江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试卷（日新班）有解析

/丰城九中高一日新开学考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知向量，若，则（）A.2 B. C.4 D.【正确答案】B【分析】由向量共线的坐标表示可得答案.【详解】若，则，解得.故选：B.2.若复数，则（）A.2 B. C. D.1【正确答案】C【分析】利用求出复数，再根据模长公式即可求解.【详解】复数,所以.故选：C3.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据诱导公式可得解.【详解】由诱导公式可得，又，故选：A.4.已知中，角的对边分别是，若，则是（）A.钝角三角形 B.等边三角形C.锐角三角形 D.等腰直角三角形【正确答案】B【分析】由正弦定理，结合诱导公式及二倍角的余弦公式可得，可得，从而可得是等边三角形.【详解】由，结合正弦定理可得，所以，又因为是的内角，故，所以是等边三角形.故选：B.5.已知函数是奇函数，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据奇函数可得与.【详解】由，又函数为奇函数，则，，解得，，所以，故选：D.6.已知函数的单调递增区间是，则（）A B. C. D.【正确答案】C【分析】利用整体法求解单调增区间，即可与题中单调区间比较求解.【详解】令，解得，故且，解得，故选：C7.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据余弦定理可得，再根据三角形的面积列方程即可得解.【详解】由余弦定理可知，即，又，，则，所以的面积，又面积，即，解得，故选：B.8.已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解.【详解】由，函数值域为，又对任意的实数，在区间上的值域均为，则，解得，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数(a,,i为虚数单位),且,下列命题正确的是A.z不可能为纯虚数 B.若z的共轭复数为,且,则z是实数C.若,则z是实数 D.可以等于【正确答案】BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,且知,z是实数,C正确;由得,又,因此,,无解,即不可以等于,D错误.故选：BC本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.10.下列命题中，正确的是（）A.；B.在中，是的充要条件；C.在中，若，则必是等腰直角三角形；D.在锐角中，不等式恒成立.【正确答案】ABD【分析】由诱导公式和二倍角的正弦公式可得A正确；由正弦定理结合充要条件的定义可得B正确；由正弦定理和二倍角正弦公式可得C错误；由诱导公式及正弦函数单调性可得D正确.【详解】A：，故A正确；B：在中，由正弦定理可得，所以，所以是的充要条件，故B正确；C：在中，若，由正弦定理可得，所以，所以或，即或，所以是等腰或直角三角形，故C错误；D：在锐角中，，且，所以，所以，故D正确；故选：ABD.11.在中，角的对边分别为，若，，则下列结论正确的是（）A.若，则有两解B.若，则C.的周长有最大值6D.的面积有最大值【正确答案】ABD【分析】综合运用正弦定理，面积公式及周长可得选项.【详解】对于A，因为，，由正弦定理可得，又，所以有两解，A正确；对于B，由，可得，，由正弦定理可得，B正确；对于C，由余弦定理，，当且仅当时，取到等号，解得，C不正确；对于D，由余弦定理，即，当且仅当时，取到等号，所以的面积，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围是____________．【正确答案】【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得参数范围.【详解】由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，故答案为.13.若单位向量，满足，则______．【正确答案】##【分析】根据平面向量的模长公式，根据数量积的运算律，可得答案.【详解】因为、是单位向量，所以，又因为，所以，解得．故．14.如图，在中，为斜边的中点，点分别在边上（不包括端点），，若，则____________．【正确答案】##【分析】根据找到的关系，再找到角的关系，利用两个三角形的正弦定理即可求解.【详解】因为，若，所以,所以，即，又因为为斜边的中点，，所以,,所以所以在中，,即,整理得，在中，,即,整理得，，联立得，，即，因为，，所以，解得，因为，所以，所以.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，且．（1）若，求的值；（2）求与夹角的余弦值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量垂直，列方程，解方程即可；（2）根据向量夹角公式直接计算即可.【小问1详解】由已知，则，解得；【小问2详解】由已知，且，所以.16.化简求值：（1）计算：；（2）；【正确答案】（1）（2）1【分析】（1）根据复数的概念、复数的乘法除法运算化简计算即可.（2）化切为弦，运用和差公式和诱导公式化简计算即可.【小问1详解】原式.【小问2详解】.17.的内角的对边分别为，满足.（1）求；（2）的角平分线与交于点，求的最小值.【正确答案】（1）（2）．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得；（2）由等面积法得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【小问1详解】由得，由正弦定理得，即，由，所以，化简得，所以，所以.【小问2详解】由，得，即，得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．18.如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米．（1）摩天轮运行一周约需要多少分钟？（2）该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式，再代入对应点解方程，进而可得摩天轮运行一周的时间；（2）由已知代入，解方程，解方程即可.【小问1详解】设游客坐上摩天轮的时间为，不妨设摩天轮逆时针旋转，则游客距地面的高度，又摩天轮的半径为，最高点距离底面高度为，则，，则，所以，又当时，，解得，则，又时，，解得或，，又运行一周的时间不低于分钟，即，解得，即，所以运行一周所需时间分；【小问2详解】由（1）得，由已知，令，则或，，又，则或.19.对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”．（1）设，若是的“向量”，求实数的取值范围；（2）若，则是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；（3）已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围．【正确答案】（1）或，（2）存在“1向量”，“1向量”为，（3）【分析】（1）根据“向量”的定义，即可由模长公式求解；（2）利用三角函数的周期性可得，即可由定义求解，（3）由定义，结合模长公式可得，设，由条件列式，变形为，结合三角函数的性子，转化为求的最小值．【小问1详解】由可得，故，，由于是的“向量”，所以即，解得或，【小问2详解】由于均为周期函数，且周期为，而故，若存在“1向量”，则存在，使得故，即，故，故,解得，即或故存在“1向量