大；方法二的解析模型目前在硅通孔热应力分析领域尚不完善，一是只针对均匀温度分布的情况进行推导，缺乏对温度场的分析，二是只关注硅通孔的定常热应力，缺乏对非定常热应力的研究；方法三数据依赖性强，需要大量的高质量数据训发明内容[0005]为了解决现有技术中存在的上述问题，本发明提供了一种硅通孔的非定常热应力解析模型构建方法。本发明要解决的技术问题通过以下技术方案实现：本发明提供了一种硅通孔的非定常热应力解析模型构建方法，所述方法包括：根据硅通孔的结构和所处工作环境，建立硅通孔的瞬态热传导方程以及温度场边界条件；根据所述硅通孔的瞬态热传导方程以及温度场边界条件，得到硅通孔的瞬态温度场解析模型，根据瞬态温度场解析模型得到硅通孔的瞬态温度场分布，以验证瞬态温度场解析模型的准确性；6基于硅通孔的工作环境，建立硅通孔的平衡方程和力学边界条件，根据平衡方程、瞬态温度场解析模型确定硅通孔的位移场解析模型的基本形式和应力场解析模型的基本根据力学边界条件、硅通孔的位移场解析模型的基本形式和应力场解析模型的基本形式，将瞬态温度场与瞬态应力场耦合，得到硅通孔的非定常热应力解析模型；根据非定常热应力解析模型得到硅通孔的非定常热应力。[0006]本发明的有益效果：本发明所提供的方案中，利用基于硅通孔的工作环境建立的硅通孔的平衡方程和力学边界条件，对硅通孔的瞬态温度场与瞬态应力场进行耦合，得到硅通孔的非定常热应力解析模型，实现对硅通孔中任意一点任意时刻的瞬态温度和非定常热应力的计算；在进行参数化分析时较为便捷，可快速评估不同设计变量的影响。相较于目前现有技术在硅通孔的热应力解析模型中未考虑温度场分布和非定常热应力的问题，本发明利用硅通孔的非定常热应力解析模型计算得到的结果，充分考虑了瞬态温度场的分布和非定常热应力的分布。与有限元仿真相比，尤其是在进行参数化分析时，大幅缩短了计算时间，节省了计算资源；与机器学习相比，为硅通孔的热应力分析提供了可靠的理论依据。附图说明[0007]图1为本发明实施例所提供的一种硅通孔的非定常热应力解析模型构建方法的流程示意图；图2为本发明实施例所提供的一种硅通孔的结构以及边界条件示意图；图3为本发明实施例所提供的一种硅通孔的瞬态温度场分布示意图；图4为本发明实施例所提供的一种硅通孔的瞬态温度场相对误差的示意图；图5为本发明实施例所提供的一种硅通孔的非定常热应力分布示意图；图6为本发明实施例所提供的一种硅通孔的非定常热应力相对误差的示意图。具体实施方式[0008]下面结合具体实施例对本发明做进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于[0009]本发明实施例提供了一种硅通孔的非定常热应力解析模型构建方法，如图1所示，可以包括：S1,根据硅通孔的结构和所处工作环境，建立硅通孔的瞬态热传导方程以及温度S11,根据硅通孔的结构和所处工作环境，获取硅通孔的结构参数、材料参数以及热-力耦合的边界条件。[0010]针对S11,在本实施例中，可以选取一种常见的硅通孔，该硅通孔可以是一种三层[0011]在一个具体的示例中，硅通孔的结构以及边界条件如图2所示，该硅通孔的金属层材料为铜(Cu),绝缘层材料为二氧化硅(SiO₂),衬底层材料为硅(Si)。1i、2、r3分别表示硅通孔的中心轴线到铜、二氧化硅、硅的最外侧轴线的距离，可以分别为15微米、16微米和667微米，铜的厚度为d₁=ri,即15微米；二氧化硅的厚度为d₂=r2-i,即1微米；硅的厚度为d₃=r3-r2,即50微米；硅通孔的高度为h,即为200微米。假设硅通孔顶部与热沉装置连接，具有良好的散热效果，侧面与底面的散热效果可忽略不计，因此在顶部设置恒温边界条件，侧面和底面为绝热边界条件，硅通孔所有界面处温度和热流连续。[0012]实例性地，以图2所提供的硅通孔为例，其结构参数和材料参数如表1[0013]表1硅通孔的结构参数和材料参数表铜1硅[0014]其中，d表示每层材料的厚度，k表示热导率，Cp表示恒压热容，P表示密度，表示热扩散率。[0015]S12,根据硅通孔的结构参数、材料参数以及热-力耦合的边界条件，在圆柱坐标系下建立硅通孔的瞬态热传导方程和对应的温度场边界条件。[0016]在S12中，依据S11中介绍的硅通孔具有多层圆柱结构可知：硅通孔的热传导问题可以描述为圆柱坐标系中的热传导问题，可以包括轴对称圆柱坐标系下的热传导方程和对应的温度场边界条件。[0017]在圆柱坐标系下建立硅通孔的热传导方程以及温度场边界条件，可以包括：热传其中，θi表示硅通孔中第i层的温度与环境温度的温差，r、z分别表示圆柱坐标系中的径向坐标和轴向坐标，t表示时间，Ki表示硅通孔中第i层的热扩散率，表[0019]径向边界条件包括中心轴线的有界条件，铜和二氧化硅交界面处的温度和热流连续条件，二氧化硅和硅交界面处的温度和热流连续条件，侧面的绝热边界条件。中心轴线的有界条件表示如下：8表示外部环境温度；r和Z分别表示圆柱坐标系中的径向坐标和轴向坐标，t表示时间，θ₀=T₀(r,z,0)-Texz表示初始时刻硅通孔的温度与环境温度的温差，T₀(r,z,0)表示初始[0024]S2,根据硅通孔的瞬态热传导方程以及温度场边界条件，得到硅通孔的瞬态温度场解析模型，根据瞬态温度场解析模型得到硅通孔的瞬态温度场分布，以验证瞬态温度场S211,根据瞬态热传导方程以及温度场边界条件，确定瞬态温度场解析模型的基9其中，m表示轴向特征函数对应特征值的序号，n表的序号，Cmn表示叠加系数，Rimn(r)、Zm(z)和Xim(1)都是通过分离变量得到的特征函表示硅通孔中第i层的径向特征函数中第二类贝塞尔函数的系数，Jo表示第一类零阶贝塞Zm(z)=@₁sin(ηmz)+O₂cXimn()=e⁻Ki;2m;其中,m=√Bm+n2表示硅通孔中第i层的时间函数的衰减系数，Ki表示硅其中，表示硅通孔中第i层的径向特征函数在r方向表示硅通孔中第i层的径向特征函数在r方向的偏导数。Amm=1,B1m=0;函数，Pimp表示通过Rimp计算得到的硅通孔中第i层7m对应的第P个径向特征值，Binm表示通过Rim计算得到的硅通孔中第i层7m对应的第n个径向特征值，Pimp和βinm在这里用来区分两个不同的径向特征值。[0038]S214,根据径向特征函数和叠加系数，得到硅通孔的瞬态温度场解析模型。[0039]硅通孔的瞬态温度场解析模型可以表示为：别表示径向坐标积分变量和轴向坐标积分变量，分别代表圆柱坐标系中的径向坐标和轴向坐标。[0040]硅通孔的瞬态温度场解析模型的表达式如下：其中，θi表示硅通孔中第i层的温度与环境温度的温差，l表示硅通孔结构的层数，k;表示硅通孔中第j层的热导率，Kj表示硅通孔中第j层的热扩散率，Ki表示硅通孔中第i层的热扩散率，j表示硅通孔的中心轴线到第j层的最外侧轴线的距离，j-1表示硅通孔的中心轴线到第j-1层的最外侧轴线的距离，特殊地，当j=1时r=0,表示硅通孔的中心轴线位置，h表示硅通孔的高度，m表示轴向特征函数对应特征值的序号，n表示径向特征函数对应特征值的序号，r'、z'分别表示径向坐标积分变量和轴向坐标积分变量，r’的积分范围为'j-1~';,z'的积分范围为0~h,dr'、dz’分别表示径向坐标积分微元和轴向坐标积分微元，r、z分别表示圆柱坐标系中的径向坐标和轴向坐标，t表示时间，7m表示序号m对应的硅通孔中第j层nm对应的第n个径向特征值，imm表示硅通孔中第i层的时间函数的衰减第i层的径向特征函数中第一类贝塞尔函数的系数，Binm表示硅通孔中第i层的径向特征函数中第二类贝塞尔函数的系数，Jo表示第一类零阶贝塞尔函数，Y₀表示第二类零阶贝塞尔函数，cos表示余弦函数，e表示指数函数，θ表示初始时刻硅通孔的温度与环境温度的温[0041]S22,根据瞬态温度场解析模型得到硅通孔的瞬态温度场分布，以验证瞬态温度场解析模型的准确性。[0042]具体地，在本实施例中，硅通孔从初始时刻开始，温度随时间逐渐降低，硅通孔的温度分布大约在1毫秒达到稳态。硅通孔的瞬态温度场分布如图3所示，图3中横坐标r和Z3可以看出：硅通孔在0.1毫秒时的全局温度分布，硅通孔的温度呈现为轴对称分布，这与其轴对称的几何结构和边界条件有关；在不同材料交界面处产生较大的温度梯度，这与二氧化硅较低的热导率有关；在硅通孔的顶面，也就是图中z=h的位置，温度恒为300K,这与顶面的恒温边界条件对应。硅通孔的瞬态温度场相对误差如图4所示，图4中横坐标r和z分别表示圆柱坐标系中的径向坐标和轴向坐标，单位为μm,纵坐标表示相对误差，单位为%。从图4可以看出：硅通孔0.1毫秒全局温度的相对误差分布，该误差是与有限元仿真对比的结果。可以看到，最大相对误差在0.6%以下，通过计算得到的平均相对误差为0.24%,充分证明了硅通孔的瞬态温度场解析模型的准确性。其中，温度的平均相对误差计算公式如下：度场解析模型计算得到的硅通孔温差。[0043]S3,基于硅通孔的工作环境，建立硅通孔的平衡方程和力学边界条件，根据平衡方程、瞬态温度场解析模型确定硅通孔的位移场和应力场解析模型的基本形式。其中，0表示径向正应力，表示环向正应力，Ozz表示轴向正应力，0rz表示径向-轴向剪应力，r、z分别表示圆柱坐标系中的径向坐标和轴向坐标，表示径向正应力在径向(r方向)的偏导数，表示径向-轴向剪应力在轴向(Z方向)的偏导数，表示径向-轴向剪应力在径向的偏导数，表示轴向正应力在轴向的偏导数。前者为径向平衡方程，后者为轴向平衡方程。[0045]力学边界条件可以包括界面处的位移连续条件、界面处的应力连续条件以及边界处的自由边界条件。[0046]界面处的位移连续条件包括径向位移连续条件和轴向位移连续条件，表示如下：属层、绝缘层和衬底层的轴向位移。[0047]界面处的应力连续条件包括径向正应力连续条件和径向-轴向剪应力连续条件，表示如下：分别为金属层、绝缘层和硅衬底的径向-轴向剪应力。[0048]边界处的自由边界条件：其中，u,表示硅通孔中第i层的径向位移，Φ表示硅通孔中第i层的热弹性位移阶偏导数，表示硅通孔中第i层的径向正应力，表示硅通孔中第i层的轴向正应力，示Φ;在轴向的二阶偏导数，表示硅通孔中第i层的径向-轴向剪应力，表示Φ关[0051]表2力学材料参数表铜硅F¹m=Qm=0,其余的待求解系数可以通过上述的力学边界条件求得；Jo表示第一类零阶贝塞尔函数；Ko表示修正的第二类零阶贝塞尔函数；I₁表示修正的第一类一阶贝塞尔函[0057]S412,根据硅通孔的位移场解析模型和硅通孔的应力场解析模型的基本形式，将瞬态温度场与瞬态应力场耦合得到硅通孔的非定常热应力解析模型。其中，为了简化公式，将S3中硅通孔的应力场解析模型表达式等号两端同时除以2G;,则等号左端分别变为[0059]得到硅通孔的非定常热应力解析模型后，可以根据硅通孔的非定常热应力解析模型，计算硅通孔的非定常热应力，该非定常热应力可以通过VonMises等效应力来表征，VonMises等效应力的计算公式如下：[0060]示例性地，硅通孔的非定常热应力分布如图5所示，图5中横坐标表示圆柱坐标系本发明所提硅通孔非定常热