2025年指数对数题目及答案

2025年指数对数题目及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.若\(a^{2}=9\)，\(a\gt0\)，则\(a\)的值为（）A.-3B.3C.±3D.92.计算\(2^{3}\)的结果是（）A.5B.6C.8D.93.对数\(\log_{2}8\)的值为（）A.2B.3C.4D.84.若\(\log_{a}4=2\)，则\(a\)的值为（）A.2B.4C.16D.±25.\(e^{\ln5}\)的值是（）A.1B.5C.\(\ln5\)D.\(e^{5}\)6.函数\(y=2^{x}\)的定义域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\(R\)D.\((-\infty,0)\)7.函数\(y=\log_{3}x\)的图象过点（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((3,0)\)D.\((0,3)\)8.化简\(a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{3}}\)的结果是（）A.\(a^{\frac{1}{6}}\)B.\(a^{\frac{5}{6}}\)C.\(a^{\frac{2}{3}}\)D.\(a\)9.已知\(\log_{5}x=1\)，则\(x\)的值为（）A.0B.1C.5D.2510.\(10^{\lg7}\)等于（）A.1B.7C.\(\lg7\)D.10多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是指数函数（）A.\(y=3^{x}\)B.\(y=x^{3}\)C.\(y=2^{-x}\)D.\(y=10^{x}\)2.对数\(\log_{a}b\)中，\(a\)、\(b\)的取值范围正确的是（）A.\(a\gt0\)B.\(a\neq1\)C.\(b\gt0\)D.\(b\neq1\)3.下列等式正确的是（）A.\(a^{m}a^{n}=a^{m+n}\)B.\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)C.\((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)D.\(a^{m}\diva^{n}=a^{m-n}(a\neq0)\)4.以下关于指数函数\(y=a^{x}(a\gt0,a\neq1)\)性质正确的是（）A.当\(a\gt1\)时，函数在\(R\)上单调递增B.当\(0\lta\lt1\)时，函数在\(R\)上单调递减C.函数图象恒过点\((0,1)\)D.函数的值域是\((0,+\infty)\)5.关于对数函数\(y=\log_{a}x(a\gt0,a\neq1)\)性质正确的是（）A.当\(a\gt1\)时，函数在\((0,+\infty)\)上单调递增B.当\(0\lta\lt1\)时，函数在\((0,+\infty)\)上单调递减C.函数图象恒过点\((1,0)\)D.函数的定义域是\((0,+\infty)\)6.若\(a^{\frac{1}{2}}=3\)，则（）A.\(a=9\)B.\(a^{2}=81\)C.\(\sqrt{a}=3\)D.\(a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{9}\)7.下列计算正确的是（）A.\(\log_{2}4=2\)B.\(\log_{3}9=2\)C.\(\log_{5}25=2\)D.\(\log_{7}49=2\)8.已知\(y=\log_{a}(x+1)\)，则（）A.函数定义域为\((-1,+\infty)\)B.当\(a\gt1\)时，函数在\((-1,+\infty)\)上单调递增C.当\(0\lta\lt1\)时，函数在\((-1,+\infty)\)上单调递减D.函数图象恒过点\((0,0)\)9.指数函数\(y=2^{x}\)与\(y=(\frac{1}{2})^{x}\)的关系是（）A.图象关于\(y\)轴对称B.\(y=(\frac{1}{2})^{x}=2^{-x}\)C.单调性相反D.值域相同10.若\(\log_{a}M=\log_{a}N\)，则（）A.\(M=N\)（\(a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0\)）B.\(M\)、\(N\)可能为负数C.当\(a=1\)时该等式也成立D.若\(a\gt1\)，\(M\)、\(N\)都大于\(1\)判断题（每题2分，共10题）1.\(2^{3}=3^{2}\)。（）2.\(\log_{2}4=\log_{4}2\)。（）3.指数函数\(y=a^{x}(a\gt0,a\neq1)\)的图象一定在\(x\)轴上方。（）4.对数函数\(y=\log_{a}x(a\gt0,a\neq1)\)的图象一定在\(y\)轴右侧。（）5.\(a^{0}=1\)对任意实数\(a\)都成立。（）6.若\(\log_{a}x\gt0\)，则\(x\gt1\)（\(a\gt0,a\neq1\)）。（）7.函数\(y=2^{x+1}\)是指数函数。（）8.\(\log_{a}(M+N)=\log_{a}M+\log_{a}N\)（\(a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0\)）。（）9.\(e\)是一个无理数，\(e^{\lnx}=x(x\gt0)\)。（）10.指数函数\(y=a^{x}\)与对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0,a\neq1\)）互为反函数。（）简答题（每题5分，共4题）1.计算\(\log_{2}16\)的值。-答案：因为\(2^{4}=16\)，根据对数定义\(\log_{2}16=4\)。2.化简\((a^{2})^{3}\diva^{4}\)。-答案：先算幂的乘方，\((a^{2})^{3}=a^{6}\)，则\((a^{2})^{3}\diva^{4}=a^{6}\diva^{4}\)，再根据同底数幂除法\(a^{6}\diva^{4}=a^{6-4}=a^{2}\)。3.求函数\(y=\log_{3}(x-1)\)的定义域。-答案：对数函数真数大于\(0\)，即\(x-1\gt0\)，解得\(x\gt1\)，所以定义域为\((1,+\infty)\)。4.已知\(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3\)，求\(a+a^{-1}\)的值。-答案：对\(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3\)两边平方得\((a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^2=9\)，即\(a+2+a^{-1}=9\)，所以\(a+a^{-1}=7\)。讨论题（每题5分，共4题）1.指数函数\(y=a^{x}\)（\(a\gt0,a\neq1\)）在实际生活中有哪些应用？-答案：在人口增长模型、放射性物质衰变、银行复利计算等方面有应用。人口增长可近似用指数函数描述数量变化；放射性物质随时间减少符合指数衰减；银行复利计算中本利和与时间关系是指数形式。2.对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0,a\neq1\)）与指数函数\(y=a^{x}\)的图象有什么关系？-答案：它们互为反函数，图象关于直线\(y=x\)对称。指数函数的定义域、值域分别是对数函数的值域、定义域。两者单调性一致，\(a\gt1\)都递增，\(0\lta\lt1\)都递减。3.如何比较两个指数式或对数式的大小？-答案：比较指数式，同底数时，根据指数函数单调性判断；不同底数时，可找中间值如\(1\)。比较对数式，同底数利用对数函数单调性；不同底数也找中间值如\(0\)，或利用换底公式转化。4.为什么指数函数\(y=a^{x}\)中\(a\gt0\)且\(a\neq1\)？-答案：若\(a=0\)，当\(x\leq0\)时无意义；若\(a\lt0\)，如\(a=-2\)，\(x=\frac{1}{2}\)时\((-2)^{\frac{1}{2}}\)无实数解。若\(a=1\)，\(y=1^{x}=1\)是常函数，失去研究意义，所以\(a\gt0\)且\(a\neq1\)。答案单项选择题1.B2.C