高三一轮复习讲义（提高版）数学第七章7.2球的切接问题

§7.2球的切、接问题重点解读球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决.一、正方体与球1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a.2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长2a.3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长3a.二、长方体与球外接球：外接球直径2R=体对角线长a2+b2+c2(a三、正棱锥与球1.内切球：V正棱锥=13S表·r=13S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(hR)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h).四、直棱柱的外接球球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=h22+r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r五、圆柱的外接球R=h22+r2(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高六、圆锥的外接球R2=(hR)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).题型一外接球命题点1补形法例1(1)古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.若四棱锥PABCD为“阳马”，PA⊥平面ABCD，AB=BC=4，PA=3，则此“阳马”外接球的表面积为()A.41π2 BC.41π D.41π(2)已知三棱锥SABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=7，SC=AB=5，则球O的表面积是.思维升华满足下列条件的可以补成长方体(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图①.(2)三棱锥的四个面均是直角三角形，如图②.(3)(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③.跟踪训练1在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=22，且三棱锥PABC的体积为83，若三棱锥PABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(A.4π B.16πC.8π D.16π命题点2定义法例2(2024·六盘水模拟)如图，在四面体ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=2，则四面体ABCD外接球的表面积为()A.2π B.4π C.8π D.8π思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.跟踪训练2已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥PACD，如图所示，当三棱锥PACD的表面积最大时，三棱锥PACD的外接球体积为()A.52πC.23π D.8命题点3垂面法例3(2024·双鸭山模拟)已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为()A.16π3 B.8π C.28π3 D思维升华找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.跟踪训练3在三棱锥PABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2，则三棱锥PABC外接球的表面积为()A.4π3 B.8π3 C.11π3题型二内切球与棱切球命题点1内切球例4(2025·洛阳模拟)已知一圆台容器的上、下底面中心分别为O1，O2，且O1O2=103，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为()A.96π B.192πC.48π D.248π命题点2棱切球例5一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每条棱都相切，则该球的表面积为()A.43π B.4π C.42π D.3π思维升华多面体内切球的球心与半径的确定(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.(4)体积分割是求内切球半径的通用做法.跟踪训练4(1)已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为()A.4π3 B.43π C.86π D.(2)将一个母线长为3cm，底面半径为1cm的圆锥形木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为()A.2πcm2 B.πcm2C.5π2cm2 D.3π2多球堆叠相切问题多球堆叠相切问题关键是连接各球的球心，通过研究球心连接成的几何体解题.典例(1)把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，在这四个球所形成的空隙中放入一个小球，则此小球的最大半径为.

(2)两球O1和O2在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的三个面相切，球O2与过点C1的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为()A.3(2－3)π B.4(2－3)πC.6(2－3)π D.12(2－3)π答案精析探究核心题型例1(1)D[由于PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，由于四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，所以AB，AD，PA两两互相垂直，所以四棱锥PABCD可补形为长方体，且长方体的体对角线为PC=32+所以外接球的直径2R=41所以外接球的表面积为4πR2=41π.](2)8π解析将三棱锥SABC放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示，则a则a2+b2+c2=8，因为球O的直径即为长方体的体对角线，则球O的半径为a2+所以球O的表面积是4π×(2)跟踪训练1D[∵三棱锥PABC的体积为8∴13×34∴PA=433，将三棱锥补成三棱柱，可得球心为三棱柱外接球的球心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高∵△ABC是边长为22的正三角形，∴△ABC外接圆的半径r=2∴球的半径为R=d=233∴该球的表面积为4π×22=16π.]例2B[设O是AB的中点，连接OC，OD，如图所示，由∠ACB=∠ADB=90°，得OA=OB=OC=OD，所以O是四面体外接球的球心，且半径为OA=OB=OC=OD=12AB=1所以外接球的表面积为4π×12=4π.]跟踪训练2D[由题意可得，△ACD，△ACP均为边长为2的等边三角形，△PAD，△PCD为全等的等腰三角形，则三棱锥PACD的表面积S=2S△ACD+2S△PCD=2×12×2×2×32+2×12×2×2sin∠PCD=23+4sin∠PCD≤2当且仅当sin∠PCD=1，即PC⊥CD时，三棱锥PACD的表面积取最大值，此时△PAD，△PCD为直角三角形，PD=PC2取PD的中点O，连接OA，OC(图略)，由直角三角形的性质可得OA=OC=OD=OP=2即三棱锥PACD的外接球的球心为O，半径R=2，故外接球体积V=43π×(2)3=8例3C[如图，取BC的中点E，BD的中点F，所以F为△BCD的外心，连接AE，EF，设△ABC的外心为G，因为AB=BC=AC=2，即△ABC为等边三角形，所以点G在AE上，连接OG，OF，则OG⊥平面ABC，OF⊥平面BCD，因为平面ABC⊥平面BCD，所以OG⊥OF，因为△ABC为等边三角形，E为BC的中点，所以AE⊥BC，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD，则AE∥OF，又EF⊂平面BCD，所以AE⊥EF，同理EF⊥平面ABC，所以EF∥OG，故四边形OGEF是矩形.由BC⊥CD，可得BD=BC2故DF=2又OF=EG=13AE=13ABsin设球O的半径为R，则R2=OD2=OF2+FD2=7所以球O的表面积S=4πR2=28π3.跟踪训练3D[如图，设O1是BC的中点，连接O1A，O1P，由于∠BAC=90°，所以O1是△ABC的外心，O1A=O1B=O1C.由于PA=PB=PC=BC=2，O1是BC的中点，则PO1⊥BC，PO1=3，O1A=1则PO12+O1A2=PA则PO1⊥O1A.又O1A∩BC=O1，O1A，BC⊂平面ABC，所以PO1⊥平面ABC，而PO1⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.由于△PBC是等边三角形，设O是△PBC的外心，连接OA，OB，OC，则OP=OB=OC，又因为O在PO1上，所以OB=OC=OA，则O也是三棱锥PABC外接球的球心.设外接球的半径为r，根据等边三角形的性质可知r=OP=23O1P=所以外接球的表面积为4πr2=4π×2332=例4B[如图所示，根据题意可知O1A=2，O2B=12，O1O2=103.设圆台容器内能放置的最大球的球心为O，且与下底面和母线AB分别切于O2，C，因为tan∠ABO2=10312-2所以∠ABO2=60°，所以∠OBO2=30°，所以可知球的半径R=OO2=O2Btan30°=12×33=4此时球的直径为2R=83<O1O2=103即此时球与圆台容器上底面不相切，因此圆台容器内能放置的最大球的表面积S=4πR2=192π.]例5B[如图所示，因为正四棱锥底边边长为2，高为2所以OB=2SB=2，O到SB的距离为d=SO×OB同理O到SC，SD，SA的距离为1，易知O到AB，BC，CD，DA的距离也为1，所以O为球的球心，所以球的半径为1，所以球的表面积为4π.]跟踪训练4(1)D[设正方体的棱长为a，则6a2=24，解得a=2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长即为球的直径长，所以球的半径长是2，所以此球的体积为43π×(2)(2)A[原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，该内切球的半径与该圆锥轴截面的内切圆半径相等，画出该轴截面如图，由母线长为3cm，底面半径为1cm可得该圆锥的高h=32-12=22设内切球的半径为r，则有S轴截面=12×2×22=12×3r+12×3r+12解得r=22cm，则内切球表面积，即最大零件的表面积为4πr2=2π(cm2).微拓展典例(1)6－解析如图，点E为下层三个球中的一个球的球心，连接各球的球心，可得到