一元二次方程试卷及答案

一元二次方程试卷及答案

一、单项选择题1.下列方程中是一元二次方程的是（）A.\(x^{2}+2x-3\)B.\(x^{2}+\frac{1}{x}=0\)C.\(ax^{2}+bx+c=0\)D.\(x^{2}=1\)【答案：D】2.一元二次方程\(2x^{2}-3x+1=0\)中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）A.\(2\)，\(-3\)，\(1\)B.\(2\)，\(3\)，\(1\)C.\(2\)，\(3\)，\(-1\)D.\(-2\)，\(3\)，\(1\)【答案：A】3.方程\((x-3)^{2}=4\)的解是（）A.\(x=5\)B.\(x=1\)C.\(x=5\)或\(x=1\)D.\(x=-5\)或\(x=-1\)【答案：C】4.用配方法解方程\(x^{2}-4x-5=0\)时，原方程应变形为（）A.\((x+2)^{2}=9\)B.\((x+4)^{2}=21\)C.\((x-2)^{2}=9\)D.\((x-4)^{2}=21\)【答案：C】5.一元二次方程\(x^{2}-2x-1=0\)的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根【答案：B】6.若关于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}+kx+4=0\)有两个相等的实数根，则\(k\)的值为（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(\pm4\)D.\(0\)【答案：C】7.已知一元二次方程\(x^{2}-5x+6=0\)的两根分别为\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1+x_2\)的值为（）A.\(5\)B.\(-5\)C.\(6\)D.\(-6\)【答案：A】8.若\(x=1\)是一元二次方程\(x^{2}+ax+2b=0\)的解，则\(2a+4b\)的值为（）A.\(-2\)B.\(-3\)C.\(-4\)D.\(-6\)【答案：A】9.一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程\(x^{2}-14x+48=0\)的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A.\(6\)B.\(8\)C.\(10\)D.\(14\)【答案：C】10.某厂一月份生产产品\(50\)台，计划二、三月份共生产产品\(120\)台，设二、三月份平均每月增长率为\(x\)，根据题意，可列出方程为（）A.\(50(1+x)^{2}=120\)B.\(50(1+x)+50(1+x)^{2}=120\)C.\(50+50(1+x)+50(1+x)^{2}=120\)D.\(50(1+x)^{3}=120\)【答案：B】二、多项选择题1.下列方程中，一定是一元二次方程的有（）A.\(x^{2}-2x-1=0\)B.\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）C.\((x-1)(x+2)=x^{2}-1\)D.\(x^{2}+\frac{1}{x}=0\)【答案：AB】2.用公式法解一元二次方程\(3x^{2}-2x-1=0\)时，需要先确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值，则下列说法正确的是（）A.\(a=3\)B.\(b=-2\)C.\(c=-1\)D.\(b=2\)【答案：ABC】3.对于一元二次方程\(x^{2}-3x+2=0\)，下列说法正确的是（）A.方程的两根为\(x_1=1\)，\(x_2=2\)B.方程的两根之和为\(3\)C.方程的两根之积为\(2\)D.方程的判别式\(\Delta=1\)【答案：ABCD】4.下列一元二次方程有实数根的是（）A.\(x^{2}+2x+1=0\)B.\(x^{2}-x+1=0\)C.\(x^{2}-2x-1=0\)D.\(x^{2}+x+2=0\)【答案：AC】5.若关于\(x\)的一元二次方程\(mx^{2}-2x+1=0\)有两个不相等的实数根，则\(m\)的取值范围是（）A.\(m\lt1\)B.\(m\neq0\)C.\(m\lt1\)且\(m\neq0\)D.\(m\gt1\)【答案：BC】6.一元二次方程\(x^{2}-5x+6=0\)与\(x^{2}-3x+2=0\)的公共根是（）A.\(x=1\)B.\(x=2\)C.\(x=3\)D.\(x=4\)【答案：B】7.用配方法解方程\(x^{2}+6x+4=0\)，配方正确的是（）A.\((x+3)^{2}=5\)B.\((x-3)^{2}=5\)C.\((x+3)^{2}=-4\)D.\((x+3)^{2}=9-4\)【答案：AD】8.已知一元二次方程\(x^{2}+bx+c=0\)的两根分别为\(x_1=1\)，\(x_2=2\)，则\(b\)、\(c\)的值分别为（）A.\(b=-3\)B.\(b=3\)C.\(c=2\)D.\(c=-2\)【答案：AC】9.某超市一月份的营业额为\(36\)万元，三月份的营业额为\(48\)万元，设每月的平均增长率为\(x\)，则可列方程为（）A.\(36(1+x)^{2}=48\)B.\(36(1+x)+36(1+x)^{2}=48\)C.\(36(1+2x)=48\)D.\(36[(1+x)+(1+x)^{2}]=48\)【答案：A】10.若一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的一个根为\(x=-1\)，则下列等式成立的是（）A.\(a-b+c=0\)B.\(a+b+c=0\)C.\(b=a+c\)D.\(b=-a-c\)【答案：AD】三、判断题1.方程\(x^{2}-3x=0\)是一元二次方程。（√）2.一元二次方程\(2x^{2}-3x+4=0\)有两个不相等的实数根。（×）3.方程\((x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\)是一元二次方程。（×）4.用配方法解方程\(x^{2}-4x+1=0\)时，配方后得到\((x-2)^{2}=3\)。（√）5.若一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)。（√）6.方程\(x^{2}=x\)的解是\(x=1\)。（×）7.一元二次方程\(x^{2}-6x+9=0\)有两个相等的实数根。（√）8.若关于\(x\)的方程\(x^{2}+mx+1=0\)有实数根，则\(m\)的取值范围是\(m\geq2\)或\(m\leq-2\)。（√）9.某商品原价为\(a\)元，连续两次降价\(10\%\)后价格为\(0.81a\)元。（√）10.方程\(x^{2}-3x+4=0\)与方程\(2x^{2}-6x+8=0\)的解是一样的。（√）四、简答题1.用因式分解法解方程\(x^{2}-5x+6=0\)。将方程左边因式分解得\((x-2)(x-3)=0\)，则\(x-2=0\)或\(x-3=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。2.已知一元二次方程\(x^{2}-4x+k=0\)有两个不相等的实数根，求\(k\)的取值范围。对于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），判别式\(\Delta=b^{2}-4ac\)。此方程中\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=k\)，因为方程有两个不相等实数根，所以\(\Delta\gt0\)，即\((-4)^{2}-4k\gt0\)，\(16-4k\gt0\)，解得\(k\lt4\)。3.用配方法解方程\(2x^{2}-4x-1=0\)。先将方程两边同时除以\(2\)得\(x^{2}-2x-\frac{1}{2}=0\)，移项得\(x^{2}-2x=\frac{1}{2}\)，配方在两边加上\(1\)得\(x^{2}-2x+1=\frac{1}{2}+1\)，即\((x-1)^{2}=\frac{3}{2}\)，开方得\(x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\)，解得\(x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}\)，\(x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}\)。4.已知关于\(x\)的一元二次方程\((m-1)x^{2}+2x-1=0\)有实数根，求\(m\)的取值范围。当\(m-1=0\)，即\(m=1\)时，方程化为\(2x-1=0\)，是一元一次方程，有实数根；当\(m-1\neq0\)时，方程\((m-1)x^{2}+2x-1=0\)是一元二次方程，判别式\(\Delta=2^{2}-4(m-1)\times(-1)\geq0\)，即\(4+4(m-1)\geq0\)，\(4+4m-4\geq0\)，\(4m\geq0\)，解得\(m\geq0\)且\(m\neq1\)。综上，\(m\)的取值范围是\(m\geq0\)。五、讨论题1.请讨论一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的根的情况与判别式\(\Delta=b^{2}-4ac\)的关系。当\(\Delta\gt0\)时，方程有两个不相等的实数根，这意味着二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)的图象与\(x\)轴有两个不同的交点。当\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实数根，此时二次函数图象与\(x\)轴有且只有一个交点。当\(\Delta\lt0\)时，方程没有实数根，即二次函数图象与\(x\)轴没有交点。判别式\(\Delta\)是判断一元二次方程根的情况的重要依据。2.结合实际生活，举例说明一元二次方程的应用。在实际生活中，比如在建筑工程中，要围一个矩形场地，现有一定长度的围栏。设矩形的一边长为\(x\)，面积为\(S\)，已知围栏总长度，就可以通过建立一元二次方程来求解矩形的边长和面积关系。又如销售问题，某商品原来售价为一定价格，为了增加销量进行降价销售，已知原来销量和降价幅度与总销售额的关系，也能建立一元二次方程来确定合适的降价幅度以达到预期销售额，一元二次方程在这些实际场景中有着重要作用。3.讨论用不同方法解一元二次方程的优缺点。直接开平方法优点是简单直接，对于形如\((x+m)^{2}=n\)（\(n\geq0\)）的方程求解速度快；缺点是适用范围窄。因式分解法优点是计算量相对较小，若能快速因式分解可迅速得出方程的根；但不是所有方程都容易因式分解。配方法优点是适用于所有一元二次方程，且能深刻理解方程的变形过程；缺点是步骤相对繁琐。公式法通用性强，适用于所有一元二次方程，只要记住公式就能求解；但计算过程可能会比较复杂，容易出错。4.若一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的两根