运算与技巧 （培优讲义） 学生版-2025年人教版七年级数学专项提升

衔接点运算与技巧

(9街接展板I

小学阶段初中阶段

【运算内容】主要学习基本的四则运算，包括整【运算内容】在小学基础上，扩展到有理数、有理

数、分数的加减乘除，以及简单的估算和计算器使数和实数，增加了负数、无理数的概念和运算，学

用.习乘方、开方等更复杂的运算，以及代数式的运

【运算技巧】注重运算的准确性和熟练度，通过反算.

复练习掌握基本的运算技巧，如：凑十法、乘法口【运算技巧】强调灵活运用运算律和运算技巧，如

诀等.交换律、结合律、分配律等，提高运算效率和准确

性，同时注重运算过程中的逻辑性和严密性.

衔接指引

巩固基础运算能力

1.提高计算准确率与速度：在小学高年级，应重点练习整数、分数的四则运算，确保计算准确快

速，为初中学习有理数、实数的运算打下坚实基础.

2.强化运算顺序：熟练掌握运算顺序，即先乘除后加减，有括号先算括号内的，避免在复杂运算中

出现错误.

学习并运用运算定律

1.理解并掌握运算定律：在小学阶段，应深入学习加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分

配律等，理解其意义并能灵活运用.

2.运用运算定律简化计算：在解决实际问题时，有意识地运用运算定律进行简便计算，提高运算效

率和准确性.

培养抽象思维能力

1.从具体到抽象过渡：在小学高年级，逐渐引入用字母表示数的概念，让学生理解代数式的意义，

为初中学习代数式运算做好准备.

2.解决代数问题：通过解决简单的代数问题，如解一元一次方程，培养学生的抽象思维和逻辑推理

能力.

学习新的运算技巧

1.预习有理数运算：在暑假期间，可以预习有理数的加减乘除运算，特别是负数的运算规则，为初

中学习做好准备.

2.掌握乘方、开方运算：了解乘方、开方的概念和运算规则，通过练习掌握其计算方法.

培养良好的学习习惯

1.养成预习和复习的习惯：在小学高年级，开始培养预习和复习的习惯，为初中学习更复杂的数学

知识做好准备.

2.整理错题集：将做错的题目整理成错题集，分析错误原因，避免重复犯错，提高学习效率.

整数认识整数，掌握整数的加减乘除四则运算及其运算律

数的认识与运算分数理解分数的意义，学习分数的加减乘除运算及混合运算

4激认识4激，掌握〃激的加减乘除运算及与物的转换一

小学阶段-学习运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和

运------------简便运算分配律进行简便计算

算运算技巧-----：--------------------------------------------

-------------估算掌握估算的方法，能够进行简单的估算

与

技

有理数学习有理数的概念，掌握有理数的加减乘除、乘方及混合运算

巧数的扩展与运算-----------------------------------------------------------------------

____________________实数了解无理数，认识缪孔学习实数的基本运算

初中阶段一代数式理解代数式的概念，学习代数式的加减乘除运算及整式的乘法公式

------------与方程-------------------------------------------------------------------------------------

-----------------方程掌握一元一次方程、一元二次方程的解法及应用

知袂衔接

1.运算定律

1）力口法交换律：a+b=b+a力口法结合律：a+Z>+c=a+0+c）

2）乘法交换律：axbxc=axcxb乘法结合律：（ax8）xc=ax（cx办）

3）乘法分配律：（a±b）xc=axc±bxc乘法分配律的逆用：axb±axc=a（b±c）

2.运算性质

1）减法的性质：a-b-c=a-（b+c）a-b+c=〃一伍-c）

2）除法的性质：。+办+。=。+（力乂。）a+bxc=〃+（乃+c）

3)商的“不变性”，即若〃+Z?=c,则仅・d)=c,(Q+d)+(Z?+d)=c(dwO)；

3.裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷.

第一类（“裂差”型运算）：.1.——二或/1、,x仕一——

+nn+1+m\nn+m

第二类（“裂和”型运算）：=或^-^=-+-

m-nm+n\mn）m-nmn

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时

还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的.

4.数列求和公式（补充）

①等差数列求和

等差数列求和公式：（首项+末项）x项数+2

等差数列的项数计算方法：（末项一首项）+公差+1

②等比数列求和

等比数列的求和公式：（末项x公比一首项）-（公比一I）（公比力）

5.乘法公式（补充）

平方差公式：（。+/?）（。一〃）=。2—/?2完全平方公式：（a+Z?）2=。2+2aZ?+Z?2,=。2—2。人+人2

6典例精研

考点一：活用运算定律和性质（凑整思想）

典例1

1.（2024•内蒙古通辽.小升初真题）脱式计算下面各题，能简算的要简算。

7.6x2.5x487x—26.4-3.28-6.4-4.721.25x8x4x2.573x101

2.（2024.山西吕梁.小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。

0.25x5.32x49-5+995-+9995-+1X64-X-3X5—

77775712

3.（2024.河南周口.小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。

（1-3+3+（138-13）-1857x1.9-8.57x80-85.7（+*I]566X345+567

567x345+222

4.(2024.河南南阳・小升初真题)脱式计算，能简算的要简算。

MG+1)"2]15.8—看+14.2-g1.61X0.25+0.18x[+1.21x25%2024X蔻

凑整思想是一种广泛应用于数学计算中的方法，其核心在于通过调整数值，使其变成更容易计

算的整数，从而简化运算过程，提高计算速度和准确性.如：把''一些分数(或小数)凑成整数”，把

“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果，这一思想在小学数学教育中尤为重要，

它不仅帮助学生快速掌握加减乘除的基本运算，还培养了他们的逻辑思维和解决问题的能力.

以下是凑整法在不同运算中的具体应用：

加法凑整

其基本思路是将加数凑成整数，再进行计算.例如，计算1999+198+97+8时，可以将每个加数凑成整

数：1999+198+97+8=(2000-1)+(200-2)+(100-3)+8=2300-6+8=2302.

减法凑整

例如，计算2537-118-382时，可以先将减数凑成整数：

2537-118-382=2537-(118+382)=2537-500=2037

乘法凑整

1)乘法凑整通常利用乘法的交换律和结合律.例如，计算8X34X25X125X4时，可以将乘数凑成整

十、整百：8X34X25X125X4=(8X125)X(25X4)X34=1000X100X34=3400000

3434

2)利用互为倒数的特性，如计算三义二义5,由于士和士互为倒数，乘积为1,所以整个表达式简化为

4343

1x5=5.

除法凑整

除法凑整可以通过将除数或被除数凑成整数，再进行计算.例如，计算316+9+413+9+171+9时，可以

将被除数相加，再除以相同的除数：316+9+413+9+171+9=(316+413+171)+9=900+9=100

分数加减法的凑整

凑整法同样适用于分数运算.例如，计算±132*+2可以先将同分母的分数相加：土1+2*和‘3+2

35353355

最终结果为1+1=2.

1.（2024.湖南株洲.小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。

①864注（327—263）+8]②85乂三+15><75%③1+（50%—工（4）6.75--+3.25--

48\4/866

2.(2024•河南郑州•小升初真题)脱式计算，能简算的要简算。

(1)玷x(2|-|)+工+(2)[3.75—(0.2+义4刍一13.5%

(3)241x690+339+345x678—241(4)(4--—+26)^—x—

V81671674

3.（2024・四川成都・小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。

⑴(1+自乂H(2)±x25xl9x|(3)|x58-|x31

541011

(4)(|-I)x7.2(5)-X—：---X—

9721⑹（1-割18

4.(2024・四川巴中・小升初真题)计算下面各题，能简算的要简算。

25x(40x4)24+琮x(l—£)]8x(|+£)+£

23.2-4.5+6.8-15.54054-15x(198-184)29x1+72x12.5%-0.125

5.(2024.河南驻马店•小升初真题)用你喜欢的方法计算。

[81-(50%+5x.1.652x3.7+37%x260+0.22x370

3-x7.4-3-+3.6X3.125(9.6-10工+1.25)+(1工x，

88V27\347

考点二：巧分组法

L（2024・广东•小升初模拟）计算题，写出计算过程和结果。

⑴IQ**%。］⑵（啕+（3■第巩"枭力”•+陋吟4巩9吗*50

2..(2024六年级,浙江・培优)计算。

(1)20041-20031+2002.J--20011+-+21-11+1

2323232

(2)2023-2020+2017-2014+2011-2008+..+19-16+13-10+7-4+1

3..（2022•江苏南京・统考小升初真题）简算，并写出简算过程。

99-97+95-93+91-89+...+7-5+3-1

4.（2024•江苏•六年级校考期中）计算:11+21+31+41+5—+6—

248163264

在数学计算中，巧分组法是一种重要的巧算技巧。它通过将算式中的若干项合理分组，使得每组的

j计算结果相同或便于计算，从而快速得出整个算式的答案。例如，在计算一系列连续奇数相加时，可以

|根据数字的符号规律，将四个数分为一组，因为每组的和为零，最终简化计算过程。这种方法尤其适用

;于涉及大量相近数字的加法运算，通过寻找数字间的规律和特征，进行分组处理，可以显著提高计算效

!率。

【解题技巧】观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。

1.（2024K年级,全国•）计算2004]—2003—+2002——2001—+,,,+2——1—+—

2.（2023・四川成都・小升初真题）计算。

1“0119C而9+,8c茄11-7r石13+,6/1a5359173365129257

3.（2025五年级下•全国・专题练习）计算：

12345678910200320042005

20072007200720072007'20072007200720072007200720072007

2006

+

2007

4.（2025五年级下•全国・专题练习）计算：

123456781997199819992000

----------------1-----1-----------------1-----F…H-----------------1----

200120012001200120012001200120012001200120012001

考点三：换元法

典修P

1.（2024•成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。

仇"1二3〉（"」；24）（"1

2.（2023・广东•校考小升初模拟）用简便方法计算。

换元法是一种在数学解题中广泛使用的方法，尤其在解决复杂问题时，能够显著简化计算步骤，使

问题变得更容易处理。在小学阶段，学生们初次接触换元法，主要是为了培养他们的逻辑思维和问题解

决能力。换元法的基本思想是将一个复杂的数学表达式中的某一部分用一个新变量来代替，从而将原问

题转化为更容易解决的形式。例如，在解决某些代数问题时，若某个表达式重复出现，我们可以将其用

一个字母（如x或y）来表示，这样就能简化计算过程。这种方法的实质是转化，通过构造新的变量（即

换元），将复杂的问题标准化、简单化。

懈巅荡百"灰瓮字的薨麻锦蔑著嘉一丽前芬瓮?菊季每在蓍后;苒捶行正葡米蕾二逋淳3仄孽每菊花;

II

（命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁；

“乍用。

1.(2021六年级上•辽宁・专题练习)算一算。

(1+—+—+^—)X(^―+—+—+^—)-(1+—+—+—+—1—)X

19992000200119992000200120021999200020012002

(―^+―!—+—!—)

199920002001

III、JIIxz1I1、,I11、

232017232018232018232017

2.（2021六年级上•江苏南京•专题练习）计算下面各题。

1111111111111111

XX

2345345623456345

11111111111

H---1---1--—I--1----1---1---x—I---1—

1011128910111291011

考点四：分数裂项计算

算停I、

1.（24-25六年级上•江苏常州•期中）先观察下列等式再完成题后问题。

111111111

2x3233x4344x545

1

(1)请你猜想:

2010x2011

1111

(2)探究并计算:------F-----+-----+H----------------------

2x44x66x82010x2012

2.(2021六年级上•辽宁・专题练习)计算。

111+1T]11

2x44x66x88x1010x12

#+1+17.33,65

—十—十—

163264

91251491811121

2x44x66x88x1010x12

+9701+9899

»簿+2097029900

【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式

课化简一些有理数式子的计算

第一类(“裂差”型运算)：①_/1一一二或71――

+n〃+1n^n+m)m\nn+m)

②___1___=O_____1_Uo

〃x(w+l)x(〃+2)rax(77+1)(〃+l)x(〃+2)2

裂差型裂项的三大关键特征：

(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将X提

取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

田、11（11„m+n11

第二类（“裂和”型运算）：——=-----—+-或-----=—+—

m-nm+n\mnJm-nmn

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还

有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

1.（2024•河北石家庄•小升初真题）观察下列式子：（=[=!一，±=…请计

21262312342045

_111111111、

----1------1--------1--------1--------1--------1--------1--------1------=z（）O

2612203042567290

2.（2021六年级上•江苏南京•专题练习）计算下面各题。

1

4x55x66x739x40

11111

H---------------1---------------1---------------F

10x1111x1212x1313x1414x15

1111

------十++,•,+

3x55777x997x99

1111

-------F—+11,,1

1x44x77x1097x100

।157911

1—+—+

26122030

3.（2024・全国•小升初模拟）

—I----------1------------------1----------------------FLH------------------------------------

11+21+2+31+2+3+41+2+3+L+2020

4.（2022•浙江杭州•小升初真题）用递等式计算:

511192941557189109

—+——F—+------F-------F—+—+------F------

612203042567290110

6.（23-24六年级下.四川成都.期末）选择适当的方法计算。

16202496100

------------1-------H---------

7x99x1111x1347x4949x51

考点五：数列求和（等差、等比数列）

典行

1+3+5+7+9+,,,+2013

1.（2020.四川成都.小升初模拟）计算

2015+2017+2019+...+4027

晦

【解题技巧】

①等差数列求和

等差数列求和公式：（首项+末项）X项数+2等差数列的项数计算方法：（末项一首项）:公差+1

⑦等比数列求和

等比数列的求和公式：（末项X公比一首项）一（公比一1）（公比XI）

唐Fir

1.（24-25七年级上•广东惠州•期中）（1）如果欲求1+2+3+4+…+〃的值，可令S=l+2+3+4+L+”

①，将①式右边顺序倒置，得5=〃+1+4+3+2+1②，由②式+①式，得2S=；:.S=；由结

论求1+2+3+4+…+100=；

（2）①观察一列数2,4,8,16,32,…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个

常数是—；根据此规律，如果肉（〃为正整数）表示这个数列的第w项，那么仆=

②为了求1+3+3?+33+…+32°18的值,可令.=1+3+32+3?+…+3238①,则3河=3+3?+33+…+32°田

o2019_io2019

232018

②，由②式-①式，得3M-M=32。19_1,,M=_丁,gpi+3+3+3+...+3=--

仿照以上推理,计算1+5+5?+53+…+55、

2.(24-25七年级上・全国•假期作业)【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般

形式可以写成：%,小，生，…，％，….一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一

个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用4表示.如：数列

1,2,4,8,…为等比数列，其中%=1，/=2,公比为4=2.

根据以上材料，解答下列问题:

(1)等比数列3,9,27,…的公比4为，第5项是

【公式推导】如果一个数列％,出，4,…，是等比数列，且公比为4,那么根据定义可得到:

“2”3。4〃〃+]ll.n23

=q,=q,=q，…,---=q.所以“2=4P，a3=a2-q=axq-q—ax-q,%=q=q=q',

(2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：%一.

【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特.下面

是小明为了计算1+2+2?+…+2239+22M的值，采用的方法：

设$=1+2+2?+…+2刈9+22°2。①，贝ij2s=2+2?+…+22侬+2?⑼②，

②一①得2S—S=S=22°2i—1,.­.S=l+2+22+...+22019+22020=22021-l.

【解决问题】(3)请仿照小明的方法求11+1俨+113+…+”2024的值.

考点六：运用乘法公式运算

1.（24-25七年级下•四川达州•开学考试）计算:

用简便方法计算194*206.

解：194x206=（200-6）（200+6）①=200?-6?②=39964.

（0例题的求解过程中，第②步变形是利用一（填乘法公式的名称）；

（ii）用简便方法计算：20242-2023*2025.

2.（23-24七年级下•全国•课后作业）简便计算：1012—198x101+992.

3.（2022•四川绵阳•小升初真题）计算题。

66x22-33x34331

37.5%x—+—+3—+3.75+70

20162-2015x4032+20152782

2

―+—+—+L+]2+±+JL+100

1x2x32x3x43x4x54x5x68x9x101x33x55x799x101

【解题技巧】平方差公式：（a+b）（a—9=片—巨

完全平方公式：(tz+Z?)2=a1+2ab+b1,(tz-Z?)2=a1-2ab+b2

1.（24-25七年级下•全国•课后作业）用简便方法计算:

（1）79x81；

（2）99x101x10001.

2.（23-24七年级下.全国•课后作业）用简便方法计算：

（1）1752-752

（2）20162-2015x2017

3.（24-25七年级下•江苏宿迁•阶段练习）运用整式乘法公式简便计算:

（1）899x901+1；

⑵19.92+19.9x0.2+0.F.

9培优提升

一、选择题

3199

1.（2024・河南开封•小升初真题）计算gx上xf时，用（）计算比较简便。

A.加法结合律B.乘法分配律

C.乘法交换律D.乘法结合律

2.（2024.山西晋中•小升初真题）张丽用计算器计算“45.7x9.9”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正

确结果的是（）。

A.45.7x3.3x3B.45.7x10-0.1C.45.7x8.8+45.7x1.1

3.（2023・广东深圳•小升初真题）《九章算术》是中国古代第一部数学专著。它介绍了分数除以分数的另

一种方法：先通分，再把分子直接相除。例如：?3十2==告+10整=21?。下面（）是采用这种方法计算

57353510

的。

31…八一=525315

A.一+—=0.75+0.5=1.5B.一+―=—x—=——

42838216

「5.3（57）/37、35「32989

67（63八73）184312128

4.（2022・广西贵港•小升初真题）有一个数字键“4”坏了的计算器，用这个计算器计算24x25时，下列按

键方案中（）合适。

A.3x8x25B.6x4x25C.25x25-1D.2x2x3x25

二、填空题

5.（2024.河北石家庄.小升初真题）观察下列式子：!=3

2126-2~3,12-3-4?20-4-5

11111111z、

2612203042567290

3

6.（2024•浙江温州•小升初真题）计算“0.36++”。

方法一：用分数加减法计算，和是个★相加；

方法二：用小数加减法计算，和是个0.01相加。

7.（2022.湖南长沙.小升初真题）计算:---------1-----------------1----------------------F•••H-------------------------------

1+21+2+31+2+3+41+2+3+---+19

8.(2024•江苏镇江・小升初真题)请根据①、②两题的运算方法计算第③题。

①4x6=(4x6)x(1x1)=24x1=24x1

②04x0.6=(4x6)x(O.lxO.l)=24x0.01=0.24

2311

)x()x(-X-)=()x()=()

ac52

9.(2024•山东潍坊・小升初真题)一种数学运算，规则是这样的：u=ad-bc,例如°=5x3—2x4

bKd443

425

=7,那么233=(”

10.(2024•河南南阳•小升初真题)1+:+!+:+上+3+.-=(

)

2481632

275

2-x(l---)

11.(2024六年级.全国•竞赛)计算：-3-JQ=()o

3--C-+1-)

486

12.(2024六年级•全国•竞赛)快速计算，直接填空。

(1)(234+342+423)711=()；

233435

(2)51-x-+71-x-+91-x-=()；

354759

(3)9.81x0.1+0.5x98.1+0.049x981=()；

(4)1013X4048-202423=()；

⑸5+8+11+14+…+167=()o

13.（2014六年级.全国.竞赛）计算。

14.（23-24六年级上•福建莆田•期末）如果“A+B=C"，那么"3+A=（广。计算2016+2016茄万

的结果是（）。

15.（23-24五年级下•河南周口・期中）计算并填空。

111111111、

--1--=（）---1---1--=（）---1---1--1--=z（）

2424824816

观察以上算式，我发现：（）。

按照这样的规律，我知道!+：+：+]+---=（）°

2481632256

16.（2011六年级下.全国.竞赛）计算卜+:卜卜++…x[l+/）=。

三、计算题

17.（2024.河南平顶山.小升初真题）计算下面各题，能简便的用简便方法计算。

(1)10-0.34-0.66

91111

(3)——x(4)---F---F一++—

40