云南省临沧地区中学2024-2025学年高一年级下册3月月考数学试卷（含详解）

2025年临沧市地区中学高一3月月考

高一数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.集合力={%|-3<%<2},集合B={%|0<%<5},则图中阴影部分表示的集合为

A.{x|—3<x<5}B.{x|0<x<2]

C.{x|—3<x<0}D.{x|—3<xW0或2Wx<5}

2.已知n为两条直线，a,0为两个平面，mca,nu0,mln,则m1°是a10的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.若a,beR,且a?+2ab—3b2=1,则a?+炉的最小值为

AA.-<57+—1C.4+<26D.<3-1

4B与4

4.某日化用品厂家研发了一种新的牙膏产品，该产品的成本由生产成本和销售成本组成.每

批产品的销售成本y（元）与生产该产品的数量双千件）满足指数函数模型y=3.47%10^,已

知每件产品的生产成本为10元，生产12千件该产品时，总成本为123470元，若销售成本

增加1倍，则生产该产品的数量增加了（）千件（lg2=0.3）

A.1.2B.1.1C.0.9D.0.3

5.如图，正方形2BCD的边长为2,E为BC边的中点，F为CD边上一点,若而•荏=

\AE\2,则|万j=

35

A.3B.5C.fD.|

6.已知复数Z=1+i的共软复数是2,则复数6)2017+02018在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.己知正三棱柱4BC-446的所有顶点都在球。的表面上，若球。的表面积为48兀，则正

三棱柱4BC-4/6的体积的最大值为

A.12<3B.15<3C.24<3D.48<3

8.已知函数/(©=[，+或+0+2处”>0,其中&eR,e为自然对数的底数.若/(%)的最

l|e%—a|+a—l,x<0,

小值为a-l,贝b的取值范围为

A.[—1,+co)B.[|,1]C.[—1,0)D.(0,l]u{—|}

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/'(X)=|sin||+|cos||,则下列四个结论中正确的是

A.函数f(x)的图象关于原点对称

B.函数/(©的最小正周期为兀

匚/(久)的值域为[1,，1]

D,设函数g(久)=sin(^x+<p)(3>0,0<<p<兀)的奇偶性与函数/(x)相同，且函数g(x)在

(0,3)上单调递减，则3的最小值为2

10.奔驰定理：已知。是团ABC内的一点，I3BOC,团力。C,回4。8的面积分别为SA，SB，SC，

则丛・瓦？+SB•话+Sc•元=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为

这个定理对应的图形与"奔驰"轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔

驰定理”.若。是锐角回4BC内的一点，是回2BC的三个内角，且点。满足市.笳=

OBOC=0C-0A，贝！1

A.。为13ABe的垂心

B.Z.AOB=71-C

C.\OA\-OB-.\OC\=sinAsinB:sinC

D.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC—0

11.如图，在棱长为1的正方体4BCD-&B1C1A中，点P为线段BQ上的动点，则下列说法

正确的是

A.DP1A±CB.DP〃平面

C.三棱锥尸-AC%的体积为定值gD.4P+PC的最小值为驾2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.复数z】=2—i,\z2\=2,贝”Z2—Z]]的最大值是.

13.在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程x3=3x-l的一根X。€(0,1),则再

经过两次计算后，X。所在的开区间为.

14.一般地,若/'(%)的定义域为口句,值域为［ka,kb］,则称［a,b］为f(x)的“k倍跟随区

间”；特别地，若/(久)的定义域为口切，值域也为［a,句，则称［a,切为/(©的“跟随区

间”，

回若［1,句为/(x)=——2%+2的跟随区间，贝股=；

回若函数/(x)=m-不I存在跟随区间，则ni的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/'(x)=/lsin(a)x+9)(4>0,3>0,0<?<2兀)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若九⑶=/(x)"(x—勺，X6［0,5,求九Q)的取值范围.

o4

16.(本小题15分)

习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环

保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染

物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2爪9/爪3，首次改良

后所排放的废气中含有的污染数量为1.94爪9/爪3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染

物数量为r0，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为七，则第n次改良后所排

05n+p

放的废气中的污染物数量%,可由函数模型7=r0-(r0-rj-5(peR,neN*)给

出，其中九是指改良工艺的次数.

(1)试求改良后7的函数模型；

(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg"i3.试

问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？(

参考数据：取恒2=0.3)

17.(本小题15分)

_,,—>->,,->~—>—>

已知向重a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且。〃b,ale.

T->

(1)求b与c；

(2)若m=2a—6,n=a+c,求向量n的夹角的大小.

18.(本小题17分)

中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍(ch①篇Gn6ng)者，下有袤有广，而上有袤

无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一

条线.刍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍如图所示，四边形48CD为正方形，四边形

ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4,EF//AB,AB=2EF,EA=ED=FB=

FC=V17.

(1)求二面角a-EF-C的大小；

(2)求三棱锥力-BDF的体积；

(3)点N在直线4。上，满足4N=nMD(0<7n<l),在直线CF上是否存在点M,使NF〃平

面BDM?若存在，求出券的值；若不存在，请说明理由.

19.(本小题17分)

已知/'(%)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=l-3，

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x£[2,4]时，不等式/((log2久产)+f(5-alog2x)>0恒成立，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.由题意，得4UB={%|-3<%<5},Ar\B={x|0<%<2},

阴影部分表示的集合为C.B（4AB）={%|-3<%<。或2<%<5].

故选：D.

2.m1/?,mu仇，所以a±S，所以m1夕是a_L/?的充分条件；

al/?,mca,nu0,mln,只有7n垂直于两个平面的交线时，则ml/?,所以ml/?

是a1/?的不必要条件.

所以zu10是a1夕的充分不必要条件.

故选：A.

3.由M+2ab—3b2=1得（a+3b）（a—6）=1,

令x=a+3b,y=a—b,则久y=1且a=b=

所以。2+》2=（?）2+（平）2

_，+5y2+22/5"俨+2_一+1

-8-8-4'

当且仅当/=/5,y2=*时取等号，

故。2+匕2的最小值为与1,

故选A.

4.设生产了万千件该产品，

则生产总成本为。（久）=3.47X10mx+xX10x1000.

因为g（12）=3.47X1012m+120000=123470,

所以3.47x1012m=3470,

所以1012m=io。。，

所以TH=0.25.

所以y=3.47x10。,25%

设现在的销售成本为为，对应的生产数量为

原来的销售成本为乃，对应的生产数量为%2，

由销售成本增加一倍知为=2y2，

所以10。.25（的-物）=2,

故久1—%2=41g2=1.2（千件）.

故选A.

5.法一：以4为坐标原点，4B所在直线为x轴，4。所在直线为y轴,

建立平面直角坐标系如图所示，

则4(0,0),E(2,l).设|9|=%,则尸(x,2),故行=(尤,2)，荏=(2,1).

■■■AF-AE-\AE\22)-(2,1)=2%+2=5,解得x=去

।丽=J(丁+22=I.

故选D.

法二：连接EF

由题意，■.■AF-AE=\AF\■\AE\cos^EAF=|XE|2-

\AF\cos/.EAF=|版I，

•••EF1AE.■■■E是BC的中点，

BE=CE=1.设DF=x,

则CF=2-x,

在RtAAEF中，AE2+EF2=AF2,

即22+12+(2—X)2+M=22+/,

解得X=I，AF=y/AD2+DF2=|.

故选D

z_1+t_(l+»_2(_.

bi=l^i=(l-t)(l+i)=7=J,

由i的哥的周期性可知(今2017+(|)2018=j2017+j2018=»一1=一1十j,

则复数()。】7+(32。18在复平面内对应的点位于第二象限.

故选8.

7.设正三棱柱力BC-4/1C1上、下底面的中心分别为儿%,连接

根据对称性可知，线段的中点。即为正三棱柱2BC外接球的球心，线段。4即

为该外接球的半径.

由已知得4兀x。人2=48兀，所以。4=24.

设正三棱柱48C—a/iG的底面边长为x,贝!=|x苧x=苧x.

在Rt020H中，OH=VOA2-AH2=J12-1x2,

所以HHi=2J12-#,

所以正三棱柱ABC-&B1G的体积M=(|x2sin60°)-2J12-|x2=^x2J12-1x2(0<

%<6).

令"J12-1x2,贝！久2=36-3/，

故收)=苧(36=3户)如『")=呼(4—户),

当o<t<2时，r(t)>o,u©单调递增；

当2<t<2门时，v'(t)<0,U(t)单调递减，

所以刀(t)max=U(2)=24/3.

故选c.

8.当x>0时，%+->2,当且仅当久=1时取等号；

X

当汽<0时，/(%)=|ex—a|+a—1,且e*e(0,1],

所以，当0<a<l时，靖一a=0在i<0时有解，且当％(0时，/(%)的最小值为。一1,

故只需%>0时，/(%)=卜+：+a]+2a的最小值大于或等于a-1即可，

o、

即2+a+2a>a—l,解得Q〉—2,所以当0<。《1时，满足题意；

当a>1或—2<a<。时，/(%)=\ex-a\+a-1>a—1在％<0时恒成立，

所以只需%>0时，/(%)=,+；++2a的最小值为a—1即可，即2+a+2a=a—1,

解得a=—I，即a=—|满足条件；

当a<—2时，/(%)=\ex-a\+a-1>a—1在久<0时恒成立，

所以只需久>0时，/(%)=卜+：++2a的最小值为a—1即可，即2。=。一1,

解得。=一1,不满足题意；

综上所述，a的取值范围为(0,l]u{—|}.

9/.-/(-%)=|sin(一1|+Icos(-f)|=|sin||+|cos||=/(%),

・・・/(%)为偶函数，其图象关于y轴对称，故A项错误；

f(x+兀)=|sin|+|cos1=|cos|+|sin11=/(%),

・•・函数/(%)的最小正周期为"，故B项正确；

当％e[0,加]时，/(%)=sin'+cos=V_2(^sin^+^cos勺=V_2sin弓+f),

ZZZZZZZ4

■.•XG[O,7T]；+,-.Tlsin(1+^)6[1,72],

・・・函数/(%)的周期为"，・・./(%)的值域为[1,2],故C项正确；

易知函数/(%)为偶函数，g(%)=sin(^x+0)(3>0)为偶函数，

•••sincp—±1,+kn(keZ),又•:0<cp<TI,；.(p=与

•••g(x)=sin艮Pg(%)=cos^x,

由3>o,0<%<3,得0<^x(生，

0)GJ

•.•函数g(x)在(0,3)上单调递减，.•・里《兀，解得323,故。项错误.

Ci)

故选：BC.

10.

4因为瓦5•4=丽•反，移项整理得：OB-（OA-OC）=0,即加・森=0，故。B1

CA,同理可得。41BC、OC1AB,故。为/ABC的垂心，故选项A正确；

A延长线段CO交边4B于F,延长线段B。交边力C于E,延长线段4。交边BC于D,由图知

乙AOB=LDOE,且NDOE+C=7T,所以NAOB=TT-C,故选项2正确；

—>—>

C在中，由正弦定理得：\OA\-.\OB\=sinA.ABO-.sinABAO=sin(^-Ay.sin(^-

B)=cosA:cosB,故|0^4|:|OB|:|OC|=cosA:cosB:cosC，故选项C错误；

。.由三角形面积公式及选项8的结论：54=^1\T0B\\0TC\sinAB0C=1\0TB\\0TC\sin(n-

A)=l\OB\\OC\sinA，同理可得SB=与市11芯|sinB,Sc=与次||砺|sinC,由

|瓦？|:|0B|:|OC|=cos?!:cosB-.cosC得以：SB-.SC—

sinXsinBsinC_sinAsinBsinC

(\OB\\OC|sinX):(|04||0C|sinB):(\OA\\OB|sinC)=

\0A\'\0B\'\0C\cos?l'cosB'cosC

tan4tanB:tanC,再由奔驰定理即得tanA・瓦？+tanB•初+tanC•云=6，故选项。正

确.

故应选ABD.

II.对于4,连接BD、DC「

由于&C1BD,ArC15C1；

所以4停，平面80G，

又DPu平面BDG，

所以DP14C,

故A正确；

对于8,连接BD,CD如图:

AB//Ci%,AB=C1D1,

••・四边形力BCiA为平行四边形，

•••AD1//BC1,

■■■BCiu平面BOG，ADr，平面BOG，

•••皿〃平面

同理四边形ADCiB]为平行四边形，

AB1//DC1,

■■DC】u平面AB]C平面

•••AB]〃平面BDCi，

•••ABrCiADr=A,AB1u平面AB也，AD1u平面4B也,

平面BOG〃平面481。1，

•••DPu平面BO/,

・・・DP〃平面AB/i，故B正确；

对于C,

由8知AD1//BG，又AD]u平面AC。],BC】C平面2CZ)i，

BCi〃平面4血，

.•.点P到平面AC/的距离等于点B到平面AC/的距离，

=

^P-ACD1^B-ACDr—%i-4CB=5X2*1*1*1=%,故C错误；

对于。，将平面48G和平面BCG沿直线BC1展开为一个平面，如图:

则当P为&C与BQ的交点时，&P+PC取得最小值为44的长度,

22

•••BC]—ArB—AG=VI+I=y/~2>

•••Z-A^C^B=60°,

A厂厂“。。、

•*•cosZ-A^C^C—cIos"(60+45)=-1x/2----/—3x-/2-=-/2--—<6，

LLLL4

△中，由余弦定理可得

241c2=&C/+CC1—2-241cl,CC]♦CQsZ-ArCrC

=2+l-2x/2xlx%—=2+

4

V3+1+

•••AC—

rV22

即力1P+PC的最小值为省C,故。正确.

故选A2D

12.vzr=2—i,\z2\=2,

设Z2=2(cosa+isina),

则Z2—Z]=(2cosa—2)+(2sina+1)3

2

\z2—z/2=(2cosa—2)2+(2sina+l)

=4cos2a+4—8cosa+Asin2a+4sina+1

=9+Asina-Scosa=9+4V~^sin(a—(p),其中tang=2,

当sin(a-9)=1时，忆2-Zi『取得最大值9+4层,

从而得到园-Zi|的最大值为怖+2.

故答案为，^+2.

13.令/(%)=%3-3%+1,可知f(0)>0/(1)<0,

且屋)T<3

故函数零点位于(0,；),

又M»。，

・•・均所在的开区间为G3).

故答案为(另).

14(1)因为[1,句为/O)=尤2_2%+2的跟随区间,

所以函数/(久)=/—2x+2的值域为[1,切，

因为/'(%)=%2-2%+2=(%-I)2+1,

所以二次函数/(%)=/—2x+2的对称轴为久=1,

因此函数/'(x)=%2-2%+2,在x£[1,6]上单调递增，

(f(6)=b2-2b+2=b

因此根据题中所给的定义有｛b>l0b=2；

匕⑴=12—2x1+2=1

(2)函数/(%)=m-C久+1的定义域为:[-1,4-00),

因为函数/'(x)=m-日久+1存在跟随区间,

设跟随区间为［a,句，(-1<a<b)

所以/(%)=X+1的值域为[Q,句,而函数/(%)=血-是定义域内的递减函

数，

e【I/(Y(b)=m—，b+1=ar----------.

因此有：｛-----今，b+1—，a+1=b—ctf

(/(a)=m—7a+l=b

因为匕>a>-1,

所以A/b+1W，a+1,

因此、b+1-Va+1=(，b+1-A/Q+1)«b+/+Va+1)0，匕+1+Va+1=

1,

所以0<Va+1<Vfc+1<1,

令c=Va+1,d=Vb+1,

所以0WcVl,c+d=l,

因此有m=a+，b+1=a+1—Va+1=c2—c,同理租=d2—d,

设函数九(%)=x2—x(xG[0,1]),

因为h(%)=%2-%=(%-1)2-%e[0,1],

所以八(久)min=1]九(％)max=。，

22

因为zn=c—c,m=d—d9

所以方程/-％=TH在％G[0,1]时，有两个不相等的实数根.

因此直线y=zn与函数八(%)=x2-%(%e[0,1])的图象有两个交点，

因此有一3<爪《0.

1

故答案为2；(-p0]

76(1)由图象有A=C,最小正周期T=g借=兀，

所以3=半=2,所以/(%)=V3sin(2%+0).

由/(蒋)=—得2•碧+乎=,+2/CTT,kEZ9所以0=1+2/OT,kEZ,

又因为0V9V2TT,所以0=?所以/(%)=V3sin(2%+金.

(2)由⑴可知/(%)=Y^sin(2%+§,

h(x)=/(%)•f(x—卷)=V-3sin(2x+,)xV-3sin2x=3sin2x(^sin2x+coslx)

3AT3..

=-3si.nz2n2x+।3V3s.inczxcosczx=3--1—-c-o-s-4-x-1।———sin4x—-3si.n(4x—7)+.-3.

LLLL4L64

因为xe[o,*所以4久—€卜明田,所以sin(4u-r)e卜11],

所以h(x)的取值范围为[0,2.

16.解：(1)由题意得为=2,71=1.94,

0,5+p

所以当n=1时，rt=r0—(r0—q)•5,

即1.94=2-(2-1.94)-5°-5+P,

解得p=-0.5,

所以/=2-0.06x50-5n-0-5(neN*),

故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为弓=2-0.06X5°-5n-°-5(nG

N*).

(2)由题意可得j=2-0.06X505n-°-5<0.08,

整理得50.5/1-0.5>32,

两边同时取常用对数，得0.5n—0.52柴，

联

整理得nN2x^+1,

l-lg2

将匈2=0.3代入，可得2x普W+1=期+1=5.3,

“l-lg27

又因为neN*,所以几26,

综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.

17.解：(1)由力/另，得久一2X3=0,解得x=6.

由21落得lx2+2y=0,解得y=-1.

所以另=(3,6),c=(2,-1).

(2)因为记=2a-b=(-1,-2),n=a+c=(3,1),

所以沅•元=-1X3—2X1=—5,\m\=V(-1)2+(-2)2=/5,

\n\=『32+12=710.

所以cos〈记，力=禺=总镰=一年，

,—>

又<m,n>G(0,TT).

所以向量沅，元的夹角为尊

18.解：(1)过点E分别作EG1EF,EH1EF,分别交AB,CD于G,H,连接GH,

因为四边形ABCD为正方形，EF//AB,

所以EG1AB,EH1CD,

由已知得EG=GH=EH=4,

所以NGEH=60°.

(2)过点E作EO1GH,垂足为。.

因为EF〃AB,EFC平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以EF〃平面ABCD.

因为AB〃CD,EH1CD,

所以AB1EH.

因为EG(~lEH=E,EG,EHu平面EGH,

所以AB_L平面EGH.

因为EOu平面EGH,

所以AB1EO.

因为ABCiGH=G,AB,GHu平面ABCD,

所以EO，平面ABCD,

所以EO为三棱锥F-ABD的高，EO=2G

因为SAABD=8,

所以匕-BDF—4-ABD—I^AABD，EO=X8X2y/~3—16r.

(3)方法一：

假设存在点M.

①当点N在线段AD上时，连接CN交BD于R,

贝必DNRSABCR,

所以出=%=」_.

RNDN1-m

因为FN〃平面BDM,FNu平面CFN,

平面CFNC平面BDM=MR,

所以FN〃MR,

所以国="=工

MFRN1-m

②当点N在DA延长线上时，连接CN交BD于S,

贝必DNSSABCS,

所以焉=盖=含

因为FN〃平面BDM,