相交线与平行线重难点题型

专题02相交线与平行线重难点题型

题型1、邻补角、对顶角、垂直的相关计算

解题技巧：邻补角的和等于180°,对顶角相等这两个结论在几何计算中的应用非常广泛。邻补角和对顶角

在解题中常常起着桥梁的作用，它们可以将未知角和已知角直接联系起来，是复杂的问题简单化。我们要

善于挖掘题干中的隐含信息，充分利用邻补角和对顶角的关系，使其与已知条件相联系，从而使所求问题

得到解决。

1.（2021•四川南充•七年级期末）如图，直线A8,CO相交于点O,OEJ_A8于。，OF平分NDOE,若N

AOC=32。，则NA。产的度数为（）

【答案】A

【分析】根据OELABJ-O,即可得出N8OE=NAOE=90。,进而求出NQOE=58。，再利用O吁分4DOE,

即可求出NEOF的度数，再由ZAOF=NAOE+NEOF即可求出ZAOF的度数.

【详解】解：TOELAB于O.：.ZBOE=ZAOE=90°,VZAOC=32°,：.ZAOC=ZBOD=32°,

ZAOF=Z/4（7E+ZEOF=90o+290=119°.故选：A.

【点睛】此题主要考查了垂线、角平分线的定义、对顶角等知识点，根据已知熟练应用角平分线的性质以

及邻补角与余角之间关系是解题美键.

2.（2021•全国•七年级专题练习）如图，直线人8和CO交于。点，OD平分NBOF,OE_1_€7）于点0,Z

AOC=40。，贝IJNEO尸二.

【分析】根据对顶角性质可得N&">=NAOC=40。.根据。。平分NAOF,可得NDOF=NBOD=40。,根据

OE±CD,得出NEOZ>90。，利用两角和得出/£0尸=/后。0+/。。尸=130。即可.

【详解】解:・・・4B、C。相交于点。，AZBOD=ZAOC=40°.

•••。。平分NAO凡，/。。产=/8。。=40。，-：OE±CD,AZE0D=9O°,

Z.ZEOF=ZEOD+ZDOF=130°.故答案为130。.

【点睛】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直

定义是解题关键.

3.(2021•黑龙江•哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习)已知，线段A8垂直于线段CD,垂足为。，OE平

分NAOC,N8。广=28°,贝1」/七0万=°.

【答案】107

【分析】分两种情况:①射线。户在N8OC内部;②射线。尸在NBOD内部.

【详解】解：・.YB_LCD,垂足为。，・・・NAOC=NCO8=90。，

•••OE平分NAOC,AZAOE=ZCOE=^ZAOC=45°.分两种情况：

①加图1,射线OF在ZBOC内部时，

VZAOE=45Q,NBOF=28。,AZEOF=180°ZAOEZBOF=107°；

②如图2,射线OF在NBOD内部时，

VZCOE=45°,NCOB=90°,/4。〃=28°,；./EOF=/C()E+NCOB+/BOF=T63。.

故答案为107或163.

【点睛】本题考查了垂直的定义，角平分线定义以及角的计算，进行分类讨论是解题的关键.

【点睛】本题考查了对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题关键.

【答案】90%理由见解析

【分析】根据折叠的性质得出根据角平分线定义求出NG。fg/6。月推出/

EDG=；NBDF+；ZADF=^ZBDA即可求出答案.

【详解】解：ZEDG=90°：

理由是：•・•斜折一页书的一角，使点A落在同一书页内的尸处，DE为折痕，，NFDE=NADE=g/ADF,

•・・DG平分N8O/，:.NGDF=三£BDF,

・•・ZEDG=ZGDF+ZFDE=NBDF+gZADF=^xl8O0=9O°.

【点睛】本题考查了角平分线定义和折叠的性质的应用，关键是求出NaG=gNBZ/+gNAZ）F=gN8D4.

6.（2021•黑龙江•哈尔滨德强学校七年级期中）已知：直线A8与直线CO交于点O,过点。作O£_LA8.

（2）如图，在（1）的条件下，过点。作O”J_C£>,经过点0面直线MM满足射线0M平分N8。。在不

添加任何辅助线的情况卜，请直接写出与2NE。/度数相等的角.

【答案】（1）60°；（2）/BOC,/A。。，/NOF,NEOM

（2））根据（1）中NAOC=60。，分别计算各角的度数，得其中NEO尸=60。，根据各角的度数可得结论.

•・・0EJ_A8,・・・NBOE=90。，AZCOBZCOE=90°,

（2）如图2,由（1）知：ZAOC=60°,

•・•射线O/W平分N8O。，・•・NBOM=/D0M=ZAON=NCON=30。，

,COEA.AB,OC1OF,ZAOE=ZCOF=90°,JNAOC=NE。产=60。,

（4）对顶角的平分线在同一直线上；邻补角的平分线互相垂直.

【点睛】本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个

角的平分线.也考查了邻补角和对顶角.

题型2平行线间距离与面积问题

解题技巧：两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高乜相等，所以面积相等。在解此类题型时,

先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。

【答案】4

【分析】由AD//BC,SACBE与S“BC均以BC为底，且高相等,则得到SACBE=SAABC=5,再利用SABOC=SACBE

S^EOC得到结论.

【解析】解：・・・AD〃BC,...SACBE与SAABC均以BC为底，且高相等.，SACBE=SAABC=5,

SAEOC=1>ASABOC=SACBESAEOC=51=4,故答案为：4.

【点睛】本题考查了三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键.

2.（2020•南通市通州区育才中学八年级月考）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的

两个定点，且直线m〃n.则下列说法正确的是（）

A.AC=BPB.△ABC的周长等于^BCP的周长

C.△ABC的面积等于△ABP的面积D.△ABC的面积等于△PBC的面积

【答案】D

【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案.

【详解】解：:A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m〃n,

根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与APBC是同底等高H勺三角形，

故AABC的面积等于△PBC的面枳.故选D.

【点睛】本题考查平行线之间的距禽；三角形的面积.

A

【答案】C

【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键.

【答案】9：16

【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知4BCD和4ABC的面积比等于CD：

AB,从而进行计算.

【解析】解：・・・a〃b,.・.△ABC与ACBD等高•二△ABC的面积：ACBD的面积=AB：CD,

:△ABC和4CBD的面积之比是9：16,，AB：CD=9：16,故答案为：9：16.

【点睛】此题考查了平行线间的距离以及三角形的面积比的一种方法，即等高的两个三角形的面积比等于

它们的X底的比.：

A.向左移动变小B.向右移动变小C.始终不变D.无法确定

【答案】C

【分析】根据平行线间的距离处处相等可得点P到CD的距离不变，因此三角形的面积不变.

••・无论点。怎么移动，点。到的距离不变，

【点睛】本题考首平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【点睛】本题考查平行线间的距离问题，由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等，从而建立方程是

解题的关键.

题型3网络平移

解题技巧：观察比较网格中平移前后图形的位置变换，确定平移方向和平移距离。

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)9.5

【分析】(1)根据网格特点以A为锐角顶点，对边为1,临直角边为5构造格点直角三角形，即可解答;

(2)根据网格特点以A为锐角顶点，对边为1,临直角边为5%造格点直角三角形，即可解答；

(4)由矩形法即可求出「角形面积.

【详解】解：(1)如图所示，是3c的垂线；P为所求格点；

【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握相关性质以及结合网格画出对应点是解题关键.

2.(2020•安徽合肥市•八年级期中)如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A(—5,1),

B(4,0),C(2,5),将^ABC向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到AEFG.

>4

（1）画出平移后的图形，并写出AEFG的三个顶点坐标.

（2）求AEFG的面积.

【分析】（1）分别作出A,B,C的对应点E,F,G即可解决问题.

（2）利用分割法求三角形面积即可.

【详解】解：（1）如图，4EFG即为所求，E（3,0）,F（6,1）,G（4,4）.

【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题.

3.（2020•浙江金华市•八年级期末）在如图所示的方格纸中，

【答案】（1）图见解析•：（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，面积是16

【详解】解：（1）如图所示,

（2）如图所示，

【点睛】本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法和图形平移的方法.

4.（2020•江苏盐城市•金丰初中七年级月考）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫

格点.（1）画出aABC的A3边上的中线CD.（2）画出AABC向右平移4个单位后得到的△AIBCI.

（3）图中AC与AIG的关系是：.

【答案】（1）作图见解析：（2）作图见解析；（3）平行且相等

【分析】（1）根据中线的定义得出AB的中点即可得出AABC的AB边上的中线CD；

（3）利用平移的性质得出AC与A1C1的关系；

【详解】（1）灰?的43上的中线CO如图所示，

（3）根据平移的性质得出,AC与4G的关系是：平行且相等；

5.（2020•杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）如图，在所给网格图（每个小格均为边长是1的正

方形）中完成下列各题：（1）△A8C经过平移后得到请描述这个平移过程；

（2）过点。画A3的平行线C。：（3）求出△A8C的面积.

【答案】（1）AAbC向下平移4个单位，向左平移5个单位得到△AiSG；（2）见解析；（3）5.

【分析】（1）根据平移变换的性质解决问题即可；（2）利用数形结合的思想解决问题即可；

（3）利用分割法求解即可.

【详解】解：（1）△ABC向下平移4个单位，向左平移5个单位得到A4囱G；

（2）如图，直线CQ即为所求;

A

/\

/

C

%\

/\B

/X\

C1、

（3）SAAAC=4X4--x3x4--x1x2--x2x4=16-6-I-4=5.

222

【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行线的判定和性质，三角形的面积，坐标与图形的平移等知识，解

题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

（3）在上述平移中，边A8所扫过的面积为

B\

Bf/

/\

f\

\

/1

Lc

A

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34

【分析】（1）首先确定A、C两点平移后的位置，再连接即可；

（2）利用三角形中线和高的定义画图即可；（3）利用矩形面积减去多余三角形面积即可.

【详解】解：（1）如下图所示；

（2）如下图所示；

故答案为：34.

【点睛】此题主要考查了平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置.

题型4命题概念理解性问题

解题技巧：判断一个命题的正假，只要举出一个反例，即让它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。

证明一个命题正确时，证明中的每一步推理都要有依据，不能“想当然”。这些根据可以是已知条件，也可

以是学过的定义、基本事实、定理等。

1.（2020•浙江绍兴市•八年级月考）命题“对顶角相等“改写成如果,那么

【答案】两个角是对顶角这两个角相等

【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面.

【详解】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，

故写成“如果…那么…''的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，

故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等.

【点睛】本题主要考杳了将原命题写成题设与结论的形式，“如果”后面是命题的题设，“那么”后面是命题的

结论，解决本题的关犍是找到相应的题设和结论，比较简单.

【答案】A

【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项.

t点睹】此题土要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如

果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

3.（2021•浙江杭州市•八年级期末）要说明命题“若则/乂2”是假命题，可设（)

A.a=3,b=4B.a=4,b=3C.a=-3,b=-4D.a=—4,b=—3

【答案】C

【分析】说明是假命题，只需举一个反例即可，作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要

求对各选项进行判断即可.

【详解】解：A选项和D选项中，a<h,不满足条件，不能作为反例，不符合题意；

B选项中，a=4,b=3,满足也满足消乂落不能作为反例，不符合题意；

C选项中，a=—3,b=-4,满足a>。，a2<b2,能作为反例，符合题意；故选：C.

【点睛】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出•个反例就可以.

4.（2021•重庆南岸区•八年级期末）下列命题中，是假命您的是（）

A.两直线平行，内错用相等B.两直线平行，同位角相等

C.两直线平行，同旁内角相等D.两直线平行，同旁内角互补

【答案】C

【分析】根据平行线的性质定理依次作出判断即可.

【详解】解：A.两直线平行，内错角相等，正确，真命题，不符合题意；

B.两直线平行，同位角相等，正确，真命题，不符合题意；

C.两直线平行，同旁内角相等，错误，假命题，符合题意；

D.两直线平行，同旁内角互补，正确，真命题，不符合题意；故选：C.

【点睛】本题考查判断命题的真假.掌握平行线的性质定理是解题关键.

5.（2021•渝中区•重庆巴蜀中学七年级期末）下列命题是假命题的是（）

A.对顶角相等B.两点之间线段最短C.同角的余角相等D.内错角相等

【答案】D

【分析】根据相关概念辨析即可.

【详解】根据相关定义A,B,C均正确，

对于D,当两直线平行时，内错角相等，故本选项是假命题，故选：D.

【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到直线相交时产生的相关概念，以及两点间距离等等，熟记基木

定理及性质是解题关键.

6.（2021•四川成都市•八年级期末）下列命题中，真命题的是（）

A.同旁内角互补，两直线平行B.相等的角是对顶角

C.同位角相等D.直角三角形两个锐角互补

【答案】A

【分析】利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；

B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假台题；

C、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；

D、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题.故选：A.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义,

难度不大.

题型5、折叠问题中角的计算

解题技巧：在折叠的过程中，会产生相等的角。利用折叠中的相等角，结合对顶角、邻补角进行推导求解。

1.（2020•江苏秦淮•南京一中初二月考）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C,

且BC与AD交于E点，若NABE=40。，则NADB=.

【解析】首先根据矩形的性质可得NABC=90。，AD〃BC,进而可以计算出NEBC,再根据折叠可得NEBD二

ZCBD^ZEBC,然后再根据平行线的性质可以计算出NADB的度数.

解：•・•四边形ABCD是矩形，・・・/ABC=90。，AD〃BC,

VZABE=40°,AZEBC=90°-40o=50°,根据折叠可得NEBD二NCBD,AZCBD=25°,

•・・AD〃BC,.\ZADB=ZDBC=25°,故答案为25。.

考点：翻折变换（折叠问题）.

E

AD

【答案】44

【分析】先根据两直线平行，内错角相等，由AD〃BC得到NDEF=NEFB=68°,再利用折叠的性质得

到ND'EF=NDEF=68°,然后利用平角的定义求解.

【解析】VAD/7BC,・・・NDEF=/EFB=68°,

•・•长方形纸片沿EF折叠后，点DC分别落在点D'、C'的位置，・・・ND'EF=ZDEF=68°,

/.ZAEDZ=180。一ND'EF-ZDEF=180°-2x68°=44°.故答案为44。.

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，

内错用相等.也考查了折叠的性质.

【答案】550

【分析】根据翻折可知对应角都相等.另外两直线平行，同旁内角互补.利用这两条性质即可解答.

【解析】解：：AE〃BF,・・・NAEP=NFPE=70°.又：折叠后DE与BF相交于点P,设NPEF=x,

即NAEP+2NPEF=180。,即70。+2x=180°,x=55°.即NPEF=550,故答案为:55°.

【点睛】解答此题的关键是要明白图形翻折变换后与原图形全等，对应的角和边均相等.

4.（2020•广东禅城.初一期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折卷后，点D.C分别落在O',C的位置.若

NAED'=30°,则NBFC'的度数为.

【分析】根据平角的定义计算出/DED'=150°,再根据折叠的性质得NDEF=ND'EF,所以NDEF=g

2

NDED'=75°.再由平行线的性质可得NDEF=NEFB=75°,ZDEF+ZEFC=180:>，即可得NEFC=105°,

由折叠的性质可得NEFC二NEFC'=105°,由此可得NBFC'=ZEFCZZEFB=105°75°30°♦

【解析】VZAED,=30°,/.ZDEDr=180°NAED'=180°30°=150°,

•••长方形纸片沿EF折置后，点D、C分别落在D'、C'的位置,

.,.ZDEF=ZD/EF,AZDEF=-ZDED,=-X150°=75°.

22

VAD//BC,/.ZDEF=ZEFB=75°,ZDEF+ZEFC=180°,.,.ZEFC=105°,

•・•长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置，

・・・NEFC=NEFC'=105°,：.ZBFCf=ZEFC,ZEFB=105°75°30°.故答案为30°.

【点睛】本题考查了折叠的性质及平行线的性质，熟练运用折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键.

【分析】根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可.

【解析】解：如图，由题意可知，AB〃CD,・・・/l+N2=130°,

由折叠可知,Z1=Z2,/.2Z1=13O°,解得Nl=65。.故答案为：65.

【点睛】本题考查了平行线的性质和折福的知识.题目比较灵活，难度一般.

6.（2020•江苏镇江市•八年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果Nl=55。，那么N2=

【答案】no

【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到N2的度数，本题得以解决.

【详解】如图：

2

3\1

由折叠的性质可得，Z1=Z3,VZI=55°,.\Z1=Z3=55°,

•••长方形纸片的两条长边平行，・・・N2=N1+N3,・・.N2=110。，故答案为：11（）.

【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

题型6、识别同位角、内错角和同旁内角

解题技巧：常见的识别方法有2种，具体如下

①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角

例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有N1、/2、N3、N4、N5、N6、N7、N8这8个

角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找

②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：。与第三条直线的位置关系：〃.与

被截两条直线的位置关系

例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，旦在被截两条直线的同一侧。则N8与N4符合同位角关系。

内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则/8与N2符合内错角关系。

同旁内角，即：在第三条直线的向侧，且在被截两条直线的内侧。则与/3符合同旁内角关系。

方法二、像形识别法：①同位角：F②内错角：Z③同旁内角：C

1.（2021•巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（）

4

3,

2\

A.N3和/5是同位角B.N4和/5是同旁内角C.N2和N4是对顶角D.N2和/5是内错角

【分析】根据同位角，同旁内角，对顶角以及内错角的定义进行判断.

【答案】解：A、N3和N5是同位角，故本选项不符合题意.

B、N4和N5是同旁内角，故本选项不符合题意.

C、N2和N4是对顶角，故本选项不符合题意.。、N2和N5不是内错角，故本选项符合题意.故选：D.

【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角.解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线

入手.

2.（2021•浙江长兴•七年级期末）如图，/A与/1是（）

A.同位角B.内错角C.同旁内角D.对顶角

【答案】A

【分析】先确定基本图形中的截线与被截线，进而确定这两个角的位置关系即可.

【详解】解：根据图象，/人与/I是两直线被第三条直线所截得到的两角，因而NA与NI是同位角,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了同位角的定义，是需要识记的内容，比较简单.

3.（2021•广东东莞•七年级期末）如图所示，下列四个选项中不了硬的是（）

A.N1与N2是同旁内角B.N1与N4是内错角C.N3与N5是对顶角D.N2与23是邻补角

【答案】B

【分析】根据同旁内角，内错角，对顶角，邻补角的定义逐项分析.

【详解】A.N1与N2是同旁内角，故该选项正确，不符合题意；

B.N1与N4不是内错角，故该选项不正确，符合题意；

C.N3与N5是对顶角，故该选项正确，不符合题意；

D./2与N3是邻补角，故该选项正确，不符合题意；故选B.

【点睛】本题考查了同旁内角，内错角，对顶角，邻补角的定义，理解定义是解题的关键.两条直线被第

三条直线所截，如果两个角分别在两条直线的同侧，且在第三条直线的同旁,那么这两个角叫做同位角.两条直

线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条直线之间，且在第三条直线的两侧,那么这两个角叫做内错角.两

条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条直线之间，且在第三条直线的同旁，那么这两个角叫做同旁

内角.两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.

A.直线CO,A8被直线8。所截形成的B.直线AO,8C被直线4E所截形成的

C.直线。C,45被直线AD所截形成的D.直线QC,A5被直线EC所截形成的

【答案】A

【分析】根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同--侧是同旁内角，可得同旁

内角.

【点睛】本题考查了同旁内角的含义，熟练掌握含义是解题的关键.

5.（2021•山东郑城•七年级期末）如图，直线A。，被直线4F和AC所截，则/I的同位角和N5的内错

A.Z2和N4B.26和/4C.Z2和N6D.N6和N3

【答案】A

【分析】同位角：两条直线。，。被第三条直线C所截（或说。，〃相交C），在截线C的同旁，被截两直线。，

。的同•侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截

线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，根据此定义即可得出答案.

【洋解】解：•・•宜线4D，BE被直线B厂和AC所截，・・・N1与N2是同位角，N5与N4是内错用，故选A.

【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题关键是熟记内错角和同位角的定义.

试一试：（1）写出从起始位置/I跳到终点位置N8的•种路径：

（2）从起始位置NI依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置N8?

【分析】（1）根据同旁内角、内错角和同位角的定义进行选择路径即可：（2）先判断能够到达终点位置,

在根据定义给出具体路径即可.

（2）从起始位置N1依次按同位角内错角同旁内角的顺序跳，能跳到终点位置N8.其路径为

【点睛】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知这些角的特征是解题的关键.

题型7、证平行线的技巧

解题技巧：

1）、借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再观察题干，看那些已知

条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此展开证明推导。

2）、转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间的关系，通常需要寻找

中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关系。

王老的：两个直角三角板拼成如困

所示的彩状，在不添加辅助式的情

况下，判新AE与CD的位员关系.

A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行

C.内错角互补，两直线平行D.同旁内角互补，两直线平行

【答案】B

【分析】根据三角板中的度数，结合图形，利用平行线的判定即可做出选择.

【点睛】本题考查平行线的判定，熟知三角板中的度数，掌握平行线的判定是解答的关键.

【答案】①③⑥

【分析】根据平行线的判定逐•判断即可.

【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键.

（3）0C和EG的位置关系为OC〃GE.

【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键.

4.（2020•陕西省西安市育才中学初一月考）如图，已知NABC=180o/A,BD_LCD于D,EF_LCD于E.

⑴求证:AD〃BC；（2）若NADB=36。,求NEFC的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）36。.

【分析】（1）求出/ABC+/A=I8（T,根据平行线的判定推出即可：

⑵根据平行线的性质求出NDBC,根据垂直推出BD〃EF,根据平行线的性质即可求出NEFC.

【解析】（1）证明；VZABC=I8O°ZA,/.ZABC+ZA=180°,AAD^BC；

⑵：AD〃BC,ZADB=36°,AZDBC=ZADB=36°,VBD1CD,EF1CD,

，BD〃EF,AZDBC=ZEFC=36°

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①两宜线平行，同位角相等，②两直线平行，内

错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然.

【答案】(1)105°,30。；(2)平行,理由见解析

【分析】(1)根据折叠求出NBAD=NDAF,根据三角形内角和定理求出NAFB的度数后进而求得NAFC：由

三角形内角和定理求出NADB,进而求得NADF,再用NADB/ADF即可求解.；

(2)求出NC=NEDF=30°,即可证DE〃AC.

【解析】解：⑴由折叠前后对应的角相等可知，ZBAD=ZDAF=30°,

，NBAF二NBAD+/DAF=300+30°=60°,

在AABF中，由三角形内角和定理可知，ZAFB=180°ZBAFZB=180o60°45o=75°,

:.ZAFC=180°ZAFB=180°75°=105°,

在4ABD中，由三角形内角和定理可知，ZADB=180°ZBADZB=180°30°45°=105°,

.,.ZADF=180°ZADB=75°,由折叠前后对应的角相等可知，ZADE=ZADB=105°,

AZEDF=ZADEZADF=105°75o=30°,故答案为：105°,30°；

(2)DEHAC,理由如下：;△ABD沿AD折叠得到aAED,・・・NB;NE=45°,

VZE：ZC=3：2,AZC=30°,AZC=ZEDF=30°,ADE#AC.

【点睛】本题考杳了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的判定等知识点，能根据定理求出各个角的

度数是解此题的关键.

6.(2021•辽宁朝阳市•八年级期末)如图，△ABC中，ZABC=ZACB,BD平分NABC,CE平分NACB,

BD,CE交于点O,F,G分别是AC,BC延长线上一点，且NEOD+NOBF=180。，ZDBC=ZG,指出

图中所有平行线，并说明理由.

A

【答案】EC〃BF,DG〃BF,DG〃EC,见解析

【分析】根据同角的补角相等，和平行线的判定定理即可作出判断.

【详解】解：EC〃BF,DG〃BF,DG/7EC.

理由：VZEODIZODr=180°,又NEODINBOE=180。，/.ZDOE=ZODF,・・.EC〃DR

VZABC=ZACB,BD平分NABC,CE平分NACB,Z.ZDBC=ZECB,

又；EC〃BF,.\ZECB=ZCBF1AZDBC=ZCBF,

又：NDBC=NG,AZCBF=ZG,ADG/7BF；

VEC/7BF,DG〃BF,，DG〃EC.

【点睛】本题考杳平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质定理及补角定理是解题关键.

题型8平行线的性质

解题技巧：平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。

1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两真线不平

行时，3类角无大小关系。

2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角

相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。

1.（2020•河南西华•初一期中）如图所示，直线AB,BC,4。两两相交，交点分别为A,B,C,点。在直

线A8上，过点。作。E〃BC交直线AC于点E,过点E作交直线于点F,若NABC=50。，则

NDE/的度数一.

A

B/\CF

【答案】130°.

【分析】先求出NA3C=NAQ£=50°,再求出/。£：〜=180°-50°=130°即可.

【解析】解：•••QE〃3C,••.N48C=N4QE=50°（两直线平行，同位角相等），

*：EF//AB,・・・NAOE+/DE尸=180。（两直线平行，同旁内角互补），

AZDEF=1809-50°=130°.故答案为：130°.

【点睛】本题考查了平行线线段的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键.

【分析】（1）利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可;

（2）根据三角形外角的性质和两直线平行，同位角相等求解.

【点睛】本题考查了运用三角形外角性质，角平分线性质，平行线的性质求角的度数，熟练并灵活运用这

些性质是解题的关键.

A

Dz//Xf----------M

R

【答案】5

【分析】由BE平分NABC可得NDBE:NEBC,由DE//BC可得NEBC二NDEB,所以NDEB=NDBE,

所以DE=BD,同理可证EF=CF,由已知线段的长度求解即可.

【解析】♦BE平分NABC,../DBE=NEBC,

VDE//BC,AZEBC=ZDEB,/.ZDEB=ZDBE,/.DE=BD,同理可证：EF=CF,

VBD=8,/.DE=8,VDF=3,/.EF=5,/.CF=5.

【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及平行线的性质，熟记相关性质是解题关键.

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键.

EE

A-----------BA-----------B

图2

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）过点M作MP〃AB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】解：（1）NEMF=NAEM+NMFC.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°.

证明：过点M作MP〃AB.

VAB/7CD,・・・MP〃CD.AZ4=Z3.VMP/7AB,AZ1=Z2.

VZEMF=Z2+Z3,/.ZEMF=Z1+Z4.AZEMF=ZAEM+ZMFC；

图1

证明：过点M作MQ〃AB.

VAB/7CD,・・・MQ〃CD./.ZCFM+Z1=180°；

VMQ/7AB,/.ZAEM+Z2=180°.AZCFM+ZI+ZAEM+Z2=360°.

*/ZEMF=Z1+Z2,・•.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°：

(2)如图2第一个图：ZEMN+ZMNFZAEMZNFC=180°；

过点M作MP〃AB,过点N作NQ〃AB,/.ZAEM=Z1,ZCFN=Z4,MP〃NQ,.,.Z2+Z3=180°,

VZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

.\ZEMN+ZMNF=Z1+Z2+Z3+Z4,ZAEM+ZCFN=Z1+Z4,

.,.ZEMN+ZMNFZAEMZNFC=Z1+Z2+Z3+Z4Z1Z4=Z2-Z3=18O°；

如图2第二个图：NEMNNMNF+NAEM+NNFC=18()。.

过点M作MP〃AB,过点N作NQ〃AB,

/.ZAEM+Zl=180°,ZCFN=Z4,MP〃NQ,AZ2=Z3,

VZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

AZEMNZMNF=Z1+Z2Z3Z4,ZAEM+ZCFN=180°Z1+Z4,

/.ZEMNZMNF+ZAEM+ZNFC=Zl+Z2Z3Z4+180°Zl+Z4=180°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

图a图。

①诗尝试探索Nl，N2,NE三者的数量关系.②请说明理由.

【答案】（1）；（2）①N1+N2NE=18O。：②见解析

【分析】（1）过点E作EF〃AB,根据平行线的性质得到NA=NAEF和NFEC=NC,再相加即可；

（2）①、②过点E作EF〃AB,根据平行线的性质可得/AEF+N08O。和NFEC=N2,从而可得三者之间

的关系.

【解析】解：（1）过点E作EF〃AB,・,.NA;NAEF,

VABZ/CD,AEF/ZCD,AZFEC=ZC,

VZAEC=ZAEF+ZFEC,/.ZAEC=ZA+ZC；

②过点E作EF〃AB,.\ZAEF+Z1=18O0,

(2)①N1+N2NE=18O°,

VAB/7CD,，EF〃CD,Z.ZFEC=Z2,即NCEA+NAEF=N2,

/.ZAEF=Z2ZCEA,AZ2ZCEA+Z1=180°,即N1+N2NAEO180。.

【点睛】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键.

题型9、构造辅助线之添加平行线

解题技巧：D证平行的题目，轴助线技巧比较单一，帑见题型仅“添加平行线”这一种方法。当要求解的

几个角之间“距离”比较远，3类角难以扯上关系时，通常用“添加平行线”的方法，过渡出“距离”较远

角之间的关系。2）“M”型图形，通常通过添加平行线辅助线来与平行联系上

1.（2020•湖北随县•初二月考）如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上,

若NADE=125。，则NDBC的度数为（）

A.125°B.75°C.65°D.55°

【答案】D

【分析】延长CB,根据平行线的性质求得N1的度数，则NDBC即可求得.

【解析】延长CB,延长CB,

AD#CB,Z1=ZADE=145°，JNDBC=18O0—/1=18O0-1250=55。.故答案选：D.

【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.

C.65D.75'

【答案】B

（分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可.

A.150°B.180°C.210°D.240°

【答案】C

【分析】根据题意作直线/平行于直线外和12.再根据平行线的性质求解即可.

【解析】解：作直线/平行于直线人和，2

【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行

内错角相等.

【答案】c

【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN,由平行线的性质可得到Na+NB=NC+/y,可求得答案.

【蟀析】如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN,

【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关健，即①两直线平行o同位角

相等，②两直线平行=内错角相等，③两直线平行=同旁内角互补，④a//b,b//c=a〃c.

5.（2020•石家庄市第二十七中学初一期中）①如图1,AB〃CD,则NA+ZE+ZC=180°；②如图2,AB〃CD,

贝IJNE=ZA+NC;③如图3,AB〃CD,贝UNA+ZE-Z1=18O°④如图4,AB〃CD,则NA=NC+NP.以上结

论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】①如图1，过点E作EF〃AB,

因为AB〃CD,所以AB〃EF〃CD,所以NA+NAEF所80。,ZC+ZCEF=180°,

所以NA+NAEC+ZC=ZA+ZAEF+ZC+ZCEF=180°+180°=360°,则①错误：

②如图2,过点E作EF〃AB,因为AB〃CD,所以AB〃EF〃CD,所以NA=NAEF,ZC=ZCEF,

所以NA+NC=NAEC+/AEF=/AEC,则②正确；

③如图3,过点E作EF〃AB,因为AB〃CD,所以AB〃EF〃CD,所以NA+NAEF=18()。，ZI=ZCEF,

所以NA+NAECN1=NA+NAEC/CEF二NA+NAEF=180。，则③正确；

④如图4,过点P作PF〃AB,因为AB〃CD,所以AB〃PF〃CD,

所以NA=NAPF,ZC=ZCPF,所以/A=NCPF+NAPC=/C+/APC,则④正确；故选C.

6.（2020•石家庄市第二十七中学初一期中）如图，已知AB〃CD〃EF,则NX、/》、Nz三者之间的关

系是（）

【答案】B

【分析】根据平行线的性质可得NCEF=I8O°y,x=z+NCEF,利用等量代换可得x=z+180°y,再变形即可.

【解析】解：VCD/7EF,/.ZC+ZCEF=180c,.,.ZCEF=180°y,

VAB/7CD,・・・x=z+NCEF,.\x=z+180°y,Ax+yz=180°,故选：B.

7.(2020•山东青岛•初一期中)如图，已知ZABC=16°,ZCDE=\50°,则NBCD的度数为°.

B

D----------

C

【答案】46

【分析】过点C作CF〃AB,根据平行线的传递性得到CF〃DE,根据平行线的性质得到NABC=N8CR

ZCDE+ZDCF=\^,根据已知条件等量代换得到NBCF=76。，由等式性质得到NDCF=30。，于是得到

结论.

【解析】解：过点。作C尸〃〃。凡・・・N/lBC=/BCr,ZCDE+ZDCF=180°,

•・・NA8C=76°，ZCDE=\50°.AZ/^CF=76°,ZDCF=30°,，NBCD=46°,故答案为：46.

【点睛】本题主要考杳平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系.

【分析】过B作BH〃DF,由DF//EG,可知BH〃EG,由平行线NABH=NADF=a,ZCBH=ZCEG=P，

由/ABC=NABH+NCBH即可的结论.

【解析】过B作BH〃DF,VDF//EG,，BH〃EG,VDF//EG,AZABH=ZADF=a

【点睛】本题考查三个角之间的关系问题，掌握利用平行线把两角和问题转化为与之相等的两角是关键.

题型10、平行线的压轴题

1.（2021•河南驻马店市•七年级期末）已知：△ABC和平面内一点D.

（1）如图1,点D在BC边上，过D点作DE//BA交AC于点E,作DF//CA交AB于点F,判断NEDF与

NA的数量关系，并说明理由.（2）如图2,点D在BC的延长线上，DF//CA,NEDF=NA,请你判断

DE与BA的位置关系.并说明理由.（3）如图3,点D在△ABC的外部，若作DE//BA,DF//CA,请直

接写出/EDF与NA数量关系.

【答案】（1）相等，理由见解析；（2）平行，理由见解析；（3）相等或互补

【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到NA=NEDF：

（2）延长BA交DF于G.根据平行线的性质以及判定进行推导即可；

（3）分两种情况讨论，即可得到NEDF与NA的数量关系：ZEDP=ZA,ZEDF+ZA=180°.

【详解】解：（1）ZEDF=ZA.理由：，,・DE〃BA,DF〃CA,

AZA=ZDEC,NDEC=NEDF,AZA=ZEDF；

（2）DE〃BA.证明：如图，延长BA交DF于G.

VDF/7CA,AZ2=Z3.又AZ1=Z3.ADE/7BA.

(3)ZEDF=ZA,ZEDF+ZA=I8O°.理由：①如图，：DE〃BA,DF〃CA,

.*.ZD+ZE=180°,ZE+ZEAF=180°,AZEDF=ZEAF=ZBAC；

.*.ZD+ZF=180°,ZF=ZCAB,AZEDF+ZBAC=180°.

B

综上，/EDF与NA相等或互补

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判

断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.

(2)问题迁移

【点睛】本题考查的是平行公理，平行线的性质的应