第五章　平面向量及其应用、复数2026年高三数学第一轮总复习

59/59第五章平面向量及其应用、复数第一节平面向量的概念及其线性运算课程内容要求1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.4.掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.[由教材回扣基础]1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量,可在平面内自由平移零向量长度为0的向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算叫做向量的加法(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求两个向量的差的运算叫做向量的减法(减去一个向量相当于加上一个向量的相反向量)a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.澄清微点·熟记结论(1)设P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则OP=12(OA+OB)(2)若G是△ABC的重心,D是BC边的中点,则①GA+GB+GC=0;②AG=13(AB+AC③GD=12(GB+GC)=16(AB+AC(3)在四边形ABCD中,若E为AD的中点,F为BC的中点,则AB+DC=2EF.(4)OA=λOB+μOC(λ,μ为实数),若点A,B,C三点共线,则λ+μ=1.(5)解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.()(2)若向量AB与向量CD是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.()(3)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.()答案:(1)×(2)×(3)√二、练牢基本小题1.化简:AB+DA+BD-BC-CA=.

答案:AB2.已知|a|=1,|b|=2,则|3a+2b|的最大值和最小值分别为.

答案:7,13.已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且OA=a,OB=b,则DC=,BC=.(用a,b表示)

答案:b-a-a-b4.点C在线段AB上,且ACCB=52,则AC=

AB,BC=

答案:57-三、练清易错易混1.(忽视零向量)(多选)下列命题中,正确的是()A.向量AB的长度与向量BA的长度相等B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反C.两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同D.零向量与任意数的乘积都为零答案:AC2.(忽视向量相等的条件)若四边形ABCD满足AD∥BC且|AB|=|DC|,则四边形ABCD的形状是.

解析:当|AD|=|BC|时,四边形ABCD是平行四边形;当|AD|≠|BC|时,四边形ABCD是等腰梯形.答案:平行四边形或等腰梯形命题视角一平面向量的基本概念(自主练通)1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是()A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|-λa|≥|a|D.|-λa|≥|λ|a解析:选B对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反;B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.2.(多选)下列命题为真命题的是()A.若a与b为非零向量,且a∥b,则a+b必与a或b平行B.若e为单位向量,且a∥e,则a=|a|eC.两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案:ACD3.如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是()A.AD=BC B.AC=BDC.PE=PF D.EP=PF解析:选D根据相等向量的定义,A中,AD与BC的方向不同,故A错误;B中,AC与BD的方向不同,故B错误;C中,PE与PF的方向相反,故C错误;D中,EP与PF的方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故D正确.[一“点”就过]解决向量问题的关键点(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)相等向量不仅模相等,而且方向也相同,所以相等向量一定是平行向量,但平行向量未必是相等向量.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)aa是非零向量a方向上的单位向量,因此单位向量aa与a命题视角二平面向量的线性运算考法(一)平面向量的线性运算[例1](1)若D为△ABC的边AB的中点,则CB=()A.2CD-CA B.2CA-CDC.2CD+CA D.2CA+CD(2)在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则AE等于()A.23AB+12AD BC.56AB+13AD D[解析](1)∵D为△ABC的边AB的中点,∴CD=12(CA+CB),∴CB=2CD-CA.故选A(2)由BC=BA+AD+DC=-23AB+AD,得AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12AD-2[答案](1)A(2)A[方法技巧]向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)用基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.考法(二)利用向量的线性运算求参数[例2]在△ABC中,点M为AC上的点,且AM=12MC,若BM=λBA+μBC,则λ-μ的值是(A.1 B.1C.13 D.[解析]由AM=12MC,得AM=13AC,所以BM=BA+AM=BA+13AC=BA+13(BC-BA)=23BA+13BC,又因为BM=λBA+μBC,所以λ=23,μ=[答案]C[方法技巧]利用向量的线性运算求参数的方法与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量线性运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数.[针对训练]1.设M是△ABC所在平面上的一点,MB+32MA+32MC=0,D是AC的中点,tMB=DM,则实数t的值为(A.12 B.C.2 D.1解析:选B因为D是AC的中点,所以MA+MC=2MD,又因为MB+32MA+32MC=0,所以13MB+12(MA+MC)=13MB+MD=0,即13MB=DM,2.(多选)如图所示,在△ABC中,D是AB的中点,下列关于向量CD表示不正确的是()A.CD=CA+DB B.CD=BC+DAC.CD=12AB+AC D.CD=1解析:选BC对于A,因为D是AB的中点,所以AD=DB,因为CD=CA+AD,所以CD=CA+DB,所以A正确;对于B,由三角形法则,得CD=CB+BD=CB+DA=-BC+DA,所以B不正确;对于C,CD=CA+AD=12AB-AC,所以C不正确;对于D,因为D是AB的中点,所以CD=12所以D正确.3.在正六边形ABCDEF中,对角线BD,CF相交于点P,若AP=xAB+yAF,则x+y=.

解析:如图,记正六边形ABCDEF的中心为点O,连接OB,OD,易证四边形OBCD为菱形且P恰为其中心.∴FP=32FO=32AB,∴AP=AF+FP=AF+32AB,∵AP=xAB+yAF,∴x=32,y=1,答案:5命题视角三共线向量定理的应用[典例](1)已知a,b是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是()A.λμ=1 B.λμ=-1C.λ-μ=-1 D.λ+μ=2(2)设e1与e2是两个不共线向量,AB=3e1+2e2,CB=ke1+e2,CD=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为.

[解析](1)∵AB与AC有公共点A,∴若A,B,C三点共线,则存在一个实数t使AB=tAC,即λa+b=ta+μtb,则λ=t,μt=1,消去参数t得λμ=1;反之,当λμ=1时,AB=1μa+b,此时存在实数1μ使AB=1μAC,故AB和AC共线.∵AB与AC有公共点A,∴A(2)由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数λ,使得AB=λBD.又AB=3e1+2e2,CB=ke1+e2,CD=3e1-2ke2,所以BD=CD-CB=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又e1与e2不共线,所以3=λ(3-k),2=-[答案](1)A(2)-9[方法技巧]平面向量共线定理的3个应用证明向量共线若存在实数λ,使a=λb,则a与非零向量b共线证明三点共线若存在实数λ,使AB=λAC,AB与AC有公共点A,则A,B,C三点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值[针对训练]1.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.梯形 B.菱形C.平行四边形 D.矩形解析:选A因为AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,所以AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b.所以AD=2BC.所以AD∥BC且|AD|≠|BC|,所以四边形ABCD为梯形.2.在△ABC中,E,F分别为AC,AB上的点,BE与CF交于点Q,且AE=2EC,AF=3FB,AQ交BC于点D,AQ=λQD,则λ的值为()A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选C因为B,Q,E三点共线,所以可设AQ=xAB+(1-x)AE=xAB+23(1-x)AC.因为C,Q,F三点共线,所以可设AQ=yAC+(1-y)AF=yAC+34(1-y)AB,所以x=34(1-y),y=23(1-x),解得x=12,y=13.所以AQ=12AB+13AC3.已知a,b是不共线的向量,OA=λa+μb,OB=3a-2b,OC=2a+3b,若A,B,C三点共线,则实数λ,μ满足()A.λ=μ-1 B.λ=μ+5C.λ=5-μ D.μ=13-5λ解析:选DBA=OA-OB=(λa+μb)-(3a-2b)=(λ-3)a+(μ+2)b,BC=OC-OB=(2a+3b)-(3a-2b)=-a+5b,因为A,B,C三点共线,所以BA∥BC,故-5(λ-3)=μ+2,所以μ=13-5λ.巧用性质·练转化思维——三点共线定理的妙用已知O,A,B是不共线的三点,且OP=mOA+nOB(m,n∈R),则A,P,B三点共线的充要条件是m+n=1.1.如图,在△ABC中,AN=13AC,P是BN上的一点,若AP=mAB+211AC,则实数m的值为(A.911 B.C.311 D.解析:选B注意到N,P,B三点共线,因此AP=mAB+211AC=mAB从而m+611=1,所以m=52.在△ABC中,点D是线段BC(不包括端点)上的动点.若AB=xAC+yAD,则()A.x>1 B.y>1C.x+y>1 D.xy>1解析:选B设BD=λBC(0<λ<1),所以AD-AB=λAC-λAB,所以(1-λ)AB=AD-λAC,所以AB=11-λAD-λ1-λAC,所以x=-λ1-λ<0,y=11-λ=1-λ+λ1-λ=1+λ1-λ3.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,OA=a3OB+a2020OC,且AB=dBC,则S2022=()A.0 B.1011C.2020 D.2022解析:选B由AB=dBC可知,A,B,C三点共线,故由OA=a3OB+a2020OC,可得a3+a2020=1,于是S2022=2022(a1+a2022)2=2022(4.在△ABC中,点P满足BP=2PC,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若AM=mAB,AN=nAC(m>0,n>0),则m+2n的最小值为()A.3 B.4 C.83 D.解析:选A如图,易知AP=AB+BP=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC=13mAM+23nAN.∵M,P,N三点共线,∴13m+23n=1,∴m=n3n-2,则m+2n=n3n-2+2n=6n2-3n3n-2[课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1.(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,下列命题正确的是()A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n解析:选ABm(a-b)=ma-mb,故A正确;(m-n)a=ma-na,故B正确;若m=0,则a,b不一定相等,故C错误;若a=0,则m,n不一定相等,故D错误.故选A、B.2.(多选)设a,b是非零向量,记a与b所成的角为θ,下列四个条件中,使aa=bb成立的充要条件是(A.a∥b B.θ=0C.a=2b D.θ=π解析:选BCaa=bb等价于非零向量a与b同向共线,即θ=0,故B正确.对于选项C,a=2b,则a与b同向共线,故C3.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.AD B.1C.12BC D解析:选A由题意得EB+FC=12(AB+CB)+12(AC+BC)=12(AB+AC)4.设平面向量a,b不共线,若AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线解析:选A∵AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),∴AD=AB+BC+CD=(a+5b)+(-2a+8b)+3(a-b)=2(a+5b)=2AB,∴AD与AB共线,即A,B,D三点共线.二、综合练——练思维敏锐度1.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为()A.-2 B.-1C.1 D.2解析:选B因为BC=a+b,CD=a-2b,所以BD=BC+CD=2a-b.又因为A,B,D三点共线,所以AB,BD共线.设AB=λBD,所以2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,即λ=1,p=-1.2.矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若DE=λAB+μAD(λ,μ为实数),则λ2+μ2=()A.58 B.C.1 D.5解析:选ADE=AE-AD=14AC-AD=14(AB+AD)-AD=14AB-34AD,∴λ=14,μ=-34.∴λ2+3.(多选)在△ABC中,点E,F分别是边BC和AC的中点,P是AE与BF的交点,则有()A.AE=12AB+12AC BC.CP=13CA+13CB D.CP解析:选AC如图,根据三角形中线性质和平行四边形法则知,AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12(AC-AB)=12(AC+AB),A正确;因为EF是中位线,所以AB=2FE,B错误;设AB的中点为G,则根据三角形重心性质知,CP=2PG,所以CP=23CG=23×12CA+4.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AB,AD上的点,且AM=45AB,连接AC,MN交于点P,若AP=411AC,则点N在AD上的位置为(A.AD中点B.AD上靠近点D的三等分点C.AD上靠近点D的四等分点D.AD上靠近点D的五等分点解析:选B设AD=λAN,因为AP=411AC=411(AB+AD)=41154AM+λAN=511AM+4λ11AN,又M,N,P三点共线,所以511+4λ11=1,5.(多选)已知向量OA=(1,-3),OB=(-2,1),OC=(t+3,t-8),若点A,B,C能构成三角形,则实数t可以为()A.-2 B.1C.1 D.-1解析:选ABD若点A,B,C能构成三角形,则A,B,C三点不共线,故向量AB,BC不共线.由于向量OA=(1,-3),OB=(-2,1),OC=(t+3,t-8),故AB=OB-OA=(-3,4),BC=OC-OB=(t+5,t-9),若A,B,C三点不共线,则-3(t-9)-4(t+5)≠0,所以t≠1.6.已知点O为△ABC的外接圆的圆心,且OA+OB+CO=0,则△ABC的内角A等于()A.30° B.45°C.60° D.90°解析:选A由OA+OB+CO=0,得OA+OB=OC,由O是△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,故∠CAB=30°,故选A.7.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为()A.1B.-12C.1或-12D.-1或解析:选B由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ-1)b],整理得,λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共线,所以有λ=k,2λk-k=1,整理得,2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-12.又因为k<0,8.(多选)如图,△ABC中,BD=13BC,AE=12AC,AD与BE交于点F,则下列说法正确的是(A.AD=13AB+23AC B.|BF|=C.S△BFD∶S△AFE=1∶3 D.AF+2BF+CF=0解析:选BCDAD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC,故A错;∵B,F,E三点共线,∴AF=λAB+(1-λ)∵A,F,D三点共线,∴AF=μAD=2μ3AB∴2μ3=λ,μ3=1-∴F为BE的中点,∴|BF|=12|BE|,故B对;S△BFD=14S△ABD=14×13·S△ABC,S△AFE=12S△ABE=12×12·S△ABC,∴S△BFD∶S△AFE=1∶3,故C对;取AB中点G,BC中点H,连接CF,如图,则G,F,H三点共线,∴AF+2BF+CF=(AF+BF)+(BF+CF)=-[(FA+FB)+(FB+FC)]=-(2FG+2FH)=-(EA+EC)=0,故D对.9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足OC=34OA+14OB,则BC解析:因为BC=OC-OB=34OA+14OB-OB=34BA,AC=OC-OA=34所以BCAC=3答案:310.如图,在△ABC中,点D,E是线段BC上两个动点,且AD+AE=xAB+yAC,则1x+4y的最小值为解析:易知x,y均为正数,设AD=mAB+nAC,AE=λAB+μAC,∵B,C,D共线,∴m+n=1,同理,λ+μ=1.∵AD+AE=xAB+yAC=(m+λ)AB+(n+μ)AC,∴x+y=m+n+λ+μ=2.∴1x+4y=121x+4y(x+y)=125+yx+4xy≥1答案:911.设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则PA12+PA22+…解析:如图,连接OP,OA2,OA6,根据题意及向量加法的平行四边形法则可得PA22+PA62=(OA2-OP)2+(OA6-所以PA22+PA62=12[(2OP)2+(2O同理得,PA12+PA52=12[(2OP)2+(2OPA42+PA82=12[(2OP)2+(2OPA32+PA72=12[(2OP)2+(2O所以PA12+PA22+…在△OA1A2中,易知1·cosπ8≤|OP|≤1所以12+22≤8OP2+8≤16,所以PA12+PA22+…+PA答案:[12+22,16]12.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=23,BC=2,点E在线段CD上,若AE=AD+μAB,则μ的取值范围是.

解析:由题意,得AD=1,CD=3,∴AB=2DC.∵点E在线段CD上,∴DE=λDC(0≤λ≤1).∵AE=AD+DE,又AE=AD+μAB=AD+2μDC=AD+2μλDE,∴2μλ=1,∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤12,即μ的取值范围是0,答案:0,第二节平面向量基本定理及坐标表示课程内容要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.[由教材回扣基础]1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=x1(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|=(x3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.澄清微点·熟记结论(1)若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.(2)已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为x1(3)已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),其重心G的坐标为x1(4)a∥b的充要条件不能表示为x1x2=y1y2,因为x2(5)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)平面内的任意两个向量都可以组成一个基底.()(2)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.()(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成x1x2=y1y2(4)平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)√二、练牢基本小题1.已知平行四边形ABCD,点E,F分别是AB,BC的中点,设AB=a,AD=b,则EF=()A.12(a+b) B.12(a-C.12(b-a) D.12a答案:A2.已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b=()A.(1,2) B.(-1,-2)C.(-1,2) D.(1,-2)答案:B3.已知向量OA=(1,-2),OB=(2,-3),OC=(3,t),若A,B,C三点共线,则实数t=.

答案:-4三、练清易错易混1.(混淆基底的选择)在正方形ABCD中,E为DC的中点,若AE=λAB+μAC,则λ+μ的值为()A.12 B.-C.1 D.-1解析:选A因为E为DC的中点,所以AC=AB+AD=12AB+12AB+AD=12AB+DE+AD=12AB+AE,即AE=-12AB+AC,所以λ=-122.(混淆单位向量的方向)已知A(-5,8),B(7,3),则与向量AB反向的单位向量为.

解析:由已知得AB=(12,-5),所以|AB|=13,因此与AB反向的单位向量为-113AB=答案:-3.(忽视基向量不共线)给出下列三个向量:a=(-2,3),b=1,-32,c=(-1,1),在这三个向量中任意取两个能构成基底的个数为解析:易知a∥b,a与c不共线,b与c不共线,所以能构成基底的个数为2.答案:2命题视角一平面向量的坐标运算(自主练通)1.已知在平行四边形ABCD中,AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则CO的坐标为()A.-12,5 C.-12,-5 解析:选C因为在平行四边形ABCD中,AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,所以CO=-AO=-12(AD+AB)=-12,-52.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=()A.1 B.2 C.3 D.4解析:选D以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),∴a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3).∵c=λa+μb,∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),则-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,解得λ=-2,μ=-3.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2 B.2C.52 D.50解析:选A∵a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),∴|a-b|=(-1)2+14.已知A(7,1),B(1,4),直线y=12ax与线段AB交于C,且AC=2CB,则实数a=.解析:设C(x,y),则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y).∵AC=2CB,∴x-7=2(1-x),y-1=2(4-y),解得x=3,y=3,∴C(3,3).又∵C在直线y=12ax答案:25.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),所以-6m+(3)设O为坐标原点,因为CM=OM-OC=3c,所以OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),所以M(0,20).又因为CN=ON-OC=-2b,所以ON=OC-2b=(-3,-4)+(12,6)=(9,2),所以N(9,2).所以MN=(9,-18).[一“点”就过]求解向量坐标运算问题的一般思路巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数命题视角二平面向量基本定理及其应用[典例](1)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3n(2)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,且均为靠近B的四等分点,CD与AE交于点F,若BF=xAB+yAC,则3x+y=()A.-1 B.-3C.-12 D.-[解析](1)因为BD=2DA,所以AB=3AD,所以CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m+3n.故选B.(2)连接DE,由题意可知,BDBA=BEBC=14,所以DE∥AC,则DEAC=BDBA=14,所以DFFC=DEAC=14,所以BD=-14AB,DC=AC-AD=AC-34AB,则DF=15DC=15AC-320AB,故BF=BD+DF=-14AB+15AC-320AB=-25AB+[答案](1)B(2)A[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.[针对训练]1.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,BC=3EC,F为AE的中点,则BF=()A.23AB-13AD BC.-23AB+13AD D.解析:选C如图,取AB的中点G,连接DG,CG,易知四边形DCBG为平行四边形,所以BC=GD=AD-AG=AD-12AB,所以AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23AD-12AB=23AB+23AD,于是BF=AF-AB=12.在△ABC中,D是BC上一点,BD=2DC,M是线段AD上一点,BM=tBA+14BC,则t=(A.12 B.2C.34 D.解析:选D因为BD=2DC,则AD-AB=2(AC-AD),所以AD=13AB+23AC,因为AM=AB+BM=AB-tAB+14(AC-AB)=34-tAB+14AC,因为M是线段AD上一点,设AM=λAD=13λAB+23λ命题视角三平面向量共线的坐标表示[典例](1)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线,则x的值为.

(2)已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.

[解析](1)由题意得a-b=(2-x,2).又∵a-b与b共线,∴2x=-2+x,解得x=-2.(2)由O,P,B三点共线,可设OP=λOB=(4λ,4λ),则AP=OP-OA=(4λ-4,4λ).由AC=OC-OA=(-2,6),AP与AC共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=34,所以OP=34OB=(3,3),所以点P的坐标为(3,[答案](1)-2(2)(3,3)[方法技巧](1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②若a∥b(b≠0),则a=λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.[针对训练]1.(多选)已知向量a=(2,-1),b=(-1,3),则下列向量与2a+b平行的是()A.2,23 B.(1,C.(1,-2) D.-1,-解析:选AD因为a=(2,-1),b=(-1,3),所以2a+b=(3,1),故若向量(x,y)满足3y-x=0,则向量与2a+b平行.经验证,选项A、D中的向量满足条件.故选A、D.2.设向量OA=(1,-2),OB=(2m,-1),OC=(-2n,0),m,n∈R,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则m+n的最大值为()A.-3 B.-2 C.2 D.3解析:选A由题意易知,AB∥AC,其中AB=OB-OA=(2m-1,1),AC=OC-OA=(-2n-1,2),所以(2m-1)×2=1×(-2n-1),解得2m+1+2n=1.又2m+1+2n≥22m+n+1,当且仅当2m+1=2n,即m+1=n时取等号,所以2m+n+1≤2-2,即m+3.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(2)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=5,求d的坐标.解:(1)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k=-1613(2)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),又a+b=(2,4),|d-c|=5,∴4(x-4)-2(y-1)=0,∴d的坐标为(3,-1)或(5,3).数学建模·练抽象思维——平面向量线性运算中的创新应用问题1.若{α,β}是一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标,现已知向量a在p=(1,-1),q=(2,1)组成的基底{p,q}下的坐标为(-2,2),则a在另一对向量m=(-1,1),n=(1,2)组成的基底{m,n}下的坐标为()A.(2,0) B.(0,-2)C.(-2,0) D.(0,2)解析:选D因为a在基底{p,q}下的坐标为(-2,2),即a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2.所以a在基底2.渭河某处南北两岸平行,如图所示.某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中航行速度的大小为|v1|=10km/h,水流速度的大小为|v2|=6km/h.设v1与v2的夹角为120°,北岸的点A'在码头A的正北方向,那么该游船航行到北岸的位置应()A.在A'东侧 B.在A'西侧C.恰好与A'重合 D.无法确定解析:选A建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可得v1=(-5,53),v2=(6,0),所以v1+v2=(1,53),说明游船有x轴正方向的速度,即向东的速度,所以该游船航行到北岸的位置应在A'东侧,故选A.3.如图,将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起,其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合,若DB=xDC+yDA,则()A.x=3,y=1 B.x=1+3,y=3C.x=2,y=3 D.x=3,y=1+3解析:选B过B作BE⊥DC交DC的延长线于点E(图略),由∠ACD=45°,∠BCA=90°,得∠BCE=45°,则CE=BE,设CE=BE=mCD,则(2mCD)2+(2DA)2=(22DA)2,又DA=DC,解得m=3,故DB=DC+CE+EB=DC+3DC+3DA=(1+3)DC+3DA,故x=1+3,y4.写出一个与向量a=(2,1)共线的向量b=.

解析:与向量a=(2,1)共线的向量为λa=λ(2,1).取λ=2,可得出一个与向量a=(2,1)共线的向量为b=(4,2)(答案不唯一,满足λa(λ∈R)即可).答案:(4,2)(答案不唯一)[课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若MN=-3a,则点N的坐标为()A.(2,0) B.(-3,6)C.(6,2) D.(-2,0)解析:选A设N(x,y),则(x-5,y+6)=(-3,6),解得x=2,y=0.2.已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线,若向量AB=(2,4),AC=(1,3),则AD=()A.(2,4) B.(3,7)C.(1,1) D.(-1,-1)解析:选D因为AB=(2,4),AC=(1,3),所以BC=AC-AB=(-1,-1),即AD=BC=(-1,-1).3.已知向量a=(1,2),b=(-2,1),c=(5,4),则以向量a与b为基底表示向量c的结果是()A.135a-65b B.133aC.-72a-92b D.143a解析:选A设c=xa+yb,则x-2y=5,2x+y=4,解得x=135,4.已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=.

解析:因为a∥b,所以2×4-5λ=0,所以λ=85答案:85.已知点A(8,-1),B(1,-3),若点C(2m-1,m+2)在线段AB上,则实数m=.

解析:由题意,AB=(-7,-2).因为点C在线段AB上,故AC与AB同向.又AC=(2m-9,m+3),故2m-9-7=m+3答案:-13二、综合练——练思维敏锐度1.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是()A.-23 B.C.12 D.解析:选AAB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(-2k,-2).∵A,B,C三点共线,∴AB,AC共线,∴-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-232.如图,已知AB=a,AC=b,BC=4BD,CA=3CE,则DE=()A.34b-13a B.512aC.34a-13b D.512b解析:选DDE=DC+CE=34BC+13CA=34(AC-AB)-13AC=512AC-343.(多选)已知O为坐标原点,A(2,-1),B(1,2),则()A.与AB同方向的单位向量为-1010,31010 B.若AP=2C.若a=(1,-3),则a∥AB D.若C(1,-3),则四边形OBAC为平行四边形解析:选ACD由题意,得AB=(-1,3),所以与AB同方向的单位向量为e=ABAB=-1010,31010,A正确;由AP=2PB知,xP=2xB+xA3,yP=2yB+yA3,即P43,1,B错误;由a=(1,-3),AB=(-1,3),得1×3-(-3)×(-1)=0,即a∥AB,C正确;OB=(1,2),CA=(1,2),则有OB∥CA4.在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点.若AB=2,则|AM+BN|=()A.2 B.10 C.4 D.25解析:选B以AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为AB=2,所以A(0,0),B(2,0),M(2,1),N(1,2),所以AM=(2,1),BN=(-1,2),所以AM+BN=(1,3),故|AM+BN|=12+32=105.已知向量OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB(m>0,n>0),若m+n=1,则|OC|的最小值为()A.52 B.10C.5 D.10解析:选C设OC=(x,y).∵OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB,∴x=3m+n,y=m-3n,∴|OC|=(3m+n)2+(m-3n)2=10(m26.在△OAB中,若点C满足AC=2CB,OC=λOA+μOB,则1λ+1μ=(A.13 B.2C.29 D.解析:选D在△OAB中,∵AC=2CB,∴OC-OA=2(OB-OC),即3OC=OA+2OB,∴OC=13OA+23OB.又OC=λOA+μOB,∴λ=13,μ=23,∴1λ+1μ7.如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D,若OC=mOA+nOB,则m+n的取值范围是()A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-1,0)解析:选D由题意得,OC=kOD(k<0),又|k|=OCOD<1,∴-1<k<0.又∵B,A,D三点共线,∴OD=λOA+(1-λ)OB,∴mOA+nOB=kλOA+k(1-λ)OB,∴m=kλ,n=k(1-λ),∴m+n=k,从而m+n∈(-1,0)8.在△ABC中,点D是AC上一点,且AC=4AD,P为BD上一点,向量AP=λAB+μAC(λ>0,μ>0),则4λ+1μ的最小值为(A.16 B.8C.4 D.2解析:选A由AP=λAB+μAC及AC=4AD,得AP=λAB+4μAD,又点P在BD上,∴λ+4μ=1.∴4λ+1μ=4λ+1μ·(λ+4μ)=8+16μλ+λμ,又λ>0,μ>0,∴16μλ+λμ≥216=8,当且仅当16μλ=λμ,即9.已知点A(1,3),B(4,-1),写出一个与向量AB共线的向量坐标为.

解析:因为A(1,3),B(4,-1),AB=(3,-4),所以与向量AB共线的向量的坐标可以是(3λ,-4λ),λ∈R.答案:(6,-8)(答案不唯一)10.如图,设Ox,Oy是平面内相交成45°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,若向量OP=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标.在此坐标系下,假设OA=(-2,22),OB=(2,0),OC=(5,-32),则|OA|=,OA与BC(填“平行”或“不平行”).

解析:由余弦定理可知|OA|=4+8-2×2×22×cos45°=2,∵BC=OC-OB=(3,-32)=-32OA,∴答案:2平行11.已知向量AC=(1,sinα-1),BA=(3,1),BD=(2,cosα),若B,C,D三点共线,则tan(2022π-α)=.

解析:∵B,C,D三点共线,∴BD=xBC=x(BA+AC),即(2,cosα)=x(4,sinα),则2=4x,cosα=xsinα,解得x=12,即cosα=12sinα,得tanα=2,则tan(2答案:-212.已知AB与AC的夹角为90°,|AB|=2,|AC|=1,AM=λAB+μAC(λ,μ∈R),且AM·BC=0,则λμ的值为.解析:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0,0),B(0,2),C(1,0),所以AB=(0,2),AC=(1,0),BC=(1,-2).设M(x,y),则AM=(x,y),所以AM·BC=(x,y)·(1,-2)=x-2y=0,即x=2y,又AM=λAB+μAC,即(x,y)=λ(0,2)+μ(1,0)=(μ,2λ),所以x=μ,y=2λ,所以λμ=12y答案:1第三节平面向量的数量积及其应用课程内容要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.第1课时系统知识牢基础——平面向量的数量积知识点一平面向量的数量积[由教材回扣基础]1.平面向量数量积的有关概念向量的夹角已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作向量OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角数量积的定义已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,则a与b的数量积(或内积)记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0投影向量|a|cosθe叫做向量a在b上的投影向量,其中e是与b方向相同的单位向量2.平面向量数量积的运算律交换律a·b=b·a结合律λa·b=λ(a·b)=a·λ(b)分配律(a+b)·c=a·c+b·c澄清微点·熟记结论(1)平面向量数量积运算的常用公式①(a+b)·(a-b)=a2-b2;②(a±b)2=a2±2a·b+b2;③a2+b2=0⇒a=b=0.(2)有关向量夹角的两个结论①两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为夹角为0时不成立);②两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为夹角为π时不成立).(3)a⊥b⇔a·b=0是对非零向量而言的,若a=0,虽然a·b=0,但不能说a⊥b.(4)对于实数a,b,c有(a·b)·c=a·(b·c),但对于向量a,b,c而言,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,即不满足向量结合律.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.[练小题巩固基础]1.已知a·b=-122,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|的值为()A.12 B.6C.33 D.3解析:选B因为a·b=|a||b|cos135°=-122,所以|b|=-1224×2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=23,a与b的夹角的余弦值为sin17π3,则b·(2a-b)=()A.2 B.-1C.-6 D.-18解析:选D∵a与b的夹角的余弦值为sin17π3=-32,∴a·b=-3,b·(2a-b)=2a·b-b23.设向量a,b满足|a|=|b|=1且|3a-2b|=7,则a,b的夹角为()A.π3 B.C.π4 D.解析:选A设a与b的夹角为θ,由题意得(3a-2b)2=7,所以9|a|2+4|b|2-12a·b=7,又|a|=|b|=1,所以a·b=12,所以|a||b|cosθ=12,即cosθ=12.又θ∈[0,π],所以a,b4.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2AO=AB+AC,|OA|=|AB|,则向量BA在向量BC上的投影向量为()A.14BC BC.-14BC D.解析:选A由2AO=AB+AC知,O为BC的中点,根据题意作图,因为O为△ABC的外接圆圆心,所以OA=OB=OC,因为|OA|=|AB|,所以AB=OB=OA=OC,所以△AOB为正三角形,∠ABO=60°,所以BA在BC上的投影向量为12BO=14BC5.如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,D是边BC的中点,则AD·BC=.

解析:AD·BC=12(AB+AC)·(-AB+AC)=12(-AB2+AC2答案:-56.(2021·北京高考)已知a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+b)·c=;a·b=.

解析:计算可得(a+b)·c=(4,0)·(0,1)=0,a·b=4-1=3.答案:037.(混淆向量的夹角与几何图形中的角)在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=10,则BA·AC的值为.

解析:在△ABC中,由余弦定理得cosA=AC2+AB2-BC22×AC×AB=22+32-(10)22×2×3=14.所以答案:-3知识点二平面向量数量积的坐标表示[由教材回扣基础]已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|=a·a|a|=x夹角cosθ=a·bcosθ=xa⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤([练小题巩固基础]1.(多选)设向量a=(2,0),b=(1,1),则()A.|a|=|b| B.(a-b)∥bC.(a-b)⊥b D.a与b的夹角为π解析:选CD因为a=(2,0),b=(1,1),所以|a|=2,|b|=2,所以|a|≠|b|,故A错误;因为a=(2,0),b=(1,1),所以a-b=(1,-1),所以(a-b)与b不平行,故B错误;又(a-b)·b=1-1=0,故C正确;又cos<a,b>=a·b|a||b|=222=22,所以a与b的夹角为π42.已知点A(0,3),B(0,0),C(1,0),则cos<BC,AC>=()A.-32 B.-1C.12 D.解析:选C∵A(0,3),B(0,0),C(1,0),∴BC=(1,0),AC=(1,-3),则cos<BC,AC>=BC·AC|BC||3.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于.

解析:设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以8+x=3,6+y=18,解得x=-5,y=12,故b=(-5,12),所以cos<a,答案:164.向量a=(1,2),b=(-1,1),若ka+b与b互相垂直,则实数k的值为.

解析:∵ka+b=(k-1,2k+1),b=(-1,1),∴(ka+b)·b=(k-1)×(-1)+2k+1=k+2=0,k=-2.答案:-25.(忽视钝角的意义)已知a=(3,-2),b=(-1,x-1)且a与b夹角为钝角,则x的取值范围为.

解析:a与b夹角为钝角,等价于a·b<0,且a,b不共线.由a·b=-3+2-2x=-2x-1<0,解得x>-12.当a,b共线时,3(x-1)=2,解得x=53,即a,b不共线时,x≠53.综上,x>-12且答案:-126.(分类讨论漏掉角B,C为直角的情况失误)设k为实数,已知直角三角形ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),则k=.

答案:-23或113第2课时精研题型明考向——平面向量数量积及应用1.(2023新课标Ⅰ卷·考查向量的垂直与坐标运算)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1解析:选D因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)·(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D.2.(2021新课标Ⅰ卷·考查向量数量积,模及和差公式)(多选)已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则()A.|OP1|=|OP2| B.|C.OA·OP3=OP1·OP2 D.OA解析:选AC因为|OP1|=cos2α+sin2α=1,|OP2|=cos2β+(-sinβ)2=1,所以A项正确.因为|AP1|=(cosα-1)2+sin2α,|AP2|=(cosβ-1)2+(-sinβ)2=(cosβ-1)2+sin2β,当α=π3,β=π6时,|AP1|≠|AP2|,所以B项错误.因为OA=(1,0),OP3=(cos(α+β),sin(α+β)),OP1=(cosα,sinα),OP2=(cosβ,-sinβ),所以OA·OP3=cos(α+β),OP1·OP2=cosαcosβ-sinαsin3.(2022新课标Ⅱ卷·考查向量的夹角)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=()A.-6 B.-5C.5 D.6解析:选C由题意,得c=a+tb=(3+t,4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因为<a,c>=<b,c>,所以cos<a,c>=cos<b,c>,即a·c|a||c|=b·c|b||c|,即25+3t5=3+t,解得t=54.(2020新课标Ⅰ卷·考查向量数量积的范围)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是()A.(-2,6) B.(-6,2)C.(-2,4) D.(-4,6)解析:选AAP·AB=|AP||AB|cos∠PAB=2|AP|cos∠PAB,又|AP|cos∠PAB表示AP在AB方向上的投影,所以结合图形可知,当P与C重合时投影最大,当P与F重合时投影最小.又AC·AB=23×2×cos30°=6,AF·AB=2×2×cos120°=-2,故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时,AP·AB∈(-2,6).故选A5.(2023新课标Ⅱ卷·考查向量的模)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|=.

解析:由|a-b|=3,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3①.由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理,得3a2-6a·b=0,结合①,得3a2-3(a2+b2-3)=0,整理,得b2=3,所以|b|=3.答案:36.(2021新课标Ⅱ卷·考查向量的数量积)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=.

解析:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0⇒2(a·b+b·c+c·a)+9=0⇒a·b+b·c+c·a=-92答案:-9[把脉考情]常规角度主要考查平面向量数量积的计算,利用数量积求向量的模、夹角以及数量积的范围问题等创新角度1.平面向量的数量积与三角恒等变换、解析几何、平面几何以及三角函数交汇,主要利用数量积证明垂直或利用数量积转化垂直的条件、求长度等.2.出现了多项选择题,更好地检测不同层次学生的水平命题视角一平面向量数量积的运算[典例](1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则EC·ED=()A.5 B.3C.25 D.5(2)在△ABC中,O为中线AM的中点.若AM=2,则OA·(OB+OC)=.

[解析](1)法一:由题意知,EC=EB+BC=12AB+AD,ED=EA+AD=-12所以EC·ED=12AB+AD·-12AB+AD=|AD|2-1法二:以点A为坐标原点,AB,AD的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则EC=(1,2),ED=(-1,2),EC·ED=-1+4=3,故选B.(2)因为O为中线AM的中点,AM=2,所以AO=OM=1,且OA与OM的夹角为π,所以OA·(OB+OC)=OA·2OM=2|OA||OM|cosπ=-2.[答案](1)B(2)-2[方法技巧]平面向量数量积的2种运算方法定义法当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cosθ坐标法当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2

[针对训练]1.已知AB=(1,3),AC=(2,t),|BC|=1,则AB·AC=()A.5 B.7 C.9 D.11解析:选D由已知,得BC=AC-AB=(2,t)-(1,3)=(1,t-3),又|BC|=1,所以(t-3)2+1=1,解得t=3,所以AB·AC=(1,3)·(2,3)=2+9=112.非零向量a,b,c满足a·b=a·c,a与b的夹角为π6,|b|=4,则c在a上的投影向量的长度为()A.2 B.23 C.3 D.4解析:选B由a·b=a·c,得|a||b|cos<a,b>=|a||c|cos<a,c>,因为|a|≠0,所以|c|cos<a,c>=|b|cos<a,b>=4×cosπ6=23,所以c在a上的投影向量的长度为||c|cos<a,c>|=23,故选B3.已知△ABC中,AB=3,AC=5,BC=7,若点D满足AD=13AB+12AC,则DB·DC解析:∵BC2=(AC-AB)2=AC2+AB2-2AB·AC,AB=3,AC=5,BC=7,∴AB·AC=-152.∴DB·DC=(AB-AD)·(AC-AD)=23AB-12AC·12AC-1答案:-12命题视角二平面向量数量积的应用考法(一)平面向量的模[例1](1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=()A.12 B.C.32 D.(2)已知平面向量m,n的夹角为π6,且|m|=3,|n|=2,在△ABC中,AB=2m+2n,AC=2m-6n,D为BC的中点,则|AD|=.[解析](1)因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b,又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=22(2)由题意知m·n=3×2×cosπ6=3.∵在△ABC中,D为BC的中点,∴AD=12(AB+AC)=12(2m+2n+2m-6n)=2m-2n.∴|AD|=|2m-2n|=2(m-n[答案](1)B(2)2[方法技巧]计算向量的模的方法(1)当向量有坐标或适合建坐标系时,可用模的计算公式;(2)利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(3)几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.考法(二)平面向量的夹角与垂直[例2](1)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6 B.C.2π3 D.(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=()A.-2 B.-1C.1 D.2[解析](1)由(a-b)⊥b,得(a-b)·b=0,即a·b=b2.∵|a|=2|b|,∴cos<a,b>=a·b|a||b|=b22b2=12.又∵0≤<a,b>≤π,∴(2)因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,故x=2,故选D.[答案](1)B(2)D[方法技巧]求解向量的夹角的2种方法定义法利用向量数量积的定义a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)进行求解,在求解时,要注意θ的取值范围是[0,π]坐标法利用cosθ=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22进行求解,其中a=[针对训练]1.(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=()A.-45 B.-C.25 D.解析:选D∵a+b+c=0,∴c=-a-b,等式两边同时平方得2=a2+b2+2a·b=1+1+2a·b,∴a·b=0.又a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2b,∴(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b2=4,且|a-c|=|2a+b|=(2a+b)2=4+1=5,|b-c|=|a+2b|=(a+2b)2=1+4=5,∴cos<a-c,b2.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|=()A.1 B.3C.4 D.5解析:选D由向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),得a+b=(x-1,y+2)=(1,3),所以x-1=1,y+2=3,解得x=2,y=1,所以a=(2,1).所以a-2b=(2,1)-2(-1,2)=(4,-3),所以|a-2b|=42+3.已知向量|OA|=3,|OB|=2,BC=(m-n)OA+(2n-m-1)OB,若OA与OB的夹角为60°,且OC⊥AB,则实数mn的值为.解析:由题意得,OC=OB+BC=(m-n)OA+(2n-m)OB,AB=OB-OA,OA·OB=3×2×cos60°=3.又因为OC⊥AB,所以OC·AB=[(m-n)·OA+(2n-m)OB]·(OB-OA)=-(m-n)OA2+(2m-3n)OA·OB+(2n-m)OB2=-9(m-n)+3(2m-3n)+4(2n-m)=0,整理得7m-8n=0,故mn答案:8命题视角三平面向量数量积中的最值、范围问题[典例](1)已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点,则PC·(PB+PD)的最小值为()A.-1 B.-3 C.-12 D.-(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为.

[解析](1)如图,连接BD,取BD的中点O,连接CO,取CO的中点Q.连接PO,因为O为BD的中点,所以PB+PD=2PO.连接PQ,在△PCQ中,PC=PQ+QC.因为Q为CO的中点,所以QO=-QC.在△POQ中,PO=PQ+QO=PQ-QC.所以PC·(PB+PD)=PC·2PO=2PC·PO=2(PQ+QC)·(PQ-QC)=2(PQ2-QC2因为Q,C是定点,所以当PQ2最小,即P,Q重合时,PC·(PB+PD)取得最小值,最小值为-2QC2=-2×14×22(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|PA+3PB|=25+(3b-4y)2(所以当y=34b时,|PA+3PB|取得最小值5[答案](1)A(2)5[方法技巧]最值或范围问题的2种求解方法临界分析结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围目标函数将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数,建立函数关系式,再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围[针对训练]1.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是()A.1 B.2 C.2 D.2解析:选C因为|a|=|b|=1,a·b=0,(a-c)·(b-c)=-c·(a+b)+|c|2=-|c||a+b|cosθ+|c|2=0,其中θ为c与a+b的夹角,所以|c|=|a+b|cosθ=2cosθ≤2,所以|c|的最大值是2.2.已知向量a,b满足|a|=1,(a-b)⊥(3a-b),则a与b的夹角的最大值为()A.π6 B.πC.2π3 D.解析:选A设a与b的夹角为θ,θ∈[0,π].因为(a-b)⊥(3a-b),所以(a-b)·(3a-b)=0.整理可得3a2-4a·b+b2=0,即3|a|2-4a·b+|b|2=0.将|a|=1代入3|a|2-4a·b+|b|2=0,可得3-4|b|cosθ+|b|2=0,整理可得cosθ=34b+b4≥23当且仅当34b=b4,即|b|=故cosθ≥32,结合θ∈[0,π],可知θ的最大值为π6,故选3.在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N(不与A,C重合)为AC边上的两个动点,且满足|MN|=2,则BM·BN的取值范围为()A.32,2 BC.32,2 D解析:选C以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则B(0,0),直线AC的方程为x+y=2.设M(a,2-a),则0<a<1,N(a+1,1-a),∴BM=(a,2-a),BN=(a+1,1-a),∴BM·BN=a(a+1)+(2-a)(1-a)=2a2-2a+2=2a-12∵0<a<1,∴当a=12时,BM·BN取得最小值3又BM·BN<2,故BM·BN的取值范围为32命题视角四平面向量与其他知识的综合问题考法(一)平面向量与几何的综合问题[例1]已知A,B是半径为2的☉O上的两个点,OA·OB=1,☉O所在平面上有一点C满足|OA+OB-OC|=1,则向量OC的模的取值范围是.

[解析]以O为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,A(2,0).由OA·OB=1,|OA|=|OB|=2,得∠AOB=π3,于是B2设C(x,y),则x-322问题转为求圆x-3222+y-622=1上一点到原点距离的取值范围∴|OC|的取值范围为[6-1,6+1].[答案][6-1,6+1][方法技巧]平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基底法:适当选取一个基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.考法(二)平面向量与三角函数的综合问题[例2]已知向量a=-12,32,b=(2cosθ,2sinθ),(1)若a∥b,求cosθ的值;(2)若|a+b|=|b|,求sinθ+π[解](1)因为a∥b,所以-12·2sinθ=32·2cosθ.即-sinθ=3cosθ,所以tanθ=-3,又0<θ<π,所以θ=2π3,所以cosθ(2)因为|a+b|=|b|,所以|a+b|2=|b|2,化简得|a|2+2a·b=0,又a=-12,32,b=(2cosθ,2sinθ),则|a|2=1,a·b=-cosθ+3sinθ,所以3sinθ-cosθ=-12,则sinθ-π6=-14,由0<θ<π,得θ-π6∈-π6,5π6,所以θ-π6∈-π6,0,所以cosθ-π[方法技巧]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,则运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数