河南省安阳市林州一中2024-2025学年高二上学期月考数学试卷（8月份）

/2024-2025学年河南省安阳市林州一中高二（上）8月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足(i+1)⋅z=4−3i，则|z|=(

)A.52 B.522 C.2.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是(

)A.y=(15)x B.y=1x3.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(

)A.16 B.13 C.124.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边ABCDEFGH，其中|OA|=1给出下列结论，其中正确的结论为(

)A.OA与OH的夹角为π3

B.OD+OF=OE

C.|OA−OC|=22|5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，过点AA.2 B.157 C.177 6.已知α∈(0,π)，β∈(0,π)，sin(α−β)=34，tanαtanA.16π B.116π C.7.已知平面向量a,b,c满足a=b=4,cA.−463,4638.已知平面向量a=(1,3)，b=(3,1)A.233 B.32 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.假设α∈(0,π)，且α≠π2，当∠xOy=α时，定义平面坐标系xOy为α−仿射坐标系，在α−仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：e1，e2分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若OP=xeA.设a=(m,n)，则|a|=m2+n2+2mncosα

B.设a=(m,n)，b=(s,t)，若a/​/b，则mt− ns=0

C.设a=(m,n)，b=(s,t)10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1A.直线AM与BN是平行直线

B.直线MN与AC所成的角为60°

C.平面AMB与平面ABCD所成二面角的平面角为45°

D.平面BMN截正方体所得的截面面积为311.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，且y=f(x+1)为偶函数．当x∈[0,1]时，f(x)=2x−alogA.a=−1

B.f(12)=f(32)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=−x2−2ax−a在区间(−∞,0)上单调递增，且a+ex+ln13.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基C在同一水平面内的两个测量点A,B.现测得∠BAC=30∘,∠ABC=105∘,AB=120米，在点B处测得碑顶D的仰角为30∘，则该同学通过测量计算出纪念碑高CD为

14.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为

．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知向量a=(2,1)，b=(−1,m)．

(1)若a与b的夹角为135°，求实数m的值；

(2)若a⊥(a−16.(本小题12分)

如图，已知AB为圆O的直径，D为线段AB上一点，且AD=13DB=1，C为圆O上一点，且BC=3AC，PD⊥平面ABC，PD=DB．

(1)求CD；

(2)求证：PA⊥CD；

17.(本小题12分)

已知函数f(x)=cos4ωx−2sinωxcosωx−sin4ωx(ω>0)的最小正周期T=π．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)当18.(本小题12分)

漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数(结果保留整数)；

(2)已知满意度分值落在[70,80)的平均数z−1=75，方差s12=9，在[80,90)的平均数为z−2=8519.(本小题12分)

已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=1．

(1)若f(x)=Acosωx(0<ω<π)，求A与ω；

(2)证明：函数f(x)是偶函数；

(3)证明函数f(x)是周期函数；

(4)若f(x)的周期为T，在[0,T2]上是减函数，记f(x)的正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，⋯，证明f(x)在区间[0,2024T]上有4048答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.C

6.D

7.B

8.B

9.ABD

10.BC

11.BC

12.[−1,0]

13.2014.22π

15.解：(1)因为a=(2,1)，b=(−1,m)，

所以|a|=5，|b|=1+m2，a⋅b=m−2，

若a与b的夹角为135°，则m<2且cos〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|，

可得−22=m−25×1+m16.解：(1)由已知AB为圆O的直径，C为圆O上一点，可得AC⊥BC，

又由D为线段AB上一点，且AD=13DB=1，可得AD=1，DB=3，则AB=4，

因为BC=3AC，可得BC2+AC2=AB2，即4AC2=16，解得AC=2，BC=23，

在直角△ABC中，可得cos∠BAC=ACAB=12，

由余弦定理得CD2=AD2+AC2−2AD⋅ACcos∠BAC=1+4−2×1×2×12=3，

所以CD=3．

(2)证明：由(1)知AC=2,AD=1,CD=3，

可得AC2=AD2+CD2，所以AD⊥CD，

因为PD⊥平面ABC，且CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，

又因为AD∩PD=D，且AD，PD⊂平面17.(1)依题意：f(x)=cos2ωx−sin2ωx−2sinωxcosωx=cos2ωx−sin2ωx=2cos(2ωx+π4)，

由T=2π2ω，T=π，得ω=1，f(x)=2cos(2x+π4)，

由−π+2kπ≤2x+π4≤2kπ，k∈Z，

解得−5π8+kπ≤x≤−π8+kπ,k∈Z，

所以函数f(x)的单调递增区间为[−5π8+kπ,−π8+kπ](k∈Z)(k∈Z)．

(2)当x∈[0,5π8]时，2x+π4∈[π4,3π2]，

余弦函数y=cosx在[π4,π]上单调递减，在[π,3π2]上单调递增，

则函数f(x)在[0,3π8]上单调递减，函数值从1减小到−2；

在[3π8,5π8]上单调递增，函数值从−2增大到0，

方程f(x)+1=m⇔f(x)=m−1，

因此方程f(x)+1=m的根即直线y=m−1与函数y=f(x)在[0,5π8]上的图象交点的横坐标，

在同一坐标系内作出直线y=m−1与函数y=f(x)在[0,5π8]上的图象，

观察图象知，当m−1<−18.解：(1)由频率分布直方图可得，(0.005+0.010×2+0.020+a+0.025)×10=1，

解得a=0.030，

由频率分布直方图可估计众数为85，

满意度分值在[40,80)的频率为(0.005+0.010×2+0.020)×10=0.45<0.5，

在[40,90)的频率为(0.005+0.010×2+0.002+0.030)×10=0.75>0.5，

所以中位数落在区间[80,90)内，

所以中位数为80+10×0.5−0.450.3=2453≈82；

(2)由频率分布直方图得，满意度分值在[70,80)的频率为0.02×10=0.2，人数为20，

在[80,90)的频率为0.03×10=0.3，人数为30，

所以满意度分值在[70,90)的平均数z−=19.解：(1)因为f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，①

令x=1，y=0，可得2f(1)=f(1)f(0)，

因为f(1)=1，所以f(0)=2，

所以f(0)=Acos0=2，得A=2．

由f(1)=1，得Acosω=1，

即2cosω=1，

解得cosω=12．

因为0<ω<π，所以ω=π3，

所以f(x)=2cosπ3x，

则f(x+y)+f(x−y)=2cos(π3x+π3y)+2cos(π3x−π3y)=4cosπ3xcosπ3y=f(x)f(y)，

所以f(x)=2cosπ3x；

(2)证明：由(1)得，f(0)=2，

①中，令x=0，可得f(y)+f(−y)=2f(y)，

即f(y)=f(−y)，所以函数f(x)为偶函数；

(3)证明：令y=1，

得f(x+1)+f(x−1)=f(x)f(1)=f(x)，

即有f(x+2)+f(x)=f(x+1)，

从而可知f(x+2)=−f(x−1)，f(x−1)=−f(x−4)，

故f(x+2)=f(x−4)，

即f(x)=f(x+6)．

所以函数f(x)是一个周期为T=6的周期函数．

(4)证明：由(1)得f(0)=2，f(T)=f(0)=2，

在f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)中，

令x=y=T2，

可得f(T)+f(0)=f(T2