重难点突破04 双变量与多变量问题（七大题型）原卷版-2025年高考数学一轮复习

重难点突破04双变量与多变量问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................2

题型一：双变量单调问题........................................................................2

题型二：双变量不等式:转化为单变量问题.........................................................3

题型三：双变量不等式:极值和差商积问题.........................................................5

题型四：双变量不等式:中点型....................................................................6

题型五：双变量不等式:剪刀模型.................................................................7

题型六：双变量不等式:主元法....................................................................8

题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换......................................................10

03过关测试....................................................................11

亡法牯自与.柒年

//\\

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

㈤2

力题型归纳与总结\\

题型一：双变量单调问题

【典例1-1】(2024•河北石家庄•模拟预测)已知函数〃x)=[尤2一(a+1卜+斗巴aeR.

⑴讨论函数的单调性；

(2)若a=-l,对任意占,马«0,笆)，当&>赴时，不等式V(占)-/(无2)]<m(e物-e力恒成立，求实数相

的取值范围.

【典例1-2】已知函数/(x)=(a+l)ln尤+a/+i.

⑴当。=2时，求曲线y=/(x)在。"(功处的切线方程；

⑵设aW—2,证明：对任意X],x2G(0,+°O),|/(XI)-/(X2)|>4|XI-X2|.

【变式1-1】已知函数f(x)=(a+l)lnx+ax2+1.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)设。<一1,如果对任意占巧e(0,+°o),|/(^)-/(%2)|>4|^-%2|,求证：a<-2.

【变式1-2］（2024•安徽•三模）设aeR,函数f（x）=aln（—x）+（a+l））+l.

（I）讨论函数无）在定义域上的单调性；

（II）若函数“X）的图象在点（TJ（-l））处的切线与直线8x+y-2=0平行，且对任意占,9«,,0）,

%片马，不等式〃士）一〃々）>一恒成立,求实数m的取值范围.

%1-X2

【变式1-3］已知函数3（x）=2x+l-xlnx.

⑴若函数/（尤）在点A处的切线/与直线x-y=0平行，求/的方程；

⑵判断命题“对'（x）<15对任意x>0恒成立”的真假，并说明理由；

⑶若对任意%，尤26（。，包）都有‘（*）—"♦）>m（Xl+%）恒成立，求实数m的取值范围.

777I

【变式1-4］（2024•全国•模拟预测）已知函数/（x）=logaX+-,meR,。〉0且awl.

（1）当a=2时，讨论"%）的单调性；

（2）当a=e时，若对任意的%>%>。，不等式尤"二）-x"（%）<g恒成立,求实数m的取值范围.

石-x22

题型二：双变量不等式:转化为单变量问题

【典例2-1】设函数/（%）=lnjr+%2-6zr（awR）.

⑴当a=3时，求函数的单调区间；

⑵若函数〃x)有两个极值点外,三,且求/&)-/5)的最小值.

【典例2-2】(2024•高三•天津宁河•期末)已知函数〃x)=lnx+畀，aeR

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在(1J⑴)处的切线方程；

(2)求〃x)的单调区间；

⑶设石,工2(°<不<々)是函数g(x)=〃x)-依的两个极值点，证明：g(^)-g(A：2)<|-ln<2.

【变式2-1】已知函数〃x)=e'-尤2—S+1)•尤+1,其中自然常数e*2.71828.

⑴若x=0是函数的极值点，求实数”的值；

(2)当a>0时，设函数/(%)的两个极值点为可,电，且求证：-eX1<4a+4.

【变式2-2](2024•河南商丘•模拟预测)已知函数/'(x)的定义域为(0,+8),其导函数

2

=2xd---2a(aeR)J⑴=1-2〃.

⑴求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线/的方程，并判断/是否经过一个定点；

⑵若马,吃,满足0<玉<3,且/'(%)=/'(%)=0,求2〃不)—"马)的取值范围.

【变式2-3](2024•安徽合肥•模拟预测)己知函数/(x)=a(l-21nx)+4x6(aeR).

(1)讨论f(x)的单调性；

44

⑵若七，马(芯中马)为函数8。)=履2+1一In%的两个零点，求证：(X1x2)>12e.

【变式2.4】已知函数/(%)=兄11¥-加+%,a^R.若有两个零点孙%,且42>2%，证明:

8

为“2〉~~2.

题型三：双变量不等式:极值和差商积问题

【典例3-1】已知函数/(力=(尤?+mx+〃)e”.

⑴若加=〃=0,求的单调区间；

(2)若m=a+b,n=ab,且/(X)有两个极值点，分别为〜和求的最大值.

【典例3-2】(2024•全国•模拟预测)设函数/(x)=lnx-方(awR).

⑴若a=3,求函数的最值；

(2)若函数g(x)=0'(x)-x+a有两个不同的极值点，记作石,三，且不<%2，求证：1叫+21IU：2>3.

【变式3-1](2024•四川德阳•二模)已知函数/(x)=lnx+尤2_2flx,aeR,

(1)当a>0时，讨论“X)的单调性；

(2)若函数/⑺有两个极值点%,<々)，求2〃不)-/(%2)的最小直

【变式3-2](2024•广东佛山•二模)已知/(无)=一：/+4^-次一5.

⑴当。=3时，求的单调区间；

(2)若/(X)有两个极值点毛，了2，证明：f(Xl)+f(Xl)+Xl+X2<0.

题型四：双变量不等式:中点型

【典例4-1]已知函数/(x)=lnx-；(u2+(a-

(1)求函数/(x)的单调区间；

⑵记函数“X)的图象为曲线C.设点A&,yJ,网程力)是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点

〃(知九)，使得:①毛=幺产;②曲线C在点M处的切线平行于直线A8,则称函数尸(x)存在“中值相依切

线”.试问:函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

【典例4-2】已知函数〃x)=ln(ax+l)+¥-x2-ax(aeR),(p[x)=\nx-cj3-bx.

(1)若y=/(x)在[2,y)上为增函数，求实数a的取值范围.

(2)当时，设g(x)=ln[x2(办+1)]+2'-3办-/(同(工>0)的两个极值点为工1，々(工1<X2)，且

以为尸必马)，求'=(%一々"%；%]的最小值.

【变式4-1]已知函数[(x)=lnx+x2.

⑴若函数g(x)=/(x)-依在其定义域内为增函数，求实数。的取值范围;

⑵设尸(x)=2/(x)-3--融化eR),若函数/(x)存在两个零点机,“(0<"?<〃)，且2尤0=〃[+〃.问：函数

P（x）在点60产（%））处的切线能否平行于X轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.

【变式4-2］（2024•广东•二模）已知无）=Jot?+（1-2。）尤-21nx,a>0.

⑴求的单调区间；

⑵函数〃x）的图象上是否存在两点A（&M）,3（X2，%）（其中无产毛），使得直线A3与函数〃x）的图象在

无。=土产处的切线平行？若存在，请求出直线A5;若不存在，请说明理由•

题型五：双变量不等式:剪刀模型

【典例5-1】已知函数/（x）=lnx-f+1.

（1）求曲线y=f（x）在点处的切线方程.

（2）若方程/'（x）=6有两个实数根花，巧，且用<赴，证明：尤2-%<1-2"

【典例5-2】已知函数〃元）=炉+匕有两个零点冷务（为<々）.

（1）求实数a的取值范围；

⑵求证：/（%,）>/^；

（3）^<iiE：%2—再<J。2_4<%；—x；.

【变式5-1］（2024•重庆•模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛

顿法.具体做法如下：如图，设厂是/(x)=0的根，首先选取％作为厂的初始近似值，若Ax)在点

(%,/(/))处的切线与彳轴相交于点(再，。)，称不是r的一次近似值；用的替代与重复上面的过程，得到

£?，称巧是厂的二次近似值；一直重复，可得到一列数：升,网,马，-•在一定精确度下，用四舍五

入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数AM的一个零点人

⑴若/。)=^+3/+%-3,当％=0时，求方程〃x)=0的二次近似值(保留到小数点后两位)；

(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数g(x)=e'-3在点

(2,g(2))处的切线，并证明：出3<1+/；

e-

⑶若/7(x)=x(l-ln元)，若关于x的方程/z(x)=a的两个根分别为%,尤2(再<苫2),证明：x2-x1>e-ea.

题型六：双变量不等式:主元法

【典例6-1](2024•高三•北京•开学考试)已知/(力=(》+1)/,左70.

⑴若％=1,求/⑺在(OJ(O))处的切线方程;

⑵设g(x)=r(x),求g(x)的单调区间;

(3)求证：当左>0时，Vm,ne(0,+oo),/(m+/7)+l>/(m)+/(??).

【典例6-2](2024•江苏盐城•高三盐城中学校联考开学考试)已知函数"x)=xlnx.

⑴求函数“X)的单调区间和最小值；

(2)当6>0时，求证：修2(工了(其中e为自然对数的底数);

(3)若a>0,£>>0求证：/(o)+(o+i>)ln2>/(o+&)-y(Z?).

【变式6-1】已知函数〃x)=xlnx.

⑴求曲线y=f(x)在点(e,7(e))处的切线方程;

(2)求函数/(x)的最小值，并证明：当b>0时，站》(其中e为自然对数的底数)

【变式6-2]已知函数〃x)“[(xTe,-6](其中e为自然对数的底数).

(1)若％=1,求函数〃x)的单调区间；

(2)若1M左M2,求证：Vxe[O,%],/(x)<x2.

【变式6-3]设函数f(x)=xlnx.

(1)求F(x)的极值;

⑵设g(x)=/(x+l),若对任意的X..0,都有g(x)..mx成立，求实数"?的取值范围;

(3)若0<a<6,证明：0</(°)+/(6)-2/(胃)<(6-a)ln2.

题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换

【典例7-1】已知函数/'(无)=ox+(aT)lnx+LaeR.

尤

(1)讨论函数/⑴的单调性；

⑵若关于x的方程对'(尤)=日，—-11了+1有两个不相等的实数根为,马,

(i)求实数。的取值范围；

、4丁e1e也2a

(ii)求证:---1--->----.

x2X]XxX2

【典例7-2】已知函数/(力=茂"一33(°€2有三个极值点不，了2，w(xi<x2<x3).

(1)求实数a的取值范围；

(2)若演22%,求实数。的最大值.

【变式7-1](2024•安徽阜阳•一模)已知函数/(无)=3血-依.

(1)讨论了⑴的单调性.

⑵已知看,三是函数/(X)的两个零点(为<々).

(i)求实数a的取值范围.

(ii)2e10,£|,尸(x)是/(x)的导函数.证明：广[加+(1-幻相<0.

【变式7-2](2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=ax-T，a>0.

⑴若〃x)存在零点，求。的取值范围；

(2)若/，4为/(x)的零点，且石<X2，证明：。(七+%2)2>2.

0

〃过关测试N

1.(2024•四川南充•二模)己知函数〃x)=ae*—x3(aeR)有三个极值点%,%,工3(%<£).

(1)求实数。的取值范围；

⑵若鼻22%，求实数。的取值范围.

2.(2024•四川•一模)已知函数/(力=依2+》一比彳-々.

⑴若。=1,求〃x)的最小值；

2

(2)若〃x)有2个零点%,三，证明：a(xl+x2)+(x1+x2)>2.

3.已知f\x)是函数/(x)=2meA-%2(m>0)的导函数.

⑴求函数f(x)的单调区间；

⑵设和三为函数/'(X)的两个零点且々>玉，证明：%1+x2>2.

4.已知函数/(x)=a(x-lnx)+x2-2x,其中aeR.

⑴当a=—2e时，求/(x)的极值；

(2)当a>0,占>%>0时，证明：卜</(尤2)_尸「广卜.

5.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(©=『匚有3个极值点芯,々，W，其中e是自然对数的底数.

1+X

(1)求实数a的取值范围；

⑵求证：玉+%+%3>—2.

6.已知函数/(x)=21nx+Q%2(〃£R).

⑴试判断函数八%)的单调性；

(2)已知函数g(x)=/(%)-2%,若g(x)有且只有两个极值点玉,马，且不</，证明:

g(玉)-g(无2)<(2。一。(国一马).

2

7.(2024•福建龙岩•二模)已知函数/(犬)=1g，g(x)=x——.

%

(1)若％满足=,证明：曲线>=/(元)在点4伍,抽)处的切线也是曲线y=e*的切线;

(2)若"%)=/(%)-g(%),且尸'(不)=户'(九2)(%w%2)，证明：尸(石)+尸(々)<41112—7.

8.(2024•新疆•三模)已知函数/a)=ox2+(Q+i)x]nA：-l,g(%)=了")♦

x

⑴讨论g(x)的单调性;

e2

(2)若方程/(%)=/3+*111%-1有两个不相等的实根玉,当,求实数。的取值范围，并证明eW+苞>—.

9.已知函数/（x）=-lnx+；加+（l-a）x+2.

⑴当0＜x＜l时,试比较〃l+x）与/（I-x）的大小；

（2）若斜率为k的直线与y=/（X）的图象交于不同两点4（占%）,B（x2,y2）,线段AB的中点的横坐标为瓦,

证明：f\x0）＞k.

10.已知函数"x）=gx2-2or+ln尤（a为常数）.

（1）若函数/（x）是增函数，求。的取值范围；

⑵设函数/⑺的两个极值点分别为毛，巧（不＜2），求/&）-/伍）的范围•

k

11.设函数〃无）=ln尤+—,keR.

x

（1）若曲线y=/（x）在点（eJ（e））处的切线与直线＞-3=0平行，求的极小值；

（2）若对任意。＜尤2＜为，/（石）-/（%2）＜西一々恒成立，求实数％的取值范围.

12.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（xblog。（尤+1）+备-：，meR.

（1）当。=2时，讨论/（元）的单调性；

（2）当a=e时，若对任意的%＞%＞。，不等式