中考数学难点题型复习：二次函数图像与几何变换（解析版）

专题09二次函数图像与几何变换

1.（2021•苏州中考）已知抛物线尸的对称轴在），轴右侧，现将该抛物线先向右

平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则々

的值是（）

A.-5或2B.-5C.2D.-2

解：丁抛物线），=/+七一炉的对称轴在1y轴右侧，

.•・x=-K>o,

2

"VO.

2

•・•抛物线+依-F=（x+5）2.

・••将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的

2

表达式是：y=（x+--3）2-5k+1，

24

2

・••将（0,0）代入，得0=（0+K-3）2-&_+1,

24

解得ki=2（舍去），用=・5.

答案：B.

2.（2020•陕西中考）在同一平面直角坐标系中，若抛物线丁="?7+2・〃与y=-6『-2x+〃?

・〃关于％轴对称，则〃?，〃的值为（）

A.m=-6,〃=-3B.m=-6,n=3C.，〃=6,n=-3D.，〃=6,n=3

解：,抛物线），=〃屋+〃_〃与）,=-6/-2x+m-〃关于x轴对称，

:.-y=~"tv2-2x+n,

...），=-nix^-2x+n与y=-67-2x+/〃-〃相同，

/."m=-6,n=m-八,

解得机=6,〃=3,

答案：D.

3.（2021•资阳模拟）如图是函数），=f・2x・3（0«）的图象，直线/〃八•轴且过点（0,

机），将该函数在直线/上方的图象沿直线/向下翻折，在直线/下方的图象保持不变，得

到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则〃？的取值范围

是（）

A.〃彦1B.C.(X忘1D.旭2】或/nWO

解：如图1所示，当阳等于0时，

•・j，=(x-1)2-4,

.•.顶点坐标为(1,-4),

当x=O时，y=-3,

・・・A(0,-3),

当x=4时，y=5,

:.C(4,5),

,当m=0时，

D(4,-5),

・•・此时最大值为0,最小值为-5；

如图2所示，当/〃=1时，

此时最小值为-4,最大值为1,

当1V〃?V5时，最大值与最小值之差大于5,不合题意；

综上所述：OWmWl,

答案；C.

4.(2021•茂名模拟)如图，把抛物线)=/与直线y=l围成的图形。48c绕原点。顺时针

旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形OiMBCi，则下列结论错误的是()

A.点S的坐标是(1,0)

B.点。的坐标是(2.-1)

C.四边形山।是矩形

D.若连接OC,则梯形0C4Bi的面积是3

解：根据图形可知：点。的坐标是(0,0),点。的坐标是(I,1).

因为把抛物线)，=/与直线尸1围成的图形owe绕原点。顺时针旋转90°后，再沿X

轴向右平移1个单位得到图形OIAIBCI，所以点O,C绕原点。顺时针旋转90°后，再

沿x轴向右平移1个单位得到点Oi的坐标是(1,0),点Ci的坐标是(2,-I),所以

选项4B正确.

根据点O(0,0),B(0,I),4(2,1),&(2,0)的坐标可得：四边形OBA\B\是

矩形，选项C正确.

根据点O(0,0),C(1,1),Ai(2,1),&(2,0)的坐标可得：梯形0。出的面

积等于工(1+2)X1=2^3,所以选项O错误.

22

答案：。.

5.(2020•贵港中考)如图，对于抛物线,尸-户次+l,)2=-?+lv+l,.)3=-?+3x+l,给

出下列结论：

①这三条抛物线都经过点C(0,1)；②抛物线》的对称轴可由抛物线yi的对称轴向右

平移1个单位而得到：③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线)，

=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.其中正确结论的序号是一①②④.

解：①当X=0时，分别代入抛物线产，”，)3，即可得V=”=)3=1；①正确;

上外段扫过的区域（阴影部分）的面积为12.

解：连接AP,A'P',过点4作4£>_1_尸尸于点。，

由题意可得出:AP//A'P',AP=A'Pf,

・•・四边形人尸P'/V是平行四边形，

♦・♦抛物线的顶点为P（-2,2）,与y轴交于点4（0,3）,平移该抛物线使其顶点P沿

直线移动到点P'（2,-2）,

・。=62+22=2亚，NAOP=45°,

又・・・AQJ_OP,

・•・ZXA。。是等腰直角三角形，

：.PPr=2班X2=WE

・"O=OO=sin45°・。4=返乂3=上叵

22

・•・抛物线上以段扫过的区域（阴影部分）的面积为:4后><乎=12.

8.（2021•大连模拟）如图，抛物线），=7+必+~!与y轴相交于点4,与过点A平行于x轴的

直线相交于点8（点3在第一象限）.抛物线的顶点C在直线03上，对称轴与x轴相交

于点。.平移抛物线，使其经过点4、。,则平移后的抛物线的解析式为「，=/-2+且.

2~2~

22

・•・抛物线的对称轴为x=-上，直线08的解析式为），=-上■

22b

•・•抛物线的顶点C在宜线上，

.\y=—

4

・•・顶点。的纵坐标为』x9=a,

224

4X14

解得b\=3,b2=-3,

由图可知，■bA）,

2X1

；・b<0,

：.b=-3,

・•・对称轴为直线x=-二^-=3,

2X12

・••点。的坐标为（S,0）,

2

设平移后的抛物线的解析式为），=，+利什6

9

n至

q2

--^m+n=0

9

解得，

9

n至

99

所以，y=f-v+

22

答案：），=»■当+9.

22

9.（2021•荷泽模拟）如图，一段抛物线：y=-x（x-2）（0<xW2）记为Ci,它与工轴交

于两点O,4；将G绕4旋转180°得到Q,交x轴于42；将。2绕斗2旋转180°得

到。3,交X轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6,若点尸（11,〃?）在第6段抛物线

解：•・•)，=-X(X-2)(0WxW2),

・••配方可得y=-(x-1)2+1(0WxW2),

・•・顶点坐标为(1,1),

・・・4坐标为（2,0）

•・・。2由。旋转得到，

•••04=442,即C2顶点坐标为（3,-1）,A2（4,0）；

照此类推可得，C3顶点坐标为（5,1）,A3（6,0）；

。4顶点坐标为（7,-1）,4（8,0）；

。5顶点坐标为（9,1）,A5（10,0）；

。6顶点坐标为（U，-I）,A6（12,0）：

tn=-I.

答案：7.

10.（2021•湖州模拟）如图，已知抛物线C1：尸4]/+皿+°]和。2：），=44+8”+C2都经过

原点，顶点分别为4,B,与x轴的另一交点分别为M,N,如果点A与点8,点M与点

N都关于原点O成中心对称，则称抛物线Ci和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姮妹抛

物线Ci和C2,使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是

42+201和（答案不唯）.

根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等

且不等于零，常数项都是零，

设抛物线Cl的解析式为+尿，

根据四边形4N8M恰好是矩形可得：OA=OM,

*：OA=MA,

・•・△AOM是等边三角形，

设OM=2,则点A的坐标是（1,加），

则严+b,

l0=4a+2b

解得:产一中

|b=2V3

则抛物线Ci的解析式为）=-«*+2心，

抛物线C2的解析式为

答案：y=-y=V3'*2+2V3v（答案不唯一）.

11.（2021•荆州中考）小爱同学学习二次函数后，对函数了=・（园・1）2进行了探究.在

经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题:

（1）观察探究：

①写出该函数的一•条性质：函数图象关于V轴对称：

②方程-（园-1）2=-I的解为：犬=-2或^=0或5=2；

③若方程-（国-1）2=。有四个实数根，则”的取值范围是-IVaVO.

（2）延伸思考：

将函数），=-（H-l）2的图象经过怎样的平移可得到函数8=-（卜-251）2+3的图

象？写出平移过程，并直接写出当2V），iW3时，自变量x的取值范围.

解：（1）观察探究：

①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；

②方程・（园・1）2=-I的解为：x=-2或x=O或x=2：

③若方程-（H-I）2=4有四个实数根，则〃的取值范围是-1<4<0.

答案：函数图象关于y轴对称；％=-2或x=O或x=2；-1<«<O.

（2）将函数），=-（W-1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数

川=-（|A-2|-1）2+3的图象,

当2V,，］W3时，自变量x的取值范围是0VxV4且xW2.

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12.(2020•安徽中考)在平面直角坐标系中，已知点4(1,2),B(2,3),C(2,1〕，直

线y=x+m经过点A,抛物线y=a*+公+1恰好经过A,B,C三点中的两点.

(1)判断点4是否在直线)，=x+〃?上，并说明理由；

(2)求小。的值；

(3)平移抛物线juad+Zu+l,使其顶点仍在直线)，=x+〃?上，求平移后所得抛物线与y

轴交点纵坐标的最大值.

解：(I)点B是在直线y=x+〃?上，理由如下：

,:直线y=x+m经过点A(1,2),

/.2=14-/72,解得〃2=1,

••直线为y=x+1,

把x=2代入y=x+1得)=3,

・••点3(2,3)在直线)，=1+，〃上；

(2)..•直线y=x+l经过点B(2,3),直线y=x+l与抛物线y=a/+/?x+l都经过点(0,

1),点(0,1),4(1.2),B(2.3)在直线上，点(0.1),A(1.2)在抛物线上，

直线与抛物线不可能有三个交点，

YB(2,3),C(2,1)