因式分解的应用（数学竞赛汇编）解析版

专题02因式分解的应用

◊全国各地竞赛真题试题汇编

1.(2023•河北沧州)已知a、b、c为△38C的三边,且满足十一/=02c2一力2c2,则△力口。是()

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理得逆定理，将等式化为小=/或Q2+

标=。2是解题的关键.先将等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得Q2=/或Q2+/=C2,进而可

得a=。或小+82=。2,进而判定三角形的形状即可.

【详解】解：,••。4-64=02。2一82。2,

222222

A(a+b)(a-b)=c(a-〃)，

(a2+b2)(a2—b2)—c2(a2—b2)=0,

(a2-b2)[(a2+b2)-c2]=0,

:.a2-b2=0或(M+b2)-c2=0,

222

:.d=/)2或Q2+b=c,

：.a=b(舍去负值)或Q2+/J2=C2,

••・△48C是等腰三角形或直角三角形.

故选：B.

2.(24-25九年级下•江西•竞赛)已知吧丝竽网竺=3,贝U(Q-b)2+(b-c)2+(Q—b)(b-c)的值为：()

a+b+c

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题主要考查的因式分解，利用因式分解将已知条件化简，再通过展开目标表达式并合并同类项,

发现其与已知条件中的代数式相等，从而得出结果.

ai+bi+c3-3abc-

【详解】已知-------------------=3

a+b+c

(Q+b+。(小+b?+c2—ab—be—ac)

--------------------------：--------------------------=3

a+b+c

a2b2+c2—ab—be-ac=3

化简(Q—b)2+(b-c)2+(a—b)(b—c)=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+ab—ac-b2+be=a2+

b2c2-ab-be-ac

由已知条件可知该式值为3

2

(a-b)2+(b-c)+(Q-b)(b-c)=3

故选：c.

3.(24-25八年级下•浙江)若t?+-=/VHP-2a1+诉一8a-4b-16+|川+2b+9|的值为()

A.3B.5C.7D.9

【答案】D

【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的有意义的条件，正确对根号下面部分式子进行因式分解

是解题的关键.

【详解】解：原式根号下面部分为。/一2帅+2b2-80-46-16,

=b2(.a4-2)-2a(b+4)—4(b+4),

=b2(a+2)-2(a+2)(/?+4),

=(a+2)[b2-2(匕+4)],

=(a+2)(b—4)(/)+2),

0(a+2)(d-4)(b+2)>0,

va2+b2=4,

•••|a|<2,\b\<2,

a+2>0»。-4<0,Z?+2>0»

(a+2)(/?—4)(b+2)<0,当且仅当a=-2,b=0或a=0,b=-2时，取到等号，

二根据二次根式的性质y/ab2—2ab4-2b2-8a-4b-16只能等于0,

\b2+2b+9|=[(b+I)2+8|=(b+I)2+8,

当6=0时，(b+l)2+8=9；

当匕=-2时，(b+l)2+8=9；

二原式=0+9=9,

故选：D.

4.(九年级•浙江•自主招生)若a,b,。均为非零实数，且a+b+c=abc=cP,则出?+be+ca的最小值

为()

A.6B.8C.9D.13

【答案】C

【分析】根据Q+h+c=abc=Q3,得到b+c=a3-a,be=a2,将ab+be+ca转化为用a表示的式子，

构造一个以4c为两个根的一元二次方程，再转化为含字母Q的一元二次方程，根据方程有两个根，得到0,

求出。的取值范围，即可得解.

【详解】解：Mb,。均为非零实数，且a+b+c=abc=a3,

勋+C=Q3-Q,be=a2,

^ab+be+ca=be+a(b+c)=a2+a(a3-a)=a4,

M,c是方程％2-(b+c)x+be=0的两根，

方程/一(Q3-a)%+a2=0有两个实数根，

则A=—。)2_4a2>0,即_2a4_3a2>。

0a2H0,

13a4-2a2-3>0,BP(a2-3)(a2+1)>0,

团0+1)>0,

ffla2-3>0,即M>3,

^ab+be4-ca=a4>32=9,

即就+bc+ca的最小值为9：

故选：C.

5.(九年级上•福建漳州•自主招生)己知正整数"?，〃满足标二存+而7/=71,则71的最大值为.

【答案】104

【分析】本题考查了因式分解的应用，设。2=6一174,b2=m+34,则/?2一。2=2()8,n=a+b,再

根据(b+Q)(b-a)=208,可得"+a,b-Q同为正偶数且为208的因数，掌握因式分解的应用是解题的关

键.

【详解】解：设a?=m-174,b2=m+34(a>0,b>0),

□Z72—a2=m+34—(m—174)=208,n=a+Z?»

0(b4-a)(b-a)=208,

M+Q,b-a同为正偶数且为208的因数，

C-r=24C^：4Cta：86'

(3n的最大值为104,

故答案为：104.

6.(24-25七年级下•四川巴中)己知。=如+2025,b=^x+2024,c=^x+2026,则代数式a2+匕2+

c2-ab-be-ac的值为.

【答案】3

【分析】本题考查了因式分解的应用，根据代数式的形式，构造出完全平方公式进行计算即可，掌握分解

因式的应用，把原多项式扩大2倍得完全平方式是解题关键.

【详解】解：0=*%+2025,b=Q+2024,c=^x+2026,

•••a—b=1,b—c=—2,a—c=-1,

:.a2+b2+c2—ab—be—ac

=1(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

=；[(Q_b)2+s_c)2+(a-c)2]

va—b=1,h—c=—2,a—c=—1,

二原式X"2+(—2)2+(-1)2]

=3.

故答案为：3.

7.(2024八年级下•浙江温州•竞赛)已知3-100,无+100均为完全平方数，则％=

【答案】2501或629或125

【分析】本题考查完全平方数，设。2=%一1()0①，b2=x+100(2)(a、b为整数)，得(b-a)(b+a)=

2x2x2x5x5,将所有可能情况列出来即可解答.解题的关键是根据题意列出等式进行试解，同时要知

道完全平方数是整数.

【详解】解：设a?=x—100(1),b2=x+100(2)(a、b为整数)，

②一①得：b2-a2=200,即(b-Q)(b+a)=2x2x2x5x5,

可能情况如下：

(b—a=1(b-a=2(b-a=4(b-a=5(b-a=8(b—a=10

U+a=200'U+a=100*U+a=50lb+a=40'U4-a=25(b+a=20

a=49a=23

解得:a=99.5(全手)fX肾舍去)”;二器5(舍去)，｛一；5

b=100.5("去)’Ib=51b=27

=49叶

=5严x=a24-100=492+100=2501,

当仁当时,x=a2+100=232+100=629,

二5时，x=a24-100=52+100=125,

Ex=2501或629或125.

故答案为:2501或629或125.

8.(24-25八年级下•四川成都)一个正整数“能写成％=。2一〃(％b均为正整数)，则称X为“美满数”,

a,b为％的一个美满分解，井规定：“无)=£如果一个两位正整数(十位数字大于个位数字，交换其个位

上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解.则F(4752)的值为.

【答案】g或:.

174

【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据"美满数''的定义列出关于a、b的方程组.

先设出原两位正整数的十位数字和个位数字，根据新数与原数是4752的一个美满分解列出方程组，可得

(m+n)(ni-n)=48,求出m、n的值，进而得出F(4752)的值.

【详解】解：设原两位正整数的十位数字为m,个位数字为九(m〉n,m,n均为正整数)，则原数为10m+m

新数为10几十m,

,••新数与原数是4752的一个美满分解，Q=10m+九，b=10n+m

又，；a2—b2=(a+b)(Q—b)=4752,

将a=10m+n,b=lOn+zn代入a?-=(a4-b)(a-b)=4752,

a2-b2=[(10m4-n)4-(lOn+nt)][(10m4-n)—(lOn+m)]

=11Cm4-n)x9(m—n)=99(m+n)(m—n)=4752

口J得：(m+n)(m—n)=48＞九,TH,九均为正整数)

此方程有两组符合题意的解，

分别为：｛忆:叫：二:

当｛k：时，｛，:。

•・.?(4752)=1

当w:时,器二

F(4752)

,7484

综上，F(4752)的值为意或《

故答案为：3或工

174

9.(2024•重庆南岸)对于四位数M=砺，若干位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数

字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s,将

千位数字去掉得到的数记为t,并规定F(M)=s-t-10(/?-d),则F(Q力64)=_；若一个四位数M=1201+

1000a+1006+30c+d(0<a<8,0<b<7,0<c<3,0<d<0,a,b,c,d均为整数)足“双倍

差数”，且F(M)除以13余1,则满足条件的M的最小值为

【答案】821461

【分析】分别求出s和£,把s和t代入r(M)=s—t—10(b—d),并整理得F(M)=82(a-b),或F(M)=

41(c-d),即可求出F(ab64)；因为M=1201+1000a+100b+30c+d,可得M/位上的数、百位上的

数、位上的数和个位上的数分别为：1+a、2+匕、3c、1+d,由题意得2[(1+a)-(2+b)]=3c-(l+d),

即2Q-2b=3c-d+L进而求得F(M)=82a-82b-82,由于F(M)除以13余1,故尸(M)-1=82a-

82b-83能被13整除，将82Q-82b-83变形为13(6Q-6b-6)+4a-4b-5,可知4a-45-5也能被

13整除.由0WQW8,04b47可推出一2844。一46一5432,分类讨论,分别求出符合条件的Q的值，

进而求出符合条件的b、c、d的值即可.

【详解】解：由题意得，2(a-b)=c-d,

将M的个位数字去掉得s=abc,将四位数M的千位数字去掉后t=bed,

二F(M)=ST-10(b-d)

=(100a+10b+c)-(100b+10c+d)-10(b-d)

=100a+10b+c-100b-10c-d-10b+10d

=100(a-b)-9(c-d)

F(M)=82(a-b),或F(M)=41(c-d),

•••F(ab64)=41x(6-4)=82；

•••M=1201+1000a+100b+30c4-d,

•••这个"双倍差数”的千位上的数、百位上的数、位上的数和个位上的数分别为：1+a、2+b、3c、1+d,

*'»2[(1+a)—(2+b)]=3c—(1+d).

2a—2b=3c—d+1,

・•・F(M)=82[(1+a)-(2+b)]=82a-82b-82,

；F(M)除以13余1,

A82Q-82b-83能被13整除，

82a-82b-83=78a+4a-78b-4b-78-5

=13(6a—6b—6)+4Q—4b—5,

...4Q—4b-5能被13整除，

v0<a<8,0</)<7,

•••0<4a<32,-28<-4b<0,

:.-28<4a—4b—5<32,

①当4。一4/)-5二一26时，a=b-*

v0<a<8,0<b<7,且Q、b为整数，

此种情况不符合题意，舍去；

②当4a—48-5=-13时，a=b-2,即b=a+2

v0<a<8,0<b<7,且Q、匕为整数，

0<a+2<7,

•%0<a<5,

a=0,1,2,3,4,5»

③当4。-46—5=0时，。=匕+:，

v0<a<8,0<b<7,且a、b为整数,

•••此种情况不符合题意，舍去；

④当4Q—4b-5=13时，Q=b+£

v0<a<8,0<d<7,且Q、匕为整数，

此种情况不符合题意，舍去；

⑤当4a—4匕-5=26时，a=b+^,

v0<a<8,0<b<7,且a、b为整数，

;此种情况不符合题意，舍去；

综上，Q的取值为0,1,2,3,4,5,

va,b,c,d均为非负的整数，0MaW8,M=1201+1000a4-100/7+30c4-d,

二当a=0时，M取值最小，把Q=0代入b=a+2,得b=2；把a=0,b=2代入2a—2b=3c—d+1,

得。-4=3c—d+l,整理得，d=3c-5,

v0<c<3,0<d<8,根据一次函数增减性可知，由3>0得d值随着c的增大而增大，

.,•当c=2时，d=2x3—5=1,

综上，当“取最小值时a=0,b=2,c=2,d=1,

M=1201+1000a+100b+30c+d

=1201+0+200+60+1

=1461.

故答案为:82；1461.

10.(九年级•江苏南京咱主招生)x,y都是正数，/+y2+2xy+%+y-12=0,求％(y+1)的最大值.

【答案】4

【分析】本题主要考查了因式分解的完全平方法和十字相乘法以及利用二次函数的性质求最大值.将原式

分解为(％+y+4)(x+y-3)=0,得到x+y=3,进而得到+1)=x(3-x+1)=-x2-f-4x=

-(X-2)2+4,即可解答.

【详解】解：0z2+y2+2xy+x+y-12=0

0(x+y+4)(x+y-3)=0

又以，)，都是正数

耿+y=3

0y=3—x(0<x<3)

0x(y+1)=x(3-x+1)=-x2+4x=-(x-2)2+4

团当％=2,%(y+l)取得最大值，为4.

11.(24-25八年级下•辽宁阜新)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完

美数例如：12=42-22,20=62-42,28=82-62；则12、20、28这三个数都是完美数.

⑴按照上述规律，将完美数2028表示成两个连续偶数的平方差形式(直接写出)；

(2)证明：任意一个完美数都能够被4整除；

⑶如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数............按此规律拼叠到正方形48CD,其边

长为28,求阴影部分的总面积.

【答案】⑴2028=5082-5062

(2)见解析

(3)420

【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用等知识，解题的关键是：

(1)把2028写成508和506的平方差即可;

(2)设两个连续的偶数为2几、2(n+l),〃为正整数，根据完美数写出该数，然后根据平方差计算计算得

出4(2n+l),最后根据整除的定义即可得证；

(3)结合图形可得出阴影部分的面积为4?-2?+8?-62+…28?-262,然后根据平方差公式求解即可.

【详解】(1)解：2028=5082-5062；

(2)证明：设两个连续的偶数为2九、2S+1),〃为正整数，则完美数为[2(n+l)]2-(2n)2,

团[2(72+I)]2-(2九产

=[2(n+1)-2n][2(n+1)+2n]

=2x(4n+2)

=4(2n+1),

即为正整数，

02n+l为奇数,

团4(2n+1)能被4整除，

即任意一个完美数都能够被4整除；

(3)解：根据题意，得42-22+82-62+••・282-262

=(4-2)(4+2)+(8-6)(8+6)+…+(28-26)(28+6)

=2(4+2)+2(8+6)4-…+2(28+6)

=2(2+4+6+8+•♦•+26+28)

14x(2+28)

=2X2

=420.

12.(24-25七年级下•安徽安庆)我们知道，1+2+3+…+月二的罗，关于这个公式的推导方法，有很

多，比如说小高斯的故事.下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法：

首先，我们知道：(n+l)2=M+2n+l,

变形一下，就是(n+l)2-n2=2n+l,

依次给ri一些特殊的值：1,2,3,…，我们就能得到下面一列式子:

22-I2=2x1+1；

32-22=2x2+1；

42-32=2x3+1；

(n4-1)2—n2=2xn+1；

观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到(九+1)2-12=2X

(14-2+3+-+n)+n,观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为S就

是：(n+1)2—12=2xS+n,把S表示出来，得到：S=1+2+3+…+n=等2.用这个思路，可以

求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下5=12+22+32+...+九2的值.

【答案】S=；n(n4-l)(2n+l)

6

【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减运算，完全立方公式，因式分解的应用，熟练掌握各知识

点，理解题意是解题的关键.

仿照题干进行求解即可.

【详解】解：n3-(n-l)3=3n2-3n4-1>

当式中的T;从1、2、3、依次取到九时，就可得下列几个等式：

13-o3=3-3+1,

23-13=3X22-3X2+1,

33-23=3x32-3x3+1,

九3一(九一1)3二3九2-371+1,

将这n个等式的左右两边分别相加得：n3=3x(I2+224-32+-+n2)-3x(1+2+3+-4-n)+n,

BPl2+22+32+42+-+n2

_”3+3(1+2+3+…+九)一ri

二3

.n(n4-1)

7?3+3Q—^—2~--n

=3

2n3+3n(n+1)-2n

二6

2n3+3n2+n

二6

n(2n2+3n+1)

=6

=3n(ri+l)(2n+1).

6

.全国联赛真题试题汇编「

1.（2024八年级•全国•竞赛）已知M=10a2+a4-b2-2b+9./V=a2+25a4-（b-I）2-9,则M-N的

值（）.

A.一定是负数B,一定是正数C.一定不是正数D.不能确定

【答案】B

【分析】本题考查了整式的加减”完全平方公式.此题可直接用多项式M减去多项式M然后化简，最后

把得出的结果与零比较确定M-N的正负.

22

【详解】解：团M=10a+Q+扭一2b+9,N=a?+25a+（b-l）-9,

0M-/V=10a2+a+〃-2b+9—（M+25a+川一2匕-8）

=9a2-24a+17

=（3a-4）2+l>0.

故选：B

2.（2024八年级•全国•竞赛）三位数正的平方的末三位数恰好是正，这样的三位数正有（）

A.0个B.1个C.2个D.多于2个

【答案】C

【分析】本题考查分解因式的应用，掌握提取公因式分解是解题的关键.

【详解】由题意知（abc）?-abc=abc（abc-1）是1000的倍数，

01000=8x125,

0（1）8整除正且125整除④F—1）；（2）125整除正且8整除（正一1）,

由（1）得函=376,由（2）得加=625,

回共有两个，

故选C.

3.（2024九年级•全国•竞赛）任意正整数九都能够分解成两个正整数的乘积，若相乘的这两个正整数之差的

绝对值最小，则分别记为a、b（a<6）,并规定/（n）=（例如：/⑹=；J（7）=：J（12）=p现有下列说

法：

①f⑵=；：②/'（24）=］；③若n是一个完全平方数，则f（n）=1：④若九是一个完全立方数，即7i=a3（a

Zo

是正整数），则/•（#=（其中正确的有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】此题主要考查了完全平方数，分解因数，新定义的理解和应用，掌握分解因数的方法是解本题的

关键.

①将2分解因数，进而找出2的两个因数即可得出结论；

②将24分解因数，进而找出24的两个因数即可得出结论；

③根据题意找出〃的符合题意的分解即可得出结论；；

④利用“相乘的这两个正整数之差的绝对值最小”举出反例，进而确定此说法错误即可.

【详解】解：002=1x2,.­./(2)=|,此说法正确；

②24可以分解成1x24,2x12,3x8或4x6,因为24-1>12-2>8-3>6-4,所以4x6是24的符合题意的分解,

所以/1(24)二:，故错误；

③・•・九是一个完全平方数，

设人=x2(x>0),

••・%XX是〃的符合题意的分解，则/Xn)=l,此说法正确；

④若九是一个完全立方数，即〃=Q3(Q是正整数)，•••a是正整数，如64=43=8x8,/(641=-则

88

=：不一定成立，此说法错误.

综上所述，有两个正确，

故答案为：B.

4.(24-25九年级下•全国竞赛)十算:(1—/)X(1-城)X…x(1—.二)=

【答案】翳

【分析】本题考查了利用平方差分式分解因式，乘法运算律，解题关键是掌握平方差公式.

先用平方差公式将每个因式拆成2个分数的积，再利用乘法交换律与结合律求解..

【详解】解：(1一表)x(1—2)x...x(l-白)

=(1+DX(1-5)X(1+§)X(1-§)X-X(1+2^5)X(1-2^5)

314220262024

=-X—X—X—XX-----X-----

223320252025

/342026\/I22024\

=(2x§x…x2025)*Gx§x…x2025j

=2026x^_=10135

220252025

故答案为：翳•

2

5.(2024八年级•全国•竞赛)已知多项式M+7ab+kb-5a+43b-24分解因式后能够变成两个含有a、b

的一次因式的乘积，则实数k的值为.

【答案】-18

【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式，二元一次方程组的求解，根据因式分解结合多项式乘

以多项式可得小+几=7①，mn=k@,3n-8m=430,利用加减消元法求解二元一次方程组得到小,

〃的值，即可求出最后结果.

【详解】解：a?+7。匕+kb?—5Q+43b—24可分解为(Q十bm+3)(Q+nb-8),

•••(a+bm+3)(a+nb-8)

=G24-mab+3a+nab+mnb2+371b-8a-8mb-24

=G?+(m+n)ab+mnb2—5a+(3n—8?n)b—24»

va2+7ab+kb2-5Q+43b-24,

•••zn+n=7①，mn=k(2),3n-87n=43③,

③-3x①得：-8m-3m=43-3x7,解得：m=-2,

将n=-2代入①得：n=9,

k=mn=-18,

故答案为:-18.

6.(2024八年级•全国•竞赛)已知a?+/=2,/+y?=1003,则多项式(ax+by)2+(以一的值

为•

【答案】2006

【分析】本题考查了整体代入求多项式的值，整式的混合运算，分组法因式分解等知识.先将("+")2+

(bx-的尸进行计算得到Q2%2+b2x2+b2y2+02y2,再利用分组因式分解得到+炉)(%2+丫2),整体代

入即可求解.

［详解］解：(ax+by)2+(bx-ay)2

=a2%2+b2y2+2abxy+b2x2+a2y2—2abxy

=G2X2+b2x2+b2y2+a2y2

=/(Q?+b2)4-y2(a2+b2)

=(a2+b2)(x2+y2)

=2x1003

=2006.

7.(2024八年级•全国•竞赛)已知等式(％+。)(％+匕)+«%-7)=(%-3)(%+1)对一切3都成立，a、b、

c为整数.且a+b>0.则|。