2025年大学线性代数试卷及答案

2025年大学线性代数试卷及答案

一、单项选择题1.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert-3A\vert\)等于（）A.\((-3)^n2\)B.\(-3\times2^n\)C.\((-3)\times2\)D.\((-3)^n\times2^n\)答案：A2.若\(A\)是\(3\)阶方阵，\(r(A)=2\)，则（）A.\(A\)可逆B.\(\vertA\vert=0\)C.\(A\)的列向量组线性无关D.齐次线性方程组\(Ax=0\)只有零解答案：B3.设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是三维向量，则下列向量组中线性无关的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)B.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2,\alpha_3\)C.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)D.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)答案：C4.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值是（）A.只能是\(0\)B.只能是\(1\)C.是\(0\)或\(1\)D.以上都不对答案：C5.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)为（）A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}\)答案：A6.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=O\)，则必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\((A-B)^2=A^2+B^2\)答案：B7.设\(\xi_1,\xi_2\)是齐次线性方程组\(Ax=0\)的两个不同解，则（）也是\(Ax=0\)的解。A.\(\xi_1+\xi_2\)B.\(\xi_1-\xi_2\)C.\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)（\(k_1,k_2\)为任意常数）D.以上都是答案：D8.设\(A\)为\(n\)阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（）A.\(\vertA\vert=1\)B.\(A^TA=E\)C.\(A^{-1}=A^T\)D.\(A\)的列向量组是标准正交向量组答案：A9.已知\(n\)阶方阵\(A\)与\(B\)相似，则下列说法错误的是（）A.\(A\)与\(B\)有相同的特征值B.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量C.\(r(A)=r(B)\)D.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)答案：B10.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2\)的矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}\)答案：A二、多项选择题1.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，下列命题正确的是（）A.若\(A\)，\(B\)都可逆，则\(A+B\)可逆B.若\(A\)，\(B\)都可逆，则\(AB\)可逆C.若\(AB\)可逆，则\(A\)，\(B\)都可逆D.若\(A+B\)可逆，则\(A\)，\(B\)都可逆答案：BC2.下列向量组中，线性相关的有（）A.\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)B.\(\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(2,4,6)\)C.\(\alpha_1=(1,1,0),\alpha_2=(0,1,1),\alpha_3=(1,0,1)\)D.\(\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(2,3,4),\alpha_3=(3,4,5)\)答案：BD3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.\(\lambda\)是\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)的根答案：ABCD4.设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，线性方程组\(Ax=b\)有解的充分必要条件是（）A.\(r(A)=r(A|b)\)B.\(A\)的列向量组能线性表示\(b\)C.\(A\)的行向量组能线性表示\(b\)D.齐次线性方程组\(Ax=0\)有非零解答案：AB5.下列关于正交矩阵的性质正确的是（）A.正交矩阵的行列式为\(1\)或\(-1\)B.正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵C.两个正交矩阵的乘积是正交矩阵D.正交矩阵的转置矩阵是正交矩阵答案：ABCD6.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵且\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的秩B.\(A\)与\(B\)有相同的迹C.\(A\)与\(B\)有相同的特征多项式D.\(A\)与\(B\)合同答案：ABC7.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A\)为对称矩阵）正定的充分必要条件是（）A.\(A\)的特征值全大于\(0\)B.\(A\)的顺序主子式全大于\(0\)C.对任意非零向量\(x\)，\(x^TAx\gt0\)D.\(A\)合同于单位矩阵答案：ABCD8.设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)是\(n\)维向量组，\(\beta\)是\(n\)维向量，下列说法正确的是（）A.若\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表示，则\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta)\)B.若\(\beta\)不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表示，则\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\ltr(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta)\)C.若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，且\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表示，则表示法唯一D.若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则\(\beta\)一定可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表示答案：ABC9.设\(A\)为\(n\)阶方阵，下列关于\(A\)的秩的说法正确的是（）A.\(r(A)\leq\min\{m,n\}\)B.若\(A\)可逆，则\(r(A)=n\)C.若\(A\)为零矩阵，则\(r(A)=0\)D.\(r(A)\)等于\(A\)的非零子式的最高阶数答案：ABCD10.已知矩阵\(A\)与对角矩阵\(\Lambda\)相似，则（）A.\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量B.\(A\)的每个特征值的几何重数等于代数重数C.存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=\Lambda\)D.\(A\)的特征多项式可分解为一次因式的乘积答案：ABCD三、判断题1.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=BA\)，则\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（√）2.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则其中必有一个向量可由其余向量线性表示。（√）3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的列向量组线性相关。（√）4.齐次线性方程组\(Ax=0\)有非零解的充分必要条件是\(A\)的列向量组线性相关。（√）5.若\(A\)与\(B\)相似，则\(A\)与\(B\)有相同的特征向量。（×）6.正交矩阵的行列式一定为\(1\)。（×）7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2\)是正定二次型。（√）8.若\(A\)为\(n\)阶方阵，\(r(A)=n-1\)，则\(r(A^)=1\)。（√）9.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)可逆，\(AB=O\)，则\(B=O\)。（√）10.向量组\(\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(2,3,4)\)线性无关。（×）四、简答题1.简述矩阵可逆的充分必要条件。矩阵\(A\)可逆的充分必要条件有多个。一是\(\vertA\vert\neq0\)，即矩阵\(A\)的行列式不为零；二是存在矩阵\(B\)，使得\(AB=BA=E\)，这里\(E\)为单位矩阵；三是\(r(A)=n\)，\(n\)为矩阵\(A\)的阶数；四是\(A\)可以表示为若干个初等矩阵的乘积；五是\(A\)的列（行）向量组线性无关。2.说明线性相关和线性无关的定义。对于向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，如果存在一组不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，则称向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关。若只有当\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)时，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)才成立，那么向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关。3.简述矩阵的秩的定义。矩阵\(A\)的秩\(r(A)\)定义为\(A\)中不为零的子式的最高阶数。即若存在\(A\)的一个\(r\)阶子式不为零，而所有\(r+1\)阶子式（如果存在）全为零，则矩阵\(A\)的秩为\(r\)。它反映了矩阵所包含的有效信息的多少，也与矩阵的行向量组和列向量组的线性相关性密切相关。4.简述二次型正定的判定方法。判定二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A\)为对称矩阵）正定有多种方法。一是看\(A\)的特征值，若\(A\)的所有特征值全大于\(0\)，则二次型正定；二是检查\(A\)的顺序主子式，若\(A\)的各阶顺序主子式全大于\(0\)，二次型正定；三是对任意非零向量\(x\)，若\(x^TAx\gt0\)，则二次型正定；还可看\(A\)是否合同于单位矩阵，若合同则正定。五、讨论题1.讨论线性方程组解的结构。线性方程组分为齐次和非齐次。齐次线性方程组\(Ax=0\)，若\(r(A)=n\)（\(n\)为未知数个数），则只有零解；若\(r(A)\ltn\)，则有非零解，其通解是基础解系的线性组合，基础解系所含向量个数为\(n-r(A)\)。非齐次线性方程组\(Ax=b\)，有解的充要条件是\(r(A)=r(A|b)\)。有解时，其通解等于对应的齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组