第三节　随机事件的概率与古典概型2026年高三数学第一轮总复习

随机事件的概率与古典概型第三节课程内容要求1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.5.结合实例，会用频率估计概率.CONTENTS目录123基础扎牢——基础不牢·地动山摇考法研透——方向不对·努力白费思维激活——灵活不足·难得高分4课时跟踪检测基础扎牢—基础不牢·地动山摇011.样本点与样本空间(1)样本点：我们把随机试验E的每个可能的_________称为________，一般地，用ω表示样本点.(2)样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间.(3)有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间____________________为有限样本空间.由教材回扣基础基本结果样本点Ω={ω1，ω2，…，ωn}2.事件的关系与运算(1)事件的关系

包含关系相等关系定义一般地，若事件A发生，则事件B_________，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B______符号B___A(或A___B)A___B图示一定发生相等⊇⊆=(2)并事件与交事件

并事件(或和事件)交事件(或积事件)定义一般地，事件A与事件B___________发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)一般地，事件A与事件B_____发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)至少有一个同时符号______(或_____)______(或_____)图示A∪BA+BA∩BAB续表(3)互斥事件和对立事件

互斥事件对立事件定义一般地，如果事件A与事件B__________发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即________，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且________，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为___不能同时A∩B=∅A∩B=∅

符号_______________________________，_________图示A∩B=∅A∪B=ΩA∩B=∅续表3.概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)____0性质2必然事件的概率为___，不可能事件的概率为__，即P(Ω)=__，P(∅)=___性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=__________性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=_________，P(A)=________≥1010P(A)+P(B)1-P(A)1-P(B)性质5如果A⊆B，那么____________性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=___________________P(A)≤P(B)P(A)+P(B)-P(A∩B)续表4.概率与频率(1)随机事件的概率：对随机事件发生____________的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用______表示.(2)频率的稳定性：在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的__________，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)______

概率P(A).可能性大小P(A)概率P(A)估计5.古典概型的计算公式假设样本空间含有n个样本点，事件C包含有m个样本点，则P(C)=___.

(1)频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数.(2)对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.(3)概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=∅，即A，B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.(4)当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).澄清微点·熟记结论一、准确理解概念(判断正误)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(

)(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.(

)(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.(

)(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.(

)(5)两互斥事件的概率和为1.(

)答案：(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)×练小题巩固基础二、练牢基本小题1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(

)A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶√2.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率为

.

答案：0.4

三、练清易错易混1.(混淆互斥事件与对立事件)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为(

)A.①

B.②

C.③

D.④解析：由题意可知，事件③④均不是互斥事件；①②为互斥事件，但②又是对立事件，满足题意只有①，故选A.√

考法研透—方向不对·努力白费02命题视角一随机事件的频率与概率

[典例]

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574

1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.方法技巧1.某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：针对训练赔付金额/元01000200030004000车辆数/辆500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

2.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率.(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)

[典例]

一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求：(1)取出的小球是红球或黑球的概率；命题视角二互斥事件、对立事件的概率

复杂的互斥事件的概率的两种求法方法技巧直接法第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率间接法经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率.针对训练排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G=A∪B∪C，所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)=1-P(G)=0.44.

命题视角三古典概型√

√

求古典概型概率的3步骤方法技巧

√

方法技巧求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解.

针对训练√

2.(2025年1月·八省高考适应性演练)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为

.

3.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s.(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率.

思维激活—灵活不足·难得高分031.食物链亦称“营养链”，是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动，必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系.这种摄食关系，实际上是太阳能从一种生物转到另一种生物的关系，也即物质能量通过食物链的方式流动和转换.如图为某个生态环境中的食物链，若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，则这两种生物恰好构成摄食关系的概率为

(

)数学建模•练抽象思维——古典概型中的创新应用问题

√√

√√√

4.古代人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须安排在前两节、“礼”和“乐”必须分开安排的概率为

.

04课时跟踪检测一、基础练——练手感熟练度1.在下列事件中，随机事件的个数为(

)①如果a，b都是实数，那么a+b=b+a；②从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥.A.2B.3C.4

D.5解析：①⑥是必然事件；③⑤是不可能事件；②④是随机事件.故选A.√2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.3，该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm

的概率为

(

)A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8解析：由题意得，身高超过175

cm的概率为P=1-0.3-0.5=0.2，故选A.√

√

√√√

二、综合练——练思维敏锐度1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(

)A.62% B.56%C.46% D.42%√解析：设事件A为喜欢足球，事件B为喜欢游泳，则由题意可知P(A∪B)=96%，P(A)=60%，P(B)=82%.由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，可得P(A∩B)=46%，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.

√

√

√

√

√√

√√解析：依题意，向量p=(m，n)的所有样本点如表所示：p=(m，n)23681(1，2)(1，3)(1，6)(1，8)2(2，2)(2，3)(2，6)(2，8)3(3，2)(3，3)(3，6)(3，8)4(4，2)(4，3)(4，6)(4，8)

9.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个