一元二次方程、不等式 - 2026年高考数学一轮复习基础梳理

■第5讲一元二次方程,不等式

------------------------向知识点目录/---------------------------

【知识点1】求解一元二次不等式....................................................2

【知识点2】一元二次方程根的分布..................................................3

【知识点3】三个二次之间的关系....................................................5

【知识点4】一元二次不等式恒成立问题..............................................6

向揄出知识/

1.二次函数y=ax?+bx+c：a>0)与一元二次方程2片+/)乂+。=09>0),不等式ax+bx+

c>0(a>0)的解的对应关系

方程的判别式4=

4>04=04<0

b—4ac

J/(/

二次函数

&-2/_X)一

的图象V7OKU攵

VX

有两个相等的实数

有两个不相等的实

方程的根b没有实数根

数根X，x(x,<x)根X：=M=――

222a

不等式[b

Xx〈x或x>xj・xxW--*R

的解集2a

2.分式不等式与整式不等式

r(x)

(1)>0«0)<=>f(x)g(x)>0«0)：

g(x)

f(x)

(2)—20(W0)of(x)g(x)20(W0)「Lg(x)W0.

g(x)

3.简单的绝对值不等式

|x|>a(a>0)的解集为(一8,—a)u(a,+8),|x|<a(a>0)的解集为(一a,

a).【常用结论

1.一元二次不等式恒成立问题

⑴不等式ax-+bx+c>0(aWO),xeR恒成立=3〉0且ZkO；

⑵不等式a昭+bx+c<0(aWO),xeR恒成立=a<0且水0；

⑶若a可以为0,需要分类讨论，一般优先考虑a=0的情形.

2.对于不等式ax，+bx+c〉O,求解时不要忘记a=0时的情形.

Q知识点1/

知识点

【知识点1]求解一元二次不等式

对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有

⑴根据二次项系数为正、负及零进行分类.

⑵根据判别式4与0的关系判断根的个数.

⑶有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.

鲤例题

【例1】(2025•开远市校级开学)己知”0,则关于x的不等式4G-5加<0的解集是()

A.3工>5。或工<-〃}B.{川工〈54或工>-。}

C.{x|-a<x<5。}D.{x15f?<x<-a]

【例2】(2025•广东学业考试)不等式入<0的解集是()

A.(-a),2)B.(-oo,0)

C.(0,2)D.(-co,0)52,+8)

【例3】(2024秋•中山区校级期末)关于x的一元二次方程加+云+c=0mbc<0)的解集为{-2,

3},则不等式ex2+bx+a„0的解集为()

A.r11

B.[-2,3]

&S,」]u[l，+8)D.(-00,-2]U[3，+8)

23

【答案】A

【分析】由方程的解集和根与系数关系得a，人c的关系，并由。加<0得〃的正负，代入不等

式ex2+bx+a„0后即可求解.

【解答】解：Q关于X的一元二次方程+队+c=o的解集为{—2,3},

1)=-2+3=1

....c"，艮|Jb=-a，c=-6a,abc=6a3<0,艮|1a<0.

_=_2X3=-6

ex2+bx+a=-6ax2-ax+a=-a(6x2+x-1)„0»

即6F+x-l”0,即(2x+l)(3x-l)”0,解得-LKXWL.

23

故选：A.

【例4】(2024秋•深圳校级期末)己知函数/(x)=&-(a+l)x+l(aeH).

(1)若/⑴在区间(-8,1]上单调递减，求a的取值范围.

(2)求关于x的不等式/(x)>0的解集.

【例5】(2024秋•海淀区校级期中)解关于x的不等式：加一(a+2b+2...0("对・

@知识点2/

知识点

【知识点2]一元二次方程根的分布

【例10】（2024秋•青海期末）若二次方程N+（"6）x+2"4=0在（0,3）上有两个不相等的实根,

则。的取值范围是（）

1313

A.(10+4A+OO)B.(y,6)C.(-,10-4^D.(2,10+4^

5

Q知识点3

知识点

【知识点3]三个二次之间的关系

已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可

以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的iF负

【例11】（2023秋•信阳期中）已知关于x的不等式a（x+l）（x-3）+l>0的解集是（X[,x2）（x]<x2）,

则下列结论正确的是（）

A.%1+x2=2B.X1X2<-3C.—1<x）<xz<3D.x2—X|>4

【例12】（2024秋•吉林期末）已知不等式aF+瓜+。<0的解集为“|x<-1或工>3},则下列结

论正确的是（）

A.a>0

B.c<0

C.a+b+c<0

D.ex?一6+a<0的解集为{x|-1<x<1}

3

【例13】（2023秋•云南期末）已知关于x的不等式炉-姑+a0的解集为{汨2./3},则关于x

的不等式/一队+。<0的解集为（)

A.{x12<x<3}B.{x11<x<3}C.{x12<x<5}D.{x|1<x<5}

【例14】（2024秋•集安市月考）已知关于x的不等式“+以+c>0的解集为（TO,-2）0（3,

+00）,则下列选项中正确的是（）

A.a<0

B.不等式6x+e>0的解集是{x|x>-6}

C.a+b+c>0

D.不等式以2_/）x+a<0的解集为（-00,-L）u（L”）

【例15】（2024秋•大理市期末）若关于实数x的不等式/+灰+c>（）的解集是{x|x<-5或x>2},

则关于X的不等式以2+6+1>0的解集是（）

B.(-00,-1)J(L,4-00)

氏(一势

@知识点4/

知识点

【知识点4]一元二次不等式恒成立问题

恒成立问题求参数的范围的解题策略

⑴弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.

⑵一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式4；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不

能用判别式4,一般分离参数求最值或分类讨论.

雌例题

【例16】（2024秋•武强县校级期末）丸时,不等式避一.也o成立，则，〃的取值

范围是（)

A.{ni|m„2}B.2}C.{w|1<tn<2}D.{m\w...O）

【例17】（2024秋•中牟县期末）设xeR,不等式办2+2〃.3<（）恒成立的一个充分条件可以是

（）

A.-3<«<0B.-3„a<0C.-3<a<1D.-3„a<1

【例18】（2025•芒市校级开学）一元二次不等式收+3"+?>0对任意xe/?恒成立，则实数k

4

的取值范围是（）

A.0<A<lB.0”kvlC.k<QD.0<^,1

【例19】（2024秋•宁波期末）若不等式3-2）（x-b）..O对任意的xwR恒成立，则a+2b的最小

值为（）

A.3B.2应C.4D.3&

【例20】（2025•山东模拟）已知不等式2）x+4...O对任意的xc（（）,+8）恒成立，则实数a

的最小值_2-46—.

图牛刀小试/

5讲一元二次方程、不等式

一•选择题（共10小题）

1.（2025春•临泉县月考）不等式*+3公2<0的解集为（）

A.{x［x<-2或x>-l}B.{x|x<l或x>2}

C.{x|l<x<2}D.{x|-2<x<-l)

2.（2024秋•鹤ft市期末）一元二次不等式-4必7+14...。的解集为（）

77

A.{x\-2<x<~}B.{x|x<>2}

44

77

C.{x|——<x<2}D.{.v|x<-2nJlr>_}

44

3.(2024秋•吕梁期末)己知关于x的一•元二次不等式-2式的解集为{x|_LKxK2},则

2

2的值为（）

n

5

A.2B.c.£D.

5252

4.（2024秋•金ft区期末）当0<”1时，关于，的不等式（》-3）［（1-3+3-3）］<0的解集为（）

A.(-00,--)II(3,-HC)B.(-00,3)11(--,+00)

a-1fl-1

C.(3,二D.(已3)

a-1a-1

5.（2024秋•大兴区期末）关于x的不等式“K+bx+c...0（"0）的解集不可能是（）

A.RB.[-1,1]C.0D.[-1,+oo)

6.(2024秋•佛ft期末)若关于x的方程/-a”+4=0有两相异实根x,x,且0<x<x<4,

12I2

则实数”的取值范围是（

A.(一8,-4)54,+oo)B.(0,5)

C.(4,5)D.(4,8)

7.（2024秋•固镇县期末）关于x的不等式炉-3+1火+”0的解集中恰有1个整数，则实数°

的取值范围是（）

A.(-1,0]U[2，3)B.1-2,-l)U(3,4J

C.[-1,0)52,3]D.(-2,一1)U(3,4)

8.（2024秋•屯溪区期末）若关于x的不等式/-（m+l）x+9,,0在［1,4］上有解,则实数用的最

小值为（

A.9B.5C.6D.—

4

9.（2024秋•宿迁期末）设0,b,C为实数，不等式加+bx+c>0的解集是｛x|x<l或x>3｝,

则方-的最大值为（）

A.-!B.!c.—乜D.史

3333

10.（2024秋•济南期末）若去eR,mx2+2(/〃-3)x+4”0.则实数小的取值范围为（）

A.(1,9)B.(-oo,0)

C.(-00,1)U(9,4-00)D.(-8,1]U[9，+00)

二・多选题（共4小题）

（多选）11.（2025•余姚市模拟）关于x的一元二次不等式〃/+以+1>。的解集为（_1,则下

1-）

2

列成立的是（）

A.a2+b2=5B.a+b=—3C.ab=-2D._=2

b

（多选）12.（2024秋•西峰区期末）关于x的不等式f+亦+3a>0的解集为R的充分不必要条

件有（）

A.Iga=1B.0<"12C.l<a<llD.-1<f/<15

（多选）13.（2024秋•南昌县期末）已知关于x的不等式a/+bx+c...0的解集为｛.v\—3„x„45,

则下列说法正确的是（）

A.a<0

B,不等式ex2-队+a<0的解集为1}

43

C.a+b+c<0

D.2+0的最小值为T

3b+42

（多选）14.（2024秋•日照期末）已知关于x的不等式”+上+以.0的解集为天|-30口4},则

（）

A.a<0

B.q+b+cvO

C,不等式ex?-队+q<0的解集为L）

43

D.8+c的最小值为6

3/）+l2

三•填空题（共4小题）

15.（2025春•宝ft区月考）己知不等式—+2ax+b<0的解集为{x|-2<x<3},则实数a/）=.

16.（2025•南通模拟）已知二次不等式2b_3<0的解集为（x,x）,1+1<2,则6的

I2

XXl

取值范围是.

17.（2024秋•许昌期末）若不等式7+2共*0对任意xe[0,2]都成立，则实数加的取值范

围为.

18.（2024秋•广东期末）当关于x的不等式2代+京_?40对一切实数x都成立时，々的取值范

8

围是•

四•解答题（共6小题）

19.（2024秋•朝阳期末）已知函数/（》）=*_“（/,_小-力.

（1）若关于X的不等式/（x）>0的解集为（-3,1）,求a,6的值；

（2）当。=1时，若关于x的不等式八。,（）在H上恒成立，求的取值范围.

20.（2024秋•普宁市期末）已知不等式魂-（q+2.+儿0的解集为{刈10匕2}.

（1）求实数a,力的值：

（2）解关于x的不等式：（x-c）（ox-2）>0（c为常数，且CM2）

21.（2024秋•西宁期末）已知关于x的不等式加一公-4<0.

（1）若不等式的解集为{x|T<x<2},求。的值；

（2）若不等式的解集为R,求。的取值范围.

22.（2024秋•渭滨区期末）已知二次函数/（》）=加-2x-l.

（1）当a取何值时，不等式〃x）<0对一切实数x都成立？

（2）若/⑴在区间（-2,1）内恰有一个零点，求实数a的取值范围.

23.（2025春•辽宁月考）已知函数/（》）=工2一（〃?+2）%+4（〃?eR）.

（1）求关于X的一元二次不等式f（x）„0的解集；

（2）若天€（（）,3],使得〃力”0成立,求实数机的取值范围.

24.（2025•开福区开学）已知函数y=a?+（l-川+。（。€幻.

（1）若冰2+（1_办.+a..（）对一切实数x恒成立，求实数0的取值范围;

（2）解关于x的不等式弟+（1-a）x+a<3a+2.

■第5讲一元二次方程,不等式

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【知识点1】求解一元二次不等式....................................................2

【知识点2】一元二次方程根的分布..................................................6

【知识点3】三个二次之间的关系....................................................9

【知识点4】一元二次不等式恒成立问题.............................................12

向揄出知识/

1.二次函数y=ax?+bx+c：a>0)与一元二次方程2片+/)乂+。=09>0),不等式ax+bx+

c>0(a>0)的解的对应关系

方程的判别式4=

4>04=04<0

b—4ac

J/(/

二次函数

&-2/_X)一

的图象V7OKU攵

VX

有两个相等的实数

有两个不相等的实

方程的根b没有实数根

数根X，x(x,<x)根X：=M=――

222a

不等式[b

Xx〈x或x>xj・xxW--*R

的解集2a

2.分式不等式与整式不等式

r(x)

(1)>0«0)<=>f(x)g(x)>0«0)：

g(x)

f(x)

(2)—20(W0)of(x)g(x)20(W0)「Lg(x)W0.

g(x)

第1页共31页

3.简单的绝对值不等式

|x|>a(a>0)的解集为(一8,—a)u(a,+8),|x|<a(a>0)的解集为(-a,

a).【常用结论

1.一元二次不等式恒成立问题

⑴不等式ax+bx+c〉O(aWO),xeR恒成立=a>0且ZkO；

⑵不等式ax-+bx+c<0(aWO),xeR恒成立=水0且水0；

⑶若a可以为0,需要分类讨论，一般优先考虑a=0的情形.

2.对于不等式ax，+bx+c〉O,求解时不要忘记a=0时的情形.

Q知识点1/

知识点

【知识点1]求解一元二次不等式

对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有

⑴根据二次项系数为正、负及零进行分类.

⑵根据判别式4与0的关系判断根的个数.

⑶有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.

鲤例题

【例1】(2025•开远市校级开学)己知”0,则关于x的不等式4公-5〃2<0的解集是()

A.3工>5。或工<-〃}B.5|工<54或工>-4}

C.{x|-a<x<5a}D.{x15t?<x<-a]

【答案】。

【分析】直接根据一元二次不等式的解法解不等式即可.

【解答】解：因为/_4内-5层<(),BP(x-5a)(x+d)<0,且a<0,

所以不等式X2-4ax-5a2<0的解集是{x\5a<x<-a}.

故选：D.

第2页共31页

【例2】(2025•广东学业考试)不等式X?-2x<0的解集是()

A.(-00,2)B.(-oo,0)

C.(0,2)D.(-00,0)U(2,+«))

【答案】C

【分析】由二次不等式解法可得答案.

【解答】解：x2-2r<0=>x(x-2)<0=>0<x<2,

故不等式x2-2x<0的解集是(0,2).

力嫩：C.

【例3】(2024秋•中山区校级期末)关于x的一元二次方程序+芯+’=0(人.<0)的解集为{一2,

3},则不等式c%2+hx+a„0的解集为()

A.r11

B.[-2,3]

C・(y,-l]u[L+8)D.(-00,-2]U[3,+8)

23

【答案】A

【分析】由方程的解集和根与系数关系得a，b,。的关系，并由。加<0得〃的正负，代入不等

式+bx+a„0后即可求解.

【解答】解：Q关于x的一元二次方程+队+c=0的解集为{-2,3},

1)=-2+3=1

二4c"，b=-a9c=-6a,abc=6«3<0>艮|Ja<0.

__-2X3--6

Ila

ex2+bx+a=-6ax2-ax+a=-a{6x2+x-1)„0,

即Sd+x-l”0,即(2x+l)(3x-l)”()，解得一LKXKL

23

故选：A.

第3页共31页

【例4】(2024秋•深圳校级期末)已知函数/(力=加-(4+1/+1(4€©.

(1)若/(X)在区间(-8,1］上单调递减，求〃的取值范围.

(2)求关于X的不等式〃x)>0的解集.

【答案】(1){a|0M^l}；

(2)当a=0时,解集为(YO,1);

当”0时，解集为(1」)；

a

当。<4<1时，解集为(-8,1)U11,+8)；

a

当《>I时，解集为(YO」)U。，也)；

a

当,7=1时，解集为(-8,1)5】，手)・

【分析】⑴讨论当"0和"0时，函数/㈤在(70,1］上单调递减的情况即可得出结论;

(2)解/(x)>(),即解不等式(ax-l)(x-1)>(),分类讨论当〃=0和4A0的情况，在&工0的情况

下，再讨论”0,0<^<1,tf>l,以及a=l时的解集，从而得出结论.

【解答】解：(1)当a=0时，/(x)=r+l的单调递减区间为(YO,+8),满足题意，

当”0时,因为/(X)="一g+］)x+1在(-8,1］上单调递减,

［.%+八1

所以J丁，

［<7>0

解得0<%1,

综上所述，a的取值范围为{a|0"a”1};

(2)由/(x)>()可得，(ax-l)(x-l)>0,

①当a=0时，由一口一1)>(),

解得"1;

②当”00时，方程(以-1)(x7)=()的两根为。，

a

当"0时，］_<1»解不等式3-1)(.丫-1)>0得］_<彳<1,

第4页共31页

当。<"1时，1，解不等式(or-l)(x-l)>0得x<l或x>[,

aa

当心1时，L<1，解不等式3-l)(x-1)>0得x>1或x<J_,

aa

当0=1时，由(x-1产>0得x工1,

综上，当〃=0时，解集为(-8,1);

当”0时，解集为(9,1);

a

当。<4<1时，解集为(-8,1)U(1，+8)；

a

当"I时，解集为(roLuam)；

a

当,7=1时，解集为(-8,1)U(1,+co).

【例5】(2024秋•海淀区校级期中)解关于X的不等式:加-(a+2)x+2...0("R).

【答案】若”=0,则不等式为-2x+2...0,此时解集为(YO,1];

若*0,则不等式解集为e,I1；

a

若0<a<2,则不等式解集为(-8,l]u[3，+8)；

a

若,一2,则不等式解集为及；

若">2,则不等式解集为(YO,-][1»+<»).

a

【分析】关于°的大小进行分类讨论，求出a取不同值时的解集.

【解答]解：若"0,则不等式为-2x+2…0,此时解集为(-8,1];

若XH0,不等式化为J(x-1)(tzx—2)...0，

若"<0,则不等式解集为1]；

a

若0<以<2,则不等式解集为y,l]ut£+8)；

若,7=2,则不等式解集为H；

若0>2,则不等式解集为(-8,£]|j[l,+OO).

第5页共31页

图知识点2/

知识点

【知识点2]一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布

解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方

面建立关于系数的不等式（组）进行求解.

⑴判别式△的符号.

⑵对称轴x=-2与所给区间的位置关系.

2a

⑶区间端点处函数值的符号.

蟠例题

【例6】（2025•台湾四模）己知x,x是关于x的一元二次方程，+办+2分=0的两个实数根，且

I2

X,€（0,1）,X2€（1,2）,则实数b的取值范围为（）

]C.3

A.（0.+OO）B.（0,）.（0,1）D.（0,_）

22

【答案】C

【分析】根据一元二次函数的图像和零点存在定理求解力的取值范围.

【解答】解：因为x,、是关于x的一元二次方程於+2〃=0的两个实数根，且xe（OJ）,

I2I

X2€（1,2）,

可得\,X,为函数/（幻=9+OT+26的两个零点，

利用零点存在定理可得：“荆灯，即&，1<0,所以懈1.2人

/（2）>02a+2/?+4〉0a>-b-2

所匚匚以[、।《b>0,

-b-2<-\-2b

解得Ovbvl.

第6页共31页

雌：c.

【例7】（2025春•杭州期中）已知关于X的不等式/一4支+3/<0（"0）的解集为（x,X）,则

12

X+X+上的最大值是（）

12

—

A.越B._4^c递D._4/

亍丁•~~

【答案】B

【分析】根据已知条件可得x+x=4〃，xx=3*,再利用基本不等式相关知识可解.

I2I2

【解答】解：已知关于\的不等式/一45+3。2<0（。<0）的解集为。，x）,

I2

则x+x=4a9xx=3a2，

I212

当且仅当_4。=一三时，即“=_费时，取等号,

—3a6

则x+x+%的最大值是-

I2.

x}x23

故选：B.

【例8】（2024秋•亳州期末）已知a>0,且乙是方程/+队_8=0的一个根，则6+”勺最小值

aa

是1）

A.8也B.4C.2D.8

【答案】。

【分析】根据三是方程N+笈—8=（）的一个根得到a和力的关系，求出和根据基本不等式求出

a

力+9的最小值.

a

【解答】解：由3是方程》2+云-8=0的一个根可得上+2-8=0,

aa2a

第7页共31页

所以b+9=4a-三+9=4“+f22..2=8,

aaaaya

当且仅当4a=f,即a=2,8=1时等号成立,

a

故b+9的最小值是8.

a

故选：D.

【例9】(2025春•辽宁月考)若关于x的一元二次方程请一6・5=0的两个实数根分别为%和

x，则1+1的值是()

X]x2

A.6B._6C.5D._5

5566

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解.

【解答】解：关于》的一元二次方程”2-6.”5=0的两个实数根分别为仁利—七+工=2招工=-5,

IzIzIz3

所以、1_6.

X(x2X]X25

雌：B.

【例10】(2024秋•青海期末)若二次方程r+(”6)工+2"4=0在(0,3)上有两个不相等的实根,

则的取值范围是()

A.(10+4Q+8)B.(y,6)C,(y,I0-4^D.(2,10+40

【答案】C

【分析】结合二次方程根的分布条件建立关于“的不等式组，解不等式组即可求解.

【解答】解:因为二次方程因+3-6)x+2a-4=0在(0,3)上有两个不相等的实根,

fV=(a-6)2-4(2a-4)>0

a-6q

所以°<一丁，解得号<〃<10-46

2</-4>0

[9+3("6)+2a-4>0

C.

第8页共31页

图知识点3/

知识点

【知识点3]三个二次之间的关系

已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可

以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负

雌例题

【例11](2023秋•信阳期中)已知关于x的不等式a(x+l)(x-3)+l〉0的解集是(距，x2)(x)<x2),

则下列结论正确的是()

A..V]+x2=2B.X1X2<-3C.-1<xi<xz<3D.x2-xl>4

【答案】ABD

【分析】根据不等式a(x+l)(x-3)+l>0("0)的解集得出”0,且xi,.是对应方程的解,由根

与系数的关系以及二次函数的图象与性质，即可得出正确的判断.

【解答】解：关于x的不等式a(x+l)(x-3)+l>0(aw0)的解集是｛%|距vxvx2｝,

所以“<0,且x,x是一b兀二次方程ax2-2ax+1-3a=0的两个解；

I2

由根与系数的关系知，.+4=2,选项“正确；

又“2=-——=—~3<-3,选项B正确;

aa

且m区+工)2-4x/=「-4X7=2^7^>4，选项。正确.

由二次函数y=a(x+1)(x-3)+1>0的解集是｛x|x1<x<必｝，

且q<0,-1和3是方程a(x+1j(x-3)=()的两解，如图所示：

所以M<-1<3<》2，选项C错误.

故选：ABD.

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【例12】（2024秋•吉林期末）已知不等式ad+'x+cvO的解集为{x|x<-l或x>3},则下列结

论正确的是（）

A.a>0

B.c<o

C.q+b+cvO

D.ex?一心+°<0的解集为|一1<x<1}

3

【答案】D

【分析】根据不等式加+^+c<（）的解集得出对应方程的解，以及“<0,由此判断选项中的命

题是否正确.

【解答】解:因为不等式ax2+6x+c<0的解集为或x>3},

所以-1和3是方程G+Ax+cuO的解，且a<0,选项力错误；

3+3=—1

所/",解得/>=-2a,c=-3a>0,选项3错误；

-1X3=£

Ia

所以a+/>+c=a-2a-3。=-4a>0,选项C正确；

不等式c/_灰+白<o可化为一为/+2ax+a<0,即3/-2r-1<0,

解得，<X<1,所以不等式的解集为{x|-L<X<1},选项。正确.

33

故选：D.

【例13】（2023秋•云南期末）已知关于x的不等式/-”十60的解集为{x|2"x”3},则关于x

第10页共31页

的不等式x2-bx+a<0的解集为()

A.{x12<x<3}B.{x|i<x<3}C.{x12<x<5}D.{x|1<x<5}

【答案】D

【分析】根据不等式《一尔+〃”0的解集求出八b,代入不等式/-反+。<0求解集即可.

【解答】解：因为关于x的不等式F-+及。的解集为口|2”$3},

所以2和3是方程/一级+/)=0的解，

由根与系数的关系得〃=2+3=5,Z)=2x3=6>

所以不等式r-6x+a<0为F-6工+5<0,解得l<x<5,

所以不等式的解集为{x|l<x<5},

故选：D.

【例14】(2024秋•集安市月考)已知关于x的不等式加+以+00的解集为(F,—2)53，

y),则下列选项中正确的是()

A.a<0

B.不等式bx+c>0的解集是{x|x>-6}

C.a+b+c>0

D.不等式ex?_/)x+a<0的解集为(-oo,-L)(j(L*o)

32

【答案】D

【分析】根据不等式。/+云+。>0的解集得出方程d+故+c=0的解，判断a>0,由此求解即

可.

【解答】解:因为不等式ox2+bx+c>0的解集为(-8,-2)U(3,+8),

所以-2和3是方程加+6x+c=0的解，且a>0,选项力错误；

、2+3=_)

由根与系数的关系知，•所以6=-0,c=-6a;

-2x3=3

Ia

所以不等式及+c>0,可化为-x-6〉0,解得％<-6,所以不等式的解集为任|、<-6},选项8错

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误；

因为a++c=a-a-6a=-6a<0,所以选项C错误；

不等式以2-方x+a<0可化为-谓+x+l<（）,即6N>0,

解得工<「或>>1，所以不等式的解集为（-8,-!）O（L，+8）,选项。正确.

3232

D.

【例15】（2024秋•大理市期末）若关于实数x的不等式x2+bx+c>0的解集是{x|x<-5或x>2},

则关于x的不等式#+麻+1>0的解集是（）

A.）|j（L,-K»）B.（^»,一1）u（L+8）

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理求得6=3,c=-10,再代入不等式,

即可求解.

【解答】解：Q关于x的一元二次不等式x2+bx+c>0的解集是{x|xv-5或x>2},

二-5,2是一元二次方程/+6+。=0的两个实数根，

h=5I2=3,c=5x2=10,即〃=3,c=10,

不等式c/+公+1>0化为-@2+3x+l>0,解得-!_<x<

52

不等式的解集为（-LL）.

5’2

故选：D.

由知识点4/

知识点

5

【知识点4】一元二次不等式恒成立问题

恒成立问题求参数的范围的解题策略

第12页共31页

⑴弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.

⑵一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式一元二次不等式在给定区间上恒成立，不

能用判别式4,一般分离参数求最值或分类讨论.

【例16】(2024秋•武强县校级期末)*c{x|l“x”2}时，不等式x2-x_〃“o成立，则〃的取值

范围是()

A.{m|m„2}B.{m\m...2}C.{w|1<m<2}D.{m|w...0)

【答案】。

【分析】问题转化为凡./一在［1,2］上有解,结合二次函数的性质即可求解.

【解答】解：dxe{x11„x„2}时，不等式x2-X-m„0成立，

即用...x2-x在［1,2］上有解，

所以〃?...(F而，

根据二次函数的性质可知，当X=1时，X取得最小值0,

故附...0.

故选：D.

【例17】(2024秋•中牟县期末)设XCR,不等式公+2依—3<o恒成立的一个充分条件可以是

()

A.-3<a<0B.-3”。<0C.—3<<7<1D.-3„u<\

【答案】A

【分析】由题干不等式对xcH恒成立，解出〃的取值范围，根据充分条件结合选项得出与答案.

【解答】解：不等式ar2+2ar-3<0对xeR恒成立时，当a=0时-3<0恒成立，

当口工0时，a/+2ax-3Vo对/€R恒成立，只需,

\(2a)2+4<?x3<0

解得-3<£7<0,

综上有当不等式加+2ax-3<0对xe/?恒成立，ae（-3,0],

而13,O）c（-3,0],故由。选项推出题中不等式对xeE恒成

立,故选：A.

【例18】（2025•芒市校级开学）一元二次不等式履2+3h+2>0对任意xwR恒成立，则实数左

4

的取值范围是（）

A.0<k<\B.0”〃<1C.R<0D.0