圆锥曲线中轨迹问题-曲线与曲线的方程 归纳练-2025年高考数学二轮复习

圆锥曲线中轨迹问题--曲线与曲线的方程归纳练

2025年高考数学二轮复习备考

一、单选题

1.已知VABC的两个顶点为A（-2,0）,3（2,0）,且AC,的斜率之积等于左（左片0）,贝U（）

A.当发=-1时，C的轨迹为直线（去掉A,B两点）

B.当左<—1时，C的轨迹为双曲线（去掉A,B两点）

C.当-1<%<0时，C的轨迹为椭圆（去掉A,B两点）

D.当左>0时，C的轨迹为抛物线（去掉A,8两点）

2.已知曲线C：x2+y2=9（y>0）,从C上任意一点P向尤轴作垂线段PP,P'为垂足，点“满足

府=2两,则点M的轨迹方程为（）

A.Y+^_=I(y>0)B.y+y2=l(J>0)

2222

x2y

C.----1-=1(y>0)D.—+-=l(y〉0)

369936

22

3.已知双曲线与-斗=l（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C:Y+y2+6x+5=。相切，且圆C的圆心

cib

是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（）

22

A.JJB.3=1

4554

C.--^-=1D.22

-%------y---=i1

6336

4.古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内

到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称

为统一定义.若平面内一动点P（x,y）到定点A（l,。）和到定直线X=4的距离之比是则点P的轨迹

为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

5.在直四棱柱ABCD-ABGR中，/BAD.,AB=AD=例=2,点。在侧面OCQ。内，且

AQ=近，则点Q轨迹的长度为（）

2兀-4兀

ABc——D.——

-i-i-33

6.己知M、N两点坐标分别（-2,0）,（2,0）.直线"以人长相交于点长，且它们的斜率之和是3,则点K的

轨迹方程为（）

A.3x2-2冲-12=0(xw±2)B.3y之-2ja-12=0(x^±2)

2222

C.----1-------=l（xw±2）D.----------=1（+2）

43v734v7

22

7.设双曲线C：,—多=1（。＞0乃＞0）的左、右焦点分别为耳，尸2,过坐标原点的直线与。交于4

ab

B两点,F2A=2F,A,AAB居的面积为88，且乙4居8为钝角，|A片|—|前1=4,则双曲线C的方

程为（）

22一人1

A.匕-匕=1B.

4248

22/九1

C.土-匕=1D.--------------1

424169

IPAI°

8.已知平面上两定点A,B,则平面上所有满足・^=2（4＞0且；Iwl）的点尸的轨迹是一个圆心

\PB\

0

在直线A3上，半径为丁一—仙河的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏

圆.已知棱长为1的正方体ABCD-a耳£2表面上有一动点尸满足|抬=夜|尸用，则点尸在侧面

片上的轨迹长度为（）

A.扃B.三巨无C.£D.2丑兀

222

二、多选题

9.已知平面内点A（-LO）,3（1,0），点尸为该平面内一动点，则（）

A.|必+|/叫=4,点尸的轨迹为椭圆B.|上4|-户同=1,点尸的轨迹为双曲线

C.\PA\-\PB\=1,点尸的轨迹为抛物线D.万万=2,点尸的轨迹为圆

10.已知A（-a,0）,B（a,0）,ll:ax-y=Q,l2:ax+y=0,其中。＞1,点尸为平面内一点，记点尸到

4，4的距离分别为4，d2,则下列条件中能使点尸的轨迹为椭圆的是（）

A.\PA\+\PB\=4aB.|PA|2+|PB|2=4a2

2

C.di+d2=4aD.+d；=4a

11.在平面直角坐标系中，已知两定点4（-。,0）,B（a,0）,直线以，网相交于点P,且直线以与

直线PB的斜率之积为加，其中〃2H0,a＞0.下列选项正确的是（）

A.当机=-1时，动点P的轨迹为以原点为圆心，半径为。的圆，且除去（。,0）两点

B.当机＞0时，动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且除去（4。）两点

C.当m<0且根w-1时，动点P的轨迹为焦点在无轴上的椭圆，且除去（-4,0）,（。,0）两点

D.当机=2,a=有时，动点尸的轨迹为曲线C,过点（3,0）且倾斜角为30。的直线与曲线C交于

M,N两点，则1MM=今目

12.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PAL平面ABC。，PA=AB=AD=2CD=4,

AB//CD,ABLAD,已知点M在侧面PAD上运动，点H在底面ABC。上运动，则下列说法正确的

A.若点H到的距离等于其到平面皿的距离，则点H的轨迹为抛物线的一部分

B.^ZBMA=ZCMD,则点M的轨迹为圆的一部分

C.若8M与8。所成的角为30。，则点M的轨迹为椭圆的一部分

D.若CM与平面ABCD所成的角为30。，则点M的轨迹为双曲线的一部分

三、填空题

13.设抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为R点M在C上，可=5,若以为直径的圆过点（0,2）,

则C的方程为.

14.过曲线C上一点尸作圆f+y2=l的两条切线，切点分别为A,8,若kpA.kpB=4,则曲线C的方

程为.

15.在直四棱柱A8CD-A4G2中，底面ABC。是菱形，边长为2,/54。=三，侧棱长2百，点厂

为四边形DCG2内动点，若4F=币,则点下的轨迹长为.

16.在三棱锥尸-ABC中，已知VABC与均是边长为4的正三角形，PC=6,。为侧棱出的

中点，E为三棱锥P-ABC的外接球。表面上一动点，若异面直线A3,OE始终保持垂直，则动点E

的轨迹围成图形的周长为.

四、解答题

17.已知点42是抛物线C:/=8x上不同的两点，尸为抛物线C的焦点.

（1）若直线AS过点尸，且向量次+访与向量商=Q,@共线，求直线A5的方程;

⑵若ZAOB、，且抛物线在点48处的两条切线相交于点尸，求P的轨迹方程.

18.已知椭圆E:鼻+*=1(。>6>0)的离心率为交，居=工分别为椭圆E的左、右焦点，分别为

ab2

椭圆E的上、下顶点，且|的=2.

⑴求椭圆E的方程；

(2)已知过K的直线/与椭圆E交于M,N两点，且直线I不过椭圆四个顶点.

(i)设AM片耳,AMAB的面积分别为S”Sz，若54邑，求的最大值；

(ii)若M在x轴上方，4月为/M4N的角平分线，求直线/的方程.

22

19.已知双曲线c：土-匕=1,点/在C上，过M分别作X轴和y轴的垂线，垂足分别为A和8,

1616

记线段A3的中点N的轨迹为r.

(1)求r的方程；

⑵过M的直线I与C有且只有一个公共点，且与「交于产,。两点.

证明：(i)/±AB；

(ii)1Mpl=|MQ|.

参考答案

1.C

设c（无,y）,由条件求出C的轨迹方程，根据上的取值范围确定轨迹的形状即可.

设C（尤,y）,由AC,2c的斜率之积等于左（左片0）,

22

得舄,号="'即?一点=l（x*±2），

当上=一1时，方程为/+丁=4（XW±2）,

；.C的轨迹是圆（去掉A,3两点），故A错误；

22

当左＜一1时，方程为土+工=1（XN±2）,且-4左＞4,

4-4k7

；.C的轨迹为椭圆（去掉A,8两点），故B错误；

22

当一1〈左＜0时，方程为3-+工=1（尤w±2）,且0＜T上＜4,

4-4%

•••C的轨迹为椭圆（去掉A,B两点），故C正确；

22

当上＞0时，方程为土一匕=1（xw±2）,且4%＞0,

44k

；.C的轨迹为双曲线（去掉A,B两点），故D错误.

故选：C.

2.B

设P（%,%）（%＞0）,M（x,y）,由题意可得代入曲线C中即可得.

设尸优,%乂%＞0）,则有x；+y；=9,设Af（x,y）,

x—x0=2(x0-x)

则小,0）,由可7=2加7，则有

y-%=2(o-y)

即故有d+(3y)2=9,即］+y2=l(y>°).

3.B

倒：2,

根据条件得到圆C的圆心和半径，进而得到c=3,利用双曲线的渐近线和圆C相切，得到

yja2+b2

整理得到入沙，再结合…』，即可求解.

因为圆C:/+y2+6x+5=0的圆心为C(—3,0),半径厂=2,所以c=3,

22卜

又双曲线斗-亲■=l(a>0,b>0)的两条渐近线为)=±-x,即阮±做=0,

-r===2,整理得到标二?尸，又4+"=9,得到3匕2+/=9,

由题知

yja2+b244

所以八4,』，得到双曲线的方程为

故选：B.

4.B

利用轨迹的直接法求解.

解：由题意得^^C+(y_o)2

\x-4\2

尤3V2

整理得：土+匕=1,

43

所以点P的轨迹为椭圆.

故选：B.

5.C

过点A作4E_LG2，结合已知得EQ=a^=2,再结合平面几何知识即可求解.

如图所示，过点A作AELCQ,过点E作E&J_CD,

因为四棱柱ABCD-A^QD,是直四棱柱，所以。〃，平面A与G2,

因为AEu平面44GR,所以。

又因为AELCQ，DD,nC,D,=D,,OZ^u平面DCCQ,平面。CCQ,

所以平面OCGR,

因为直线EQu平面ncq2,

所以AELEQ,

因为ABAD=5,AB=AD=A4[=2,

所以AE=2x^-=y/3，

又因为AQ=近，

所以石。="分=2,

因为点。在侧面DCG2内,

所以在平面直角坐标系中来研究点。轨迹的长度，如图所示:

点。的运动轨迹为以点E为圆心、半径为2的圆在正方形CD2G内部的弧77G，

]JT

显然E.=2XQ=1,OF=2,所以NFOG=§,

所以"?=三2=?.

33

故选：C.

6.A

本题先设K点的坐标，根据斜率之和为3列出方程，化简即可得出结果.

设K（x,y）,则直线KM的斜率为底”=二二，直线到的斜率为^一二，

x+2x-2

依据题意可知，左侬+%侬=上;+*=3,化简得：3/-2孙-12=0,

x+2x-2

因为直线KM、的斜率存在，所以尤W±2,

所以3x2-2xy-12=0(xw±2),

故选：A.

7.B

画出图形，运用双曲线定义，求出a,运用面积公式计算sin耳8,得到/AgB,结合余弦定理,

求出。c即可.

则由双曲线定义可知，|然HMM前1=2。=4,

所以SAABF?=：|A周忸闾sinZAK3=；x8x4sinZAg3=16sinNAB3=84,

解得sin/AgB=%

因为乙4耳8为钝角，所以=所以N为46=三,

由余弦定理可知+—

222

所以c?=12,/7=c-a=12-4=8,

22

所以双曲线方程为二-匕=1.

48

故选：B.

8.C

根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心。位置及半径，尸在空间内轨迹为以0为球心的球，球与面B.BCC,的

交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，求得圆弧的长度即可.

在平面中，图①中以8为原点以A3为x轴建系如图，设阿氏圆圆心0),半径为小

因为18Ml=0-|80|=五一（7,所以|AM|=应|8知\=2-近a,

所以2-缶+0-a=l，解得。=1，所以圆心。(1,0),

所以尸在空间内轨迹是以。(1,0)为球心，半径为血的球，

因为08,平面用BCG，

平面qBCq截球所得小圆是以8为圆心，以为半径的圆，且82=万斤=1，

所以点P在侧面瓦2CG上的轨迹长度为P在侧面与3CC]上的轨迹长度为271.1x1=W71.

42

9.AD

利用椭圆的定义判断A；利用双曲线的定义判断B；求得轨迹与x轴的交点判断C；求得轨迹方程判

断D.

因为平面内点A(-l,0),3(1,0),所以|钻|=2,

又|即+|P@=4>|AB],所以由椭圆的定义知点P的轨迹为椭圆，故A正确；

线段2的长度与线段尸8的长度的差为1<|钻|=2,则点尸的轨迹应为双曲线靠近B点的一支，故B

错误；

设点尸(x,封，由|以卜|依|=1得J(x+l(+y2.，(尤一1『+以=1,

整理得(x?+2x+l+y2)(x?—2》+]+y-)=],即X，+,4+2x2y^—2x2+2y2=0,

当y=。时，x4-2x2=0,得》=0或*=±0,

故曲线与x轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故C错误；

整理得

x2+2x+l+y2=4(x?-2x+l+力n3x2-10x+3y2+3=0=>[x-g[+y2=^,

即轨迹是以，,。)为圆心，|■为半径的圆，故D正确.

故选：AD.

10.AD

根据椭圆的定义可判断A的真假；求尸点的轨迹方程，判断BCD的真假.

对A：根据椭圆的定义，\PA\+\PB\=4a>\AB\,所以尸点轨迹为椭圆，故A正确;

对B：设尸（x,y）,则由（彳+4+^+^-4+^二4/=^+/二/,所以尸点轨迹为圆，故B错

误；

lor-y|\ax+y\,,,,,----.,.

对C：由/,,+/,■=4a=>|办_3+1x+引=4a“r+],分情况去掉绝对值符号，

J/+i+1a'1

可知点尸的轨迹为4条线段，不是椭圆，故C错误；

对D：由1=4/=/尤2+/=2叫/+1）,因为

所以尸点轨迹为椭圆，故D正确.

故选：AD

11.ABD

22

设点尸（x,y）,显然XH±。，y^o,上x"二=根=二-2=1,然后根据不同选项的情况判断

x—ax+aamaT

即可.

22

设点P（X,y）,显然"。，二一X“一=根=>+--J=i

x—ax+aama

当根=-l时，得炉+p2=〃2且x。士々，yw0,所以有动点尸的轨迹为以原点为圆心，半径为。的圆，

且除去（-。,0）,（。,。）两点，故选项A正确；

22

当相>0时，有二二x」一=机=>一--J=l，显然。2>o,成2>0因为％，yw。，所以动点?

x—ax+aama

的轨迹为焦点在X轴上的双曲线，且除去（-a,。），（。,0）两点，故选项B正确；

22

当机<0且机w-l时，显然土Q,ywO,—+=1,得〃2>0,一加〃2>0

a-ma

当片>_切片>0,即-LvmvO时，得动点/>的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且除去（-。,0）,（。,0）两

点；当/<—.2,即用<—1时，得动点尸的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且除去（-。⑼，（。,0）两点，

故选项C错误；

当m=2,a=括时，得动点尸的轨迹为曲线C的方程为工-上=1,

36

过点（3,0）且倾斜角为30。的直线方程为y=辛彳-退

设AfQM，N（x2,y2）

联立方程立一M=i,>=立彳一6，化简得《元2+2》-9=。

3633

^fA=4+4x|x9>0

利用韦达定理可知无1%=丁,无1+彳2=-X

所以|脑V|=,故选项D正确.

故选：ABD

12.BCD

A,过点H作印?，8交CO于点R,由立体几何知识可得点打到平面上4B的距离为aQ,即可判断

选项正误;

BCD,建立如图3所示的空间直角坐标系A-孙z,设Af（x,O,z）,由题分别算出”（x,O,z）所在的曲

线的表达式，即可判断选项正误.

对于A：如图2,过点H作印?LCD交于点R,

则点H到CD的距离为HR;过点H作，AB交AB于点Q,

由于上4_L平面ABCD,"Qu平面ABCD,则HQ_LR4,

HQLAB,ABr>PA=A,AB,PAu平面PAB,

所以HQ_L平面R4B,

则点H到平面PAB的距离为HQ；

VAB〃CD且点H到CD的距离等于其到平面PAB的距离，

...点V在4D的垂直平分线上，故A错误；

建立如图3所示的空间直角坐标系A-邙：

设M（x,0,z）,A（0,0,0）,3（0,4,0）,C（4,2,0）,£>（4,0,0）.

对于B：VBA±DA,BAYPA,DAoPA^A,ORPAu平面尸但,

8A_L平面尸ZM,即54_LM4,

同理：CDLMD,XVABMA=ACMD,：.Z\BAM^^CDM,

:喘喂即^/777°

=2,、，，=2,化简得

x-4）+z2

即点M的轨迹为圆的一部分，故B正确;

对于C,W=（x,-4,z）,而=（4,-4,0）,因为物1与所成的角为30。,

BMBD______4x+16

所以cos3M,8£)=

\BMI|BZ)|^Jx2+16+z2x^6+162，

化简得（无-8+£=i，〃的轨迹为椭圆的一部分，故C正确;

4816

对于D：作MMJA。，则M（x,O,O）,平面ABC。，所以CM与平面ABC。所成的角即为

ZMCM,=30°,所以|CM|=］（4-4+4+zz,

_____________z2（x-4）2

即2忖=J（4-x）?+4+z2,化简得：J—一「=1,

3

则点M的轨迹为双曲线的一部分，故D正确.

故选：BCD.

13.丁=4%或9=i6x.

先由抛物线的定义得到点M的横坐标，进而得到圆心的横坐标为g,结合其半径也为g,得到圆与y

轴的切点为（。,2）,从而得到圆心为进而得到点M的坐标，代入抛物线方程求解.

解：由题意得产设M（x,y）,

则由抛物线的定义得尸|=x+光=5,

则x=5-4，所以圆心的横坐标为,22_5,其半径也为:，

2-2-=22

所以圆与y轴相切，

又因为以为直径的圆过点（0,2）,

所以切点为（0,2）,

所以圆心为2）则/卜一多“，

又因为点M在抛物线上，

所以16=2p（5-,即p2—10p+16=0,

解得p=2或0=8,

所以抛物线方程为：9=4彳或〉2=16苫.

故答案为：丁=4x或y2=16x.

14.4x2-y2=3（无2>|;且一力1）

设尸及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率左的方程，由判别式得出其+$>1,再由斜率关系计

算即可.

设尸优则过点p的切线方程为=，即h-y+%-线=。，

则L，场是此方程的两根，尺-lwO,△=4x；y；-4（x；-l）（y；-l）>0,

即君+y；>1,

所以（履原8=与1=4,得4x：-巾=3,又看+尤>1所以.>1,

%—1

即曲线C的方程为4/一y2=34且尤2N1）.

4

故答案为：4/_/=3且炉工1）.

-2%,2

15.——1—71

33

过点A作AELCQ，过点E作结合已知得EF="b=2,再结合平面几何知识即可求

解.

如图所示，过点4作AELG2，过点E作EE1，CD,

因为四棱柱ABCZ）-AQGR是直四棱柱，所以DQ，平面

因为AEu平面AAG2,所以。

又因为4E，G。，DQcCR=R,DRu平面DCCQ,。0«平面£^62，

所以平面。CGR,

因为直线EFu平面OCGR,

所以AE，所，

因为/A4D="|,M=AD=2,A41=25/3,

所以AE=2x^-=y/3，

又因为4尸=々，所以EF=J7三=2,

因为点F在侧面DCCR内,

所以在平面直角坐标系中来研究点尸轨迹的长度，如图所示:

点P的运动轨迹为以点E为圆心、半径为2的圆在正方形DCG2内部的弧QG，

1JT

显然6。=2义5=1,Eg=2,所以NQEG=§,

所以QG=1x2号

2兀

故答案为：y.

,,IOA/3^-,10A/3

10.-----------/---------71

33

取AB的中点A/,连接CM,PM,OM,易得AB_L平面PCM,从而可得线段PM=CM=2指,

7T

由余弦定理得NPCM=NCPM，根据外接球的几何性质确定点E的轨迹为平面a截三棱锥

O

P-ABC的外接球所得的截面圆，从而确定截面圆的半径，于是得所求.

如图，取A3的中点连接CM,PM,OM,

A

则AB_LCM,AB±PM,CMcPM=M,CM,PMu平面PCM,

所以ABJL平面PCM,则PM=CM=26，

又尸C=6,所以。05/尸西=P<?2+6一加2=且,所以/尸CM=/CPM=3.

2PCCM26

过。作于H,设动点E的轨迹所在平面为a,则平面。经过点H且AB，。，

所以点E的轨迹为平面a截三棱锥P-ABC的外接球所得的截面圆.

设△*,VABC的中心分别为。2,连接。。一。。2，0P,易知平面总，。3,平面

ABC,

且。，。一02,M四点共面，

由题可得兀一£一夕］=?，O、M=LpM=",所以0Q=aMtan/0Ma=2.

2<66；333

又O、P=±PM=乎,则三棱锥P-ABC的外接球半径r=OP=^OOf+O.P2=后.

易知平面«//平面。。四。2，点。到平面a的距离d=MH=l,

故平面。截外接球所得截面圆的半径?;=Jr2-d2=半，

所以截面圆的周长/=2叫=3叵，即所求周长为竺县.

133

故答案为：W叵

3

17.⑴后-y-2形=0

（2）x=—8

（1）抛物线C的焦点尸（2,0）.

由题意可知，直线的斜率存在并设为3故直线AB方程为：y=M%-2）,

代入丁=8尤整理得：

上2尤2一4（左2+2）元+4左2=0.

设4（4%）,3优，%），则玉+元,=坐2，

k

OA+OB=(xl+x2,yl+y2)=~-

因为向量况+砺与向量”（2,匈共线

所以£r冬解欲s

故所求直线A8的方程为：y/2x-y-2,y/2=0.

（2）不妨设4（2/；,44）,3（2以,%）&>04<0）,

当y>0时，y=2y/2s/x,y'=~

Vx

从而点A处的切线斜率为《=；,同理，履=；,

hh

,九221

因为ZAOB=],所以71=T,即柱=-4

又点A处的切线方程为y=；x+2f],点B处的切线方程为y=Jx+2f2,

h22

1c

及)=丁%+2(

%

设交点P的坐标为（M，%）,贝上

1c

为=—%+2/2

q

从而和t2方程2r-yot+xo=O的两个解

所以"2=今=-4,即为=-8,

所以点P的轨迹方程为x=-8.

18.(l)^+/=i

⑵⑴372+73；(ii)3x+y+3=0

3

/=/+c2

/一、，口C夜\a~^2

(l)由题思知<一=~-，'<7，

a2[b=l

b=l

椭圆方程为《+丁=1,

2

(2)(i)设/(%,%),

则H=SAM叱2=gx|月用x|%|=(x2x|%|=|%|,

s?~S&MAB=5X|AB|x闻=(x2x闯=闯，

22

-：8,<82,.-.|j0|<|x0|,:.y0<x0,

2

又：〃小,%)在椭圆上，；.彳-+%2=1,

2

x

**-o—2-2y0,.\y0<