华罗庚学校数学课本(五年级下)

华罗庆学校数学课本（五年级•修订版）

下册

第一讲不规则图形面积的计算（一）

我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.

我们的面积及周长都有相应的公式干脆计算.如下表：

名称国形周氏公式面积公式

长方形al=^周诧=2<a+b）面花=ab

面校=

正方形周长=4△£

口a

三角形冏K=a+b*p而枳=*ah

平行四边形WK-2<a*b>面枳一小

梯形Mh7冏氏=a+b+c+d面长=*〈n+b>•h

a.

菱形人咯。冏长:=4a而枳=/AC•BD

圆fflK=2nr面税=虚5”，

弧长=静

扇形面铁二嗜

3周氏=2m弧长

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形态出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用

公式干脆计算,一股我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图

形的和、差关系，问题就能解决了。

例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10座米和12座米.求阴影部分的面积。

解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个‘'空白"三角形（△ABG、ABDE,△EFG）的面积之和。

S&BDE=g（10+12）X12=132；

=1（12-10）X12=12o

又因为S甲+S乙=12X12+10X10=244,

所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米）。

例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，AABE.Z\ADF与四边形AECF的面枳彼此相等，求三角形AEF的面枳.

解：因为AABE、4ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与AABE、Z\ADF的面积都等于

正方形ABCD

面积的三分之一也就是：S四收影=S&QE=S&3=ix6X6=12o

在4ABE中，因为AB=6,所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,

AAECF的面积为2X2+2=2。

所以SZ\AEF=S四边形AECF-SZ\ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面枳。

年二在笠獴直角=隹形ARC中

VAB=1O

-•-SAABC=Jxiox10=50.

又,「SAQC==/X50=25.

,/EF=BF=AB-AF=10-6=4,

•••0“==4X4X4=S-

.••阴影部分面枳=SZ\ABG-SZ\BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4如右图，A为aCDE的DE边上中点，BC=CD,若aABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求AABD及aACE的面积.

解：取BD中点F,连结AF.因为4ADF、AABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.

所以4ACD的面积等于15平方厘米，AABD的面积等于10平方厘米。

又由于4ACE与4ACD等底、等高，所以4ACE的面积是15平方厘米。

例5如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是S平方星

米，它是三角形DEC的面枳的;求正方形ABCD的面积

解：过E作BC的垂线交AD于F。

在矩形ABEF中AE是对角线，所以SZkABE=S4AEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以SAECD=SAEDFO

因此，正方形回枳=8X2+8一卷X2=36（:平力屋米）.

例6女口右国，已隽口：SZkABC=l,

A£-ED,BD—^-BC.市阴景2部分的面积.

罅：连结DFo

---AE=ED,

---SZSAEF=SZ\DEF：SZ\ABE=SZ\BED,

•••--SAW,"“。VBD-^BC.

..£：ABFI>一^-AABP,

•••sAABF=|Ci-S…）.■•■sAABP=1.

.•.阳影邮分面积为*

例7如下页右上图，正方形ADCD的边K是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的货DE等于多少

厘米？

解：连结AG,自A作AH垂直于DG于H,在4ADG中，AD=4,DC=4（AD上的高）.

...SAAGD=4X4+2=8,乂DG=5,

.•.SAAGD=AHXDG4-2,

,•,AH=8X24-5=3.2（厘米）,

.*.DE=3.2（厘米）。

例3如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，Z^AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.

解：•.•梯形面积=（上底+下底）X高+2

即45=（AD+BC）X6+2,

45=（AD+10）X64-2,

.\AD=45X24-6-10=5米。

又SAQE=；XADX高，即5=：X5X高,

/.△ADE的高是2米「

△EBC的高等于梯形的高减去△.4）£的高，即6-2=4米,

•■-S<iBEC=1><BCX4=7X10><4=20（平方米）。

例9如右图,四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.

证明:连结CE,OABCD的面积等于ACDE面积的2倍,而ODEFG的面积也是ACDE面积的2儡

:.OABCD的面积与ODEFG的面快相等,

习题一

一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：

二、解答题：

1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E,F分别为AB、AD中点，旦FG=2GE.求阴影部分面积。

2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN（阴影部分）的面积.

3.如右图,正方形ABCD的边长为5厘米，ACEF的面积比AADF的面积大5平方厘米.求CE的长。

4.如右图，已知CF=2DF,DE=EA,三角形BCF的面积为2,四边形BEDF的面积为4.求三角形ABE的面积.

5.如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD=5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四

边形BEDF的面积相等。求三角形DEF的面积.

6.如右图，四个一样大的长方形和•个小的正方形拼成•个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9

平方米.求长方形的长、宽各是多少？

7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折登得到右卜图，它的面积与原三角形面枳之比为2：3,已知阴影部分的面积为5

平方厘米.求原三角形面积.

8.如右图，ABCD的边长BC=10,直角三角形BCE的直角边EC长8,已知阴影部分的面积比aEFG的面积大10.求CF的

长.

其次讲不规则图形面积的计算（二）

不规则图形的另外一种状况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为

困难的不规则图形，为了计算它的而积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规

则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：SAUB=SA+Sb-SAPB）合并运用才能

解决。

例1如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半园求阴影部分的面积。

解法1：把上图靠下边的半圆换成（面枳与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大

小形态完全一样，因此它们的面积相箪.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面

积的一半。解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的

一半.

例2如右图，正方形ABCD的边长为4匣米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

解：由容斥原理

S阴影=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD

=—xAB2x2-AB2

4

=—x42x2-42

4

(x13.14-2->辽

=16xl--llI6x------------9.12平方米

例3如右图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影

部分的面积。

解：,阴影=S扇形而己二扇形CBF~S矩形ABCD

=—X7TX-4--X7TX-6)：4

44

=A4(36+16)-24

=13兀-24=15(平方厘米)(取兀=3)e

例4如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，假如阴影（I）的面积比阴影（II）的面积大7平

方厘米，求BC长。

分析已知阴影（I）比阴影（II）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半恻直径

AB=20厘米，可以求出圆面积.半圆面枳减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面枳，进而求出三角形的底BC的长.

解।BC的长=(3.14X(―)+2-7)X2-20

=(157-7)X24-20

=15(厘米)°

例5如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积.

分析阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图

中（I）的面积之差.而图中（【）的面积等于边长为6的正方形面积减去;

的U6为半径的画的面积.

解：S阴景/S三用形RD一（S正方形BCDE-S扇形EBD）

=gx（10+6）X6-（6X6--^X7TX6aj

=48-9（取n=3）=39（平方厘米）=

例6如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°,此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取n=3）.

解：整个阴影部分被线段CD分为I和II两部分，以AB为直径的半圆被弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面

积为S,由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掠AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即U=S,由于：

I+S=60°圆心角扇形ABC面积

9

I+II

2

9

阴影部分面积是?

例7如右图,ABCD是正方形,且FA=AD=DE=1,求阴影部分的面积.

解：阴影M的面积+阴影N的面积=&BCD的面积=；,阴影W的面积=（正方形面积-Jx圆面积）xl

1

=-X(ixl--x7TXI2)

24

六（取n=3）。

・..阴影部分的总面积

Zoo

例8如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10,求阴影部分面积

(n取3.14)。

解：•.•三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰直角三角形ACE,则ABCE为正方形（利

用对称性质)。

，S阴影=(S正方形ABCE+S半圆-SAADE+2

=(10X10+JIX52^2-^x10X15)+2

=(100+39.25-75)4-2

=64.254-2

=32.125.

总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题

便得到解决.常用的基本方法有：

一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面枳，然后相加求出整个图形的

面枳.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的而积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可

以了./一、

二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部

分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.

三、干脆求法：这种方法是依据已知条件，从整体动身干脆求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积,

通过分

析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为：；X2X4=4.

四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，依据详细状况和计算上的须要，重新组合成一个新的图形，设法求出

这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采纳相减

法就可求出其面积了

五、协助线法：这种方法是依据详细状况在图形中添一条或若干条协助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，

然后再采纳相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条

协助线后用干脆法作更简便.

六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解

决.例如，如右图，欲求阴影部分的面枳，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一

半.

七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图

形，便于求出面积.例如，如上页最终一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到

右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转确定角度贴补在另一图形的一侧，

从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图(1)中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针

方向旋转180°,使A与C重合，从而构成如右图(2)的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角

三角形的面积.

九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形

面积的•半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积

的一半就是所求阴影部分的面积。

卜、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”(SAUB=SA+

SB-SAAB)解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为陕影部分的面积

恰好是两个扇形重叁的部分.

习题二

一、填空题(依据图中所给的数据求阴影部分面积)

©⑪

#电I

二、解答题：

1.疝右窗，夫圆的直径为4厘米，求阴影部分的面机

2.如右图，大扇形半径是6厘米，小扇形半彳仝是3厘米.求阴影部分的面积。

3.如左图，三个同心圆的半径分别走2、6、10,求B中阴影部分占大圆面积的百分之几？

4.如右图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为网心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，求阴

影部分的面积.

5.如下图(a),求阴影部分的面积。

6.如下图<b),把OA分成6个等分，以O为圆心画出六个扇形，己如最小的扇形面积是10平方厘米，求阴影部分的

面枳。

7.如下图(a),ZXABC是等腰直角三角形，直角边AB=2厘米，BE、BD分别为以C、A为圆心，BC、AB为半径所作

的弧.求阴影部分面积.

8.如下图(b),已知半径OA=OB=OC=9=厘米，ZI=Z2=15°,求阴影部分的面积.

B

(a)0>)

第三讲巧求表面积

我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积.假如长方体的

长用a表示、宽用b表示、高用h表示，那么，长方体的表面积=（ab+ah+bh）X2.假如正方体的棱长用a表示，则正方

体的表面积=6a2.对于由几个长方体或正方体组合而成的几何形体，或者是一个长方体或正方体组合而面的几何形体，它们

的表面积又如何求呢？涉及立体图形的问题，往往可考查同学们的看图实力和空间想象实力.小学阶段遇到的立体图形主要

是长方体和正方体，这些图形的特点都是可以从六个方向去看，特殊是求表面积时，就是上下、左右和前后六个方向（有时

只考虑上、左、前三个方向）的平面图形的面枳的总和.有了这个原则，在解决类似问题时就特别便利了。

例1在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（右图），求这个立体图形的表面积。

分析我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我门发觉：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影

部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：

上下方向：大正方体的两个底面,

小正方体的四个侧面.

侧面：＜

大正方体的四个侧面。

解：上下方向：5X5X2=50（平方分米）：

侧面:5X5X4=100（平方分米）.

4X4X4=64（平方分米）。

这个立体图形的表面积为：

50+100+64=214（平方分米）。

答：这个立体图形的表面积为214平方分米。

例2下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小

月⑹至+I/上长为:歌的正方体小涧，第三个正方体小河的挖法与前两个相同，棱长为

洞，接看在小洞的底面正中向下挖一个棱2

1厘米，那么最后得到的立体网形的表面积是多少平方厘米？

4

分析这道题的难点是洞里的表面枳不易求.在小洞里，平行于上卜表面的全部面的面积和等于边长为1厘米的正方形的面积,

这个边长为1厘米的正方形再与图中阴影部分的面积合在•起正好是边长为2厘米的正方体的上表面的面积.这个立体图形

的表面积分成两部分：

上下方向：2个边长为2厘米的正方形的面积，

‘边长为2座米的4个正方形的面积和，

边长为1厘米的4个正方形的面积和，

侧面：边长为J厘米的4个正方形的面积和,

边长为5厘米的4个正方形的面积和o

解：平行于上下表面的各面面积之和:

2X2X2=8（平方厘米）：

侧面：2X2X4=16（平方厘米），

IX1X4=4（平方厘米），

|X2X4=1（平方厘米）,

7"xx4«（平方厘米）。

444

这个立体图形的表面积为：

8+16+4+1+1=29g（平方厘米）。

44

密.这个立体图形的表面枳为22；平方厘米。

例3把19个棱长为1厘米的正方体重卷在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.求这个立体图形的表面积。

分析从上下、左右、前后看时的平面图形分别由下面三图表示。

因此，这个立体图形的表面积为：

2个上面+2个左面+2个前面。

解：上面的面枳为：9平方厘米，

左面的面积为：8平方厘米，

前面的面枳为：10平方厘米。

因此，这个立体图形的表面积为：前后面

（9+8+10）X2=54（平方厘米）。

答：这个立体图形的表面积为54平方厘米。

例4一个正方体形态的木块，棱长为1米，沿着水平方向将它锯成3片,每片乂按随意尺寸锯成4条，每条乂按随意尺寸

锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块，如下图.问这60块长方体表面积的和是多少平方米？

分析原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是1X1=1（平方米），无论后来裾成多少块，这六个外表面的6平方米总

是被计入后来的小木块的表面积的.再考虑每锯一刀，就会得到两个I平方米的表面，现在一共锯了：2+3+4=9（刀），一共

得到18平方米的表面.因此，总的表面积为：6+（2+3+4）X2=24（平方米）。

解：每锯一刀，就会得到两个I平方米的表面，

1X2=2（平方米）/洛行

一共锯了：2+3+4=9（刀），|[Ip

得到：2义9=18（平方米）的表面。，/口

因此，这大大小小的60块长方体的表面积的和为：IIIIIX

6+18=24（平方米）。

答：这60块长方体表面积的和为24平方米.

例5有一些棱长是1厘米的正方体，共1993个，要拼成一个大长方体，问表面积最小是多少？

解：因为1993是一个质数，所以这1993个正方体只能摆成长1993厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体，因此这个长

方体的表面积为：

1993X1X4+1X1X2=7974（平方厘米）。

答：摆成的大长方体表面积最小是7974平方厘米。

例6用12个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体码放成一个表面积最小的长方体.码放后得到的这个长方体的表面积是

多少？

分析用这12个长方体可以码放出很多种不同的长方体，当然得到的表面积就不会相同.我们nJ■以把全部不同状况卜的长方

体的表面积都计算出来，再选出最小值，但这样做，会奢侈很多时间，状况还不确定考虑得周全，因此，要考虑有没有奇妙

的方法.先重申一下基本原理：

在体积固定的全部长方体中，只有各棱长相等的立方体，其各棱长之和为最小，其表面积也最小。

因为所给长方体的长、宽、高都已确定，而且已知是12个长方体，所以拼成的这个大长方体的体积就以固定（3X4X5

X12=720立方匣米）.因为这个大长方体的体积不是一个立方数，因而不行能使各棱长都相等，但我们可以使长方体的长、

宽、高这三个数尽可能地接近，这样使其各棱长之和为最小，这个大长方体的表面积也最小。

解：一方面12=22X3,另一方面，长、宽、高应尽量接近，视察到720（立方厘米）=8（厘米）X9（厘米）X10（厘

米），并且有5X2=10（厘米），4X2=8（厘米），3X3=9（厘米）.

拼成的大长方体的长、宽、高分别为10厘米、8厘米、9厘米，这时长方体的表面枳为：

（10X9+10X8+9X8）X2=484（平方厘米）。

答：码放后得到的这个长方体的表面积为484平方厘米。

习题三

1.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的校长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，假如大

正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？

2.将高都是I米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱体如右图所示组成一个物体，求这个物体的表面积（n

取为3.14）。

3.小明小制作时把6个棱长分别为1、2、3、4、5、6（单位：分米）的正方体按由大到小的依次码放成一个宝塔，并且

把重合部分用胶固定粘牢，再把全部外露的部分涂上油漆，交给老师.全部涂上油漆部分的面积是多少平方分米？

4.有30个校长为1米的正方体，在地面上摆成如右图的形式，求这个立体图形的表面积是多少平方米？

5.下面（a）中的一些积木是山16块棱长为2厘米的正方体堆成的，它的表面积是多少平方厘米？

6「•个正方体的棱长为4厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面口心各挖去一-个棱长为1厘米的正方体做成一种玩

具，求这个玩具的表面积.假如把本题的条件“4厘米”改换为“3厘米”，那么这个玩具的表面积是多少？（图（b））。

7.下图（c）中是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，假如把它沿着虚线切成8个正方体，这些小正方

体中没有被涂上红色的全部表面的面积和是多少平方厘米？

8.有一-个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透“十字形”的孔（如左图阴影部分），假如将其

全部浸入黄漆后取出，晒干后，再切成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体未被染上黄漆的面积总和是多少？

第四讲最大公约数和最小公倍数

本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题一一有关两个自然数.它们的最大公约数、垠小公倍数之间

的相互关系的问题。

定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质,即假如(a,b)=d,那么(a+d,b+d)=l0

证明：设a+d=al,b-rd=b1,那么a=a】d,b=bld。

假设(al,bl)Wl,可设(al,bl)=m(m>I),于是有al=a2m,bl=b2m.(a2,b2是整数)

所以a=ald=a2md,b=bld=b2nxlo

那么md是a、b的公约数。

XVm>1>*.*md>do

这就与d是a、b的最大公约数相冲突.因此，(al,bl)W1的假设是不正确的.所以只能是(al,bl)=1,也就是(a+

d,b+d)=1()

定理2两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.(证明略)

定理3两个数的公约数确定是这两个数的最大公约数的约数.(证明略)

卜面我们就应用这些学问来解决一些详细的问题。

例1甲数是36,甲、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数.

解法1：由甲数X乙数=甲、乙两数的最大公约数X函数的最小公倍数，可得

36X乙数=4X288,

乙数=4X288・36,

解出乙数=32。

答：乙数是32。

解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4,则甲数=4X9,设乙数=4Xbl,且(bl,9)=1。

因为甲、乙两数的最小公倍数是288,

则288=4X9Xbl,

bl=288+36,

解出bl=8。

所以，乙数=4X8=32。

答：乙数是32。

例2已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？

解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b,a<b.

因为这两个数的最大公约数是21,故设a=21al,b=21bl,且(ahbl)=1,

因为这两个数的最小公倍数是126,

所以126=21XalXbL

于是alXbl=6»

解出｛。得

|a=21Xl=21,卜=21X2=42

人|b=21X6=126,1=21X3=63。

因此，这两个数的和为21+126=147,或42+63=105。

答：这两个数的和为147或105。

例3已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。

解：设这两个自然数分别为a与b,aVb.因为这两个自然数的最大公约数是5,故设a=5al,b=5bl,且(al,bl)=b

al<bl»

因为a+b=50,所以有5al+5bl=50,

al+bl=10o

满意(al,bl)=1»al<bl的解有：

「1=1,卜=3

|bl=9,(bl=7.

所以卜=5X1=5卜=5X3=15

[b=5X9=451b=5X7=35

答：这两个数为5与45或15与35。

例4已知两个自然数的枳为240,最小公倍数为60,求这两个数。

解：设这两个数为a与b,aVb,且设(a»b)-d,a-dal,b-dbl,其中(al,bl)-1»

因为两个自然数的积=两数的最大公约数X两数的最小公倍数，

所以240=dX60,

解出d=4,

所以a=4a1»b=4b1.

因为aijb的最小公倍数为60,

所以4XalXbl=60,

于是有alXbl=15.

解出2|bj=15,Ib二j=5o

a=4X1=4ja=4X3=12

所以b=4X15=60巧b=4X5=20。

答：这两个数为4与60或12与20。

例5已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然数。

解：设这两个自然数分别为a与b,a<b,(a,b)=d,a=dal,b=dbl,其中(al,bl)=1。

因为a+b=54,所以dal+dbl=54。

于是有dX(al+bl)=54,因此，d是54的约数。

又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114,

所以dalbl-d=ll4,

于是有dX(albl-1)=114,

因此，d是114的约数。

故d为54与114的公约数。

由于(54,114)=6,6的约数有：1、2、3、6,依据定理3,d可能取I、2、3、6这四个值。

假如d=L由dX(al+bl)=54,有al+bl=54；又由dX(albl-1)=114,有albl=115。

115=1X115=5X23,但是1+115=116354,5+23=28^54,所以dWL

假如d=2,由dX(al+bl)=54,有al+bl=27；又由dX(albl-1)=114,有albl=58。

58=1X58=2X29,1+58=59^27,2+29=31^27,所以dW2。

假如d=3,由dX(al+bl)=54,有al+bl=】8；又由dX(albl-1)=114,有albl=39°

39=1X39=3X13,但是l+39=40W18,3+13=16X18,所以dH3。

假如d=6,由dX(al+bl)=54,有al+bl=9；又由dX(albl-1)=114,有albl=20。

20表示成两个互质数的乘积有两种形式：20=1X20=4X5,虽然1+20=21W9,但是有4+5=9,所以取d=6是合适

的，并有a1=4,bl=5o

a=6X4=24,b=6X5=30。

答：这两个数为24和30。

例5已加两个自然数的差为4,它们的最大公约数与最小公倍数的积为252,求这两个自然数。

解：设这两个自然数分别为a与b,且a>b,a=dal,b=dbl,(al,bl)=1。

因为a-b=4,所以dal-dbl=4,于是有dX(al-bl)=4,因此d为4的约数。

因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的枳为252,所以dXdalbl=252,于是有d2Xalbl=(2X3)2X7,因

此d为2X3的约数。

故d为4与2X3的公约数。

山于(4,2X3)=2,2的约数有1和2两个，所以d可能取1、2这两个值。

假如d=L由dX(al-bl)=4,有al-bl=4；又由d2Xalbl=252,有albl=252。

252表示成两个互质数的乘积有4种形式：252=1X252=4X63=7X36=9X28,但是252-1=251#4,63-4=59#%36-7=29

W4,28-9=19X4,所以d¥l°

假如d=2,由dX(al-bl)=4,有al・b如2：又由d2Xalbl=252,有albl=63。

63表示为两个互质数的乘积有两种形式：63=1X63=7X9,但63-1=6242,而9-7=2,且(9,7)=1.所以d=2,并

且al=9,bl=70

因此a=2X9=18,b=2X7=l4o

答：这两个数为18和14。

在例2〜例5的解答中之所以可以在假设中解除a=b这种情形(在各例中都只假设了aVb),分别是由于:例2和例5,

若a=b,则(a,b)=[a,b]=a,与条件(a,b)#[a,b]冲突:例3,若a=b,则a=b=(a.b)=5,因此a+b=10W50,

与条件冲突：例4,aXb=240不是平方数。

从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中，常常用到的基本关系是：若两

数为a、b,那么a=ald,b=bld,其中d=(a,b),(al,bl)=1,因此[a,b]=dalbl»有时为了确定起见,可设aWb.对

于很多情形，可以解除a=b的情形(如上述所示)，而只假设aVb.

习题四

1.已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。

2.已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数。

3.已知两个自然数的和为165,它们的最大公约数为15,求这两个数。

4.已知两个自然数的差为48,它们的最小公倍数为60,求这两个数。

5.已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数。

6.已知两个自然数的平方和为900.它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432,求这两个自然数.

第五讲同余的概念和性质

你会解答下面的问题吗？

问题1：今日是星期日，再过15天就是“六•一”儿童节了，问‘‘六•一"儿童节是星期几？

这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15+7=2-1,即15=7X2+1,所以“六•一”儿童节是星期一。

问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？

这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7X52+1,所以1994年的元旦应当是星期六。

问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要留意两个整数用某一固定的自然数去

除，所得的余数问题.这样就产生了'‘同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1,那么我们就说15与

365对于模7同余。

同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：

a=b(modm).(*)

上式可读作：

a同余于b,模m。

同余式(*)意味着(我们假设a》b〉：

a-b=mk,k是整数，即ml(a-b).

例如：①15三365(mod7),因为365/5=350=7X50。

②56三20因为56-20=36=9X4。

③90三0(modi。)，因为90-0=90=10X9。

由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a三0(modm)。

例如，表示a是一个偶数，可以写

a=0(mod2)

衣示b是•个奇数，可以写

b=1(mod2)

补充定义：若m(a-b),就说a、b对模m不同余，用式子表示是:

Ab(modm)

我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相像.同余式有如下一些性质(其中a、

b、c,d是整数，而m是自然数)。

性质1：a三a(modm),(反身性)

这特性质很明显.因为a-a=0=m,0。

性质2：若a三b(modm),那么b三a(modm),(对称性

性质3若a三b(modm),b=c<modm),那么a=c(modm)»(传递性)。

性质4：若a=b(modm),c=d(modm),那么a土c三b土d(modm),(可加减性)。

性质5：若a三b(modm),c=d(modm),那么ac三bd(modin)(可乘性)。

性质6：若a=b(modm),那么an三bn(modm),(其中n为自然数)°

性质7：若ac三be(modm),(c,in)=1,那么a三b(modm),(记号(c»m)表示c与m的最大公约数)。

留意同余式性质7的条件(c,m)-1,否则像一般等式一样，两边约去，就是错的。

例如6三10(mo<14),而35(moc4),因为(2,4)工1。

请你自己举些例子验证上面的性质。

同余是探讨自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。

例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

解：V2XX-214=74=37X^f,

工2年三21心(modJ但

•网郎),而3?1154,

A7albo(mod37).

例2求乘积418X814X1616除以13所得的余数。

分析若先求乘枳，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，削减计算量。

解:♦418三2(mod!3),

814=8(mod13),1616三4(modl3),

/.依据同余的性质5可得：

4I8X814X1616三2X8X4三64三12(mod!3)0

答:乘积418X814X1616除以13余数是12。

例3求14389除以7的余数。

分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义卜变

小，然后从低次累入手，重复平方，找找有什么规律。

解法1：V143=3(mo<17)

.•.14389=389(mod7)

V89=64+l6+8+l

而32三2(mod7),

34=4(mod7),

38=16=2(mod7),

316=4(mod7),

332三16三2(mod7),

364=4(mod7)。

；389三364・316•38•3三4X4X2X3三5(mod7),

/.14389=5(mod7)。

答：14389除以7的余数是5。

解法2：证得14389三389(mod7)后，

36-32X34-2X4三I(mod7),

;.384三(36)14三1(mod7)。

.'.389=384•34・3=|X4X3=5(mod7)。

.•.14389三5(mod7)。

例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色变更一次，第一次上下两灯互换颜色，其次次左右两灯互换颜色,

笫二次又上下两灯互换颜色，…，这样始终进行下去.请问开灯1小时四兹灯的颜色如何排列？

一圈白|一

30秒回回30秒

分析与开始第一次第二次解答经视察试验我们可以发觉，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重受

一次，而1小时=60分钟=120X30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120三0(mod4),所以开灯1小时四

盏灯的颜色排列刚好同一起先一样。

例5设自然数N=高，其中a。、ara?、…，a*分别是个位，

十位，…上的数码,再设M=aO+alT----卜an,求证:5=M(mod9)=

分析首先把整数'改写成关于1。的毒的形式,然后利用10三1(mod9)o

证明：VN=anan_i-a1ao

11-1个0］如

=anX100…01ArX100^0+-+^X10+%

=aaX10n+ari.1X10n.l+-+a1X10+ao

又1=1(mod9),