23.1.1 成比例线段（难点练）解析版

23.1.1成比例线段（难点练）一、单选题1．（2021·全国九年级专题练习）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.【详解】解：过点A作AF⊥BC，∵AB=AC，

∴BF=BC=2，在Rt,AF=，∵D是边的两个“黄金分割”点，∴即，解得CD=，同理BE=，∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，∴S△ABC===，故选：A.【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。2．若线段a=6cm,b=3cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为()A．3cm B．±3cm C．±18cm D．18cm【答案】A【解析】根据比例中项的概念，得c2=ab=6×3，则可求c=±3，由线段的非负性可知c=3．故选：A点睛：本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算．3．如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为()A． B． C．± D．【答案】D【解析】根据勾股定理，由OA=AB=1可求OB==，然后由BC=1，可根据勾股定理求得OC==，同理求得OD=2，然后根据比例中项的性质，可知OA、OD的比例中项线段为.故选：D4．如图，是线段的黄金分割点，四边形、四边形都是正方形，且面积分别为、，四边形、四边形都是矩形，且面积分别为、，下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设AB=1，根据黄金分割的定义可得：PA=，PB=，结合正方形、矩形的性质分别求得S1、S2、S3、S4的值，比较即可解答.【详解】设AB=1，根据黄金分割的定义可得：PA=，PB=，∴S1=1，S2=（）2=，S3=1×=，S4=×=.由此可得，选项A、C、D错误；，选项B正确．故选B．【点睛】本题主要考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形、矩形的面积进行分析计算即可解答．5．如果线段b是线段a，c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由a：c=4：9，易得9a=4c，可以将a用c表示出了；再根据比例中项的概念，可得a：b=b:c，即b2=ac，那么，进而求解即可【详解】解：∵a：c=4：9，∴9a=4c，即a=又∵b是a，c的比例中项∴a：b=b：c，即∴b=∴a：b=：=2：3，b:c=2:3，.故选：B.【点睛】本题考查了比例线段和比例的基本性质.，比例中项的概念，将a用c表示是解题的关键.6．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据黄金分割的定义得到，则，同理得到，，根据此规律得到．据此可得答案．【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点，，，点是线段的黄金分割点，，，．所以线段的长度是，故选：．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点；其中，并且线段的黄金分割点有两个．7．（2020·贵州毕节市·九年级）已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP=AB，代入数据即可得出AP的长度．【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP＞BP，则AP＝×2＝﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．8．（2020·山西）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案.【详解】解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得.由头顶至脖子下端的长度为26cm，可得，解得.由已知可得，解得.综上，此人身高m满足.所以其身高可能为175cm.故选：B【点睛】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键.9．（2020·浙江）著名画家达·芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中，，连结，得到4个全等的四边形，四边形，四边形，四边形．分别交，于点M，N，若，且，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，设BC=a，AC=b，进而可得，则有，然后可得，则有，最后可得，则问题可求解．【详解】解：过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，如图所示：∵四边形，四边形，四边形，四边形都是全等的，∴，∵，，，∴，易得CM=NJ，∵，∴，∵AB∥ED，∴，∵，∴，∴，设BC=a，AC=b，则，∴，由等积法可得，∴，由勾股定理可得，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及线段的比，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及线段的比是解题的关键．10．如图，在正方形中，点是对角线的中点，是线段上的动点（不与点，重合），交于点，于点．则对于下列结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】连接PD，证明△PBC≌△PDC得出∠PBC=∠PDE，PB=PD，证出∠PDE=∠PED，得出PD=PE，因此PE=PB，①正确；由等腰三角形的性质得出DF=EF，②正确；作PH⊥AD于点H，则得出，即，得出，③正确；证出PF∥AD，得出，由DF≠CE得出，④错误；即可得出结论．【详解】连接PD，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCP=∠DCP，在△PBC和△PDC中，，∴△PBC≌△PDC（SAS）∴∠PBC=∠PDE，PB=PD，∵PB⊥PE，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°∵∠PEC+∠PED=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PDE=∠PED，∴PD=PE，∴PE=PB，①正确；∵PD=PE，PF⊥CD，∴DF=EF，②正确；作PH⊥AD于点H，如图2所示：则∴，即，∴，③正确；∵PF⊥CD，AD⊥CD，

∴PF∥AD，∴，∵DF≠CE，∴，④错误；错误结论的个数有1个；

故答案为：B．【点睛】本题是四边形的综合题目，考查了全等三角形的性质和判定、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；解题的关键是掌握本题的辅助线的作法．二、填空题11．（2020·江苏）如图，在△ABC中，AB＝3，D是AB上的一点（不与点A、B重合），DE∥BC，交AC于点E，则的最大值为_____．【答案】【分析】设AD＝x，＝y，由△ADE∽△ABC知＝x2①，又CE=AC-AE，故＝，由△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，得＝＝②，由①②得y＝＝－x2＋x，再根据0＜x＜3即可求出最大值．【详解】设AD＝x，＝y，∵AB＝3，AD＝x，∴＝＝，∴＝x2①，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AB＝3，AD＝x，∴＝，∴＝，∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，∴＝＝②，①÷②，得∴y＝＝－x2＋x，∵AB＝3，∴x的取值范围是0＜x＜3；∴y＝＝－(x－)2＋≤，∴的最大值为．故答案为．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意列出二次函数求出最值．12．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级）如图，点在反比例函数的图象上，且点D是平行四边形的对角线与的交点，连接，若，．则k的值为__________．【答案】．【分析】根据，可得，则有，再根据点是平行四边形的对角线与的交点，求得，设点坐标是，点坐标是，则有①，点是平行四边形的对角线与的交点，则点坐标是，点坐标是，整理得：②，③，联立①②③解得：．【详解】解：∵，与同高，∴∵∴，∴，∵点是平行四边形的对角线与的交点，∴，∴，设点坐标是，点坐标是，则：，即有①，∵点是平行四边形的对角线与的交点，∴点坐标是，∵点在抛物线上，则有，整理得：②，∵，∴∴点坐标是，∵点在抛物线上，则有，整理得：③，联立①②③解得：．【点睛】本题考查了反比例函数性质，平行四边形的性质，熟悉相关性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．13．（2020·成都市实验外国语学校五龙山校区）在平面直角坐标系中，关于的一次函数，其中常数k满足，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数的解析式为______．【答案】或【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用得到，解出k的值，即可得到一次函数的解析式.【详解】∵b是2和8的比例中项，∴2：b=b：8，解得b=，∵b＞0，∴b=4，∵，∴∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，当a+b+c时，解得k=，当a+b+c=0时，k=-1，∴该一次函数的解析式为或，故答案为：或.【点睛】此题考查分式方程的化简计算，解三元一次方程组，比例的性质，题中利用求出k的值是解题的关键.14．若都是正整数，且，则的最小值是________．【答案】47【分析】先设，再利用等量关系消元，用表示，最后再利用都是正整数得出的最小值即可．【详解】设，则，，，，，的值随的增大而增大，又，，都是正整数，且，，，是3，4，5的公倍数，的最小值为60，的最小值为，故答案为：47【点睛】本题考查了设法，函数思想，以及函数的最值等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键．15．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则___________【答案】5【分析】根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线，得出，进而得出②，两式相加即可得出结论．【详解】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴∴∴，即①；∵CE是∠ACB的外角平分线，∴∴，即②；①+②，得．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键．16．（2020·全国）如图，直线y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA，OB，OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，点P的坐标为____________．【答案】或(，0)或(9，0)【分析】根据题意得出，，再根据点在轴正半轴上，设出点的坐标是，再分三种情况讨论当线段线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，当线段线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，当线段线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，分别求出的值，即可得出答案．【详解】解：直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是，，，点在轴正半轴上，设点的坐标是，当线段线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，，，解得，点的坐标是，，当线段线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，，，解得，点的坐标是，当线段线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，，，解得，点的坐标是，，综上所述，点的坐标是，，，，．故答案为：，，，，．【点睛】此题考查了比例线段和一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据题意设出点的坐标，再根据比例中项进行求解，注意分三种情况讨论．17．（2020·安徽九年级学业考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=15，点D，E，P分别是边AC，AB；BC上的点，且AD=4，AE=4EB．若是等腰三角形，则CP的长是__________．【答案】或【分析】建立如图平面直角坐标系,，表示出D（0，6）P（x，0）E（12，2），利用长度公式进行分类讨论即可．【详解】建立如图平面直角坐标系∵AC=10,AD=4∴∴∵过E作EM⊥BC于M∴EM∥AC∴∴BM=3，EM=2∴CM=12∴E（12，2）设P（x，0）∵AD=4，AC=10∴CD=6∵D（0，6）P（x，0）E（12，2）∴，，当DE=PD时，∴∴∴∴CP=当DE=PE时，∴∴（负值舍去）∴>CB∵P是边BC上的点∴当DE=PE时，不符合题意；舍去当DP=PE时，∴∴∴CP=故答案为：或【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形存在性等问题，掌握利用长度公式解决等腰三角形问题是解题的关键．三、解答题18．如图（1），、是两条线段，是的中点，，、分别表示、、的面积．当时，则有①．（1）如图（2），是的中点，与不平行时，作、、分别垂直于、、三个点，问结论①是否仍然成立？请说明理由．（2）若图（3）中，与相交于点时，问、和三者之间存在何种相等关系？试证明你的结论．【答案】（1）成立，理由详见解析；（2）【分析】（1）先看题中给出的条件为何成立，由于△ADC，△DMC，△DBC都是同底，而由于AB∥DC，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A，M，B分别作BC的垂线AE，MN，BF，AE∥MN∥BF，由于M是AB中点，因此MN是梯形AEFB的中位线，因此MN=（AE+BF），三个三角形同底因此结论①是成立的．

（2）本题可以利用AM=MB，让这两条边作底边来求解，三角形ADB中，小三角形的AB边上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD，OMD的和就等于三角形BMD的面积，同理三角形AOC和OMC的面积和等于三角形CMB的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系．【详解】（1）当和不平行时，结论①仍然成立．如图，由已知，可得，和两两平行，∴四边形是梯形．∴为的中点，∴是梯形的中位线．∴．∴．∴．（2）∵为的中点，∴，．∴．∴．∴．【点睛】本题考查了梯形,三角形中位线定理以及三角形的面积公式，掌握梯形,三角形中位线定理以及三角形的面积公式是解题的关键.19．材料1：在设计人体雕塑时，存在一个分隔点，使雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）之比，等于下部与全部（全身）之比，可以增加视觉美观，数学上把这个点叫“黄金分割点”．为了研究这个点，我们在线段AB上取点C（如图1），点C把AB分成AC和CB两段，其中BC是较小的一段，现要使即可．为了简便起见，设AB=1，AC=x，则CB=1-x，代入，即，也即x2+x-1=0，解之得，．所以=，人们把这个数叫黄金分割数，点C叫“黄金分割点”．材料2：由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的“黄金分割线”．（1）如图2，点C是线段AB的黄金分割点（AC>CB），取线段AB的中点O，作点C关于点O的对称点，则；继续取线段AC的中点，作点关于点的对称点，试猜想点是否线段A的黄金分割点，若是，请证明，若不是，请说明理由；（2）如图3，在平面直角坐标系中，A（-，0），B（1，0），C（4-，2），求△ABC中经过点C的“黄金分割线”解析式．【答案】（1），点是线段A的黄金分割点，理由详见解析；（2）【分析】（1），根据中点及对称点的性质得到A=BC，再根据线段成比例证得点是否线段A的黄金分割点；（2）过点C作CH⊥x轴于点H，分两种情况：①当＞时，②当＜时，分别证明点D是线段AB的黄金分割点，由此求出解析式.【详解】（1）点是线段A的黄金分割点，理由如下：∵OC=O，∴AO-O=BO-OC，∴A=BC，∵=，∴=，∴点是AC的黄金分割点，∴，同理可得∴∴是线段A的黄金分割点（2）设直线CD是△ABC的黄金分割线，点D的坐标为（x,0），直线CD的解析式为：，过点C作CH⊥x轴于点H，，，，①当＞时，∵直线CD是△ABC的黄金分割线，∴，∴，∴点D是线段AB的黄金分割点，∴=，，解之得，x=2-，∵直线经过D（2-，0），C（4-，2），∴，解之得，，∴；②当＜时，∵直线CD是△ABC的黄金分割线，∴，∴，∴点D是线段AB的黄金分割点，∴=，=，解之得，，∵直线经过C（4-，2），D（-1,0），∴，解之得，，∴.【点睛】此题考查线段的中点，对称点的性质，待定系数法求函数解析式，黄金分割的性质，解题中注意分类讨论的思想，避免漏解.20．（2020·银川外国语实验学校九年级月考）作出线段的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）【分析】作法：（1）延长线段至，使，分别以、为圆心，以大于等于线段的长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则，在上取点，使；（2）连接，在上截取．（3）在上截取．点就是线段的黄金分割点．【详解】解：如图，点即为所求．【点睛】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图．21．（2020·全国九年级专题练习）（1）如图所示，已知点是线段的黄金分割点（），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比．（2）如图所示，在（1）的条件下，取线段的黄金分割点（），判断点是否为线段的另一黄金分割点，并说明理由．（3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段的黄金分割点（），并且，试用的正整数次幂的形式表示线段，，的长度．（4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）：．【答案】（1）；（2）点是线段的另一黄金分割点，理由见解析；（3）线段，，的长度为：，，；（4）．【分析】（1）设，，则有，由点是线段的黄金分割点，可得，代入数据求解即可；（2）由点是线段的黄金分割点，可得，由此可求出、的长度，进而求出的值，即可求解；（3）由点是线段的黄金分割点，即可求出、的长度，由点是线段的黄金分割点，可求出、的长度，由点是线段的黄金分割点，可求出、的长度；（4）由以上证明可得：，，，…，（为正整数），，，…，（为正整数）．运用数形结合的思想可将所求代数式转化为：，求出答案即可．【详解】解：（1）设，，则有，点是线段的黄金分割点，，，，整理得：，解得，（舍去负值），，．（2）点是线段的另一黄金分割点，理由如下：点是线段的黄金分割点，，，，，点是线段的另一黄金分割点．（3）点是线段的黄金分割点，，，，，点是线段的黄金分割点，，，，点是线段的黄金分割点，，，，线段，，的长度为：，，．（4）由以上证明可得以下规律：，，，…，（为正整数）．，，…，（为正整数）．．故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割，解一元二次方程，比例线段，运用数形结合是解题的关键．22．（2021·云南九年级）如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是；四边形CEAF面积＝．（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．【答案】（1）FC，4；（2）；（3）t＝（+1）s，见解析【分析】（1）连接CD、CB，则四边形ABCD是正方形，CD＝CB＝2，证△CDE≌△CBF（SAS），得EC＝FC，即可解决问题；（2）先由全等三角形的性质得EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，再证△ECF是等腰直角三角形，当t＝1时，DE＝1，然后由勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求解即可；（3）证∠BPC＝90°，则点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，设BC的中点为G，连接AG，当点P在AG上时，AP最短，此时，PG＝BG＝1，再求出E（0，1﹣），t＝（+1）s，然后由待定系数法求出CE的解析式，即可解决问题．【详解】解：（1）连接CD、CB，如图1所示：∵A（0，0）、C（2，2）、D（0，2）、B（2，0），∴CD＝CB＝AB=AD=2，∴四边形DABC是菱形又∴四边形ABCD是正方形，∵E、F两点分别从点D和点B向下和向右以每秒一个单位速度移动，∴DE＝BF，∵∠CDE＝∠CBF＝90°，∴△CDE≌△CBF（SAS），∴EC＝FC，S四边形CEAF＝S四边形CEAB+S△CBF＝S四边形CEAB+S△CDE＝S正方形ABCD＝CB•CD＝2×2＝4，故答案为：FC，4；（2）∵△CDE≌△CBF，∴EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，∵∠DCE+∠ECB＝90°，∴∠BCF+∠ECB＝90°，即∠ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，当t＝1时，DE＝1，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，∴EF＝CE＝×＝，∵Q为EF中点，∴CQ＝EF＝＝；（3）∵BP∥CF，∠ECF＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，设BC的中点为G，连接AG，如图2所示：当点P在AG上时，AP最短，此时，PG＝BG＝1，在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝＝＝，∴AP＝AG﹣PG＝﹣1，∵BC∥DE，∴∠AEP＝∠GCP，∵GC＝GP，∴∠GCP＝∠GPC，∵∠GPC＝∠APE，∴∠AEP＝∠APE，∴AP＝AE＝﹣1，∴E（0，1﹣），∴DE＝2﹣（1﹣）＝+1，∴t＝（+1）s，故答案为：（+1）s；设CE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将C（2，2）、E（0，1﹣）代入解析式得：，解得：，∴CE的解析式为：y＝x+1﹣，令y＝0，x＝3﹣，∴K（3﹣，0），∴BK＝2﹣（3﹣）＝﹣1，∴＝，∴点K是线段AB的黄金分割点．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、点的轨迹、待定系数法求直线的解析式、勾股定理、黄金分割等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．23．（2021·全国九年级专题练习）材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：“如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）