北师版高中数学选择性必修第二册(全一册)课后习题

§1数列的概念及其函数特性

1.1数列的概念

课后训练巩固提升

1.已知数列｛a』，aFf（n）是一个函数，则它的定义域为（）.

A.非负整数集

B.正整数集

C.整数集或其子集

D.正整数集或｛1,2,3,4,…,n｝

答案:|D

2.在数列a„a2,a,…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数构

成一个新数列，则新数列的第49项（）.

A.不是原数列的项B.是原数列的第12项

C.是原数列的第13项D.是原数列的第14项

艇团由竺二二12,知新数列的第49项是原数列的第13项.

----------4

答案:|c

3.（多选题）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称

为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”，如图

所示.

r:以：1H:…

••••/•••

4=1+39=3+616=6+10

（第3题）

观察该图可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个

相邻"三角形数”之和.

下列等式中，符合这一规律的表达式为().

A.25=9+16B.36=15+21

C.49=18+31D.64=28+36

解析这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45,…，且正方

形数是这列数中相邻两数之和，很容易看到：恰有15+21=36,28+36=64.

只有BD正确.

答案:RD

3n+

4.已知数列(aj的通项公式为an={L:差数'则a2a3等于

l2n-2,n为偶数，

().

A.70B.28C.20D.8

11

解析：|由"+L为奇数，得aF2,a3=10,所以a2a3=20.

----(2n-2,n为偶数，

答案:|c

5.在数列6,2,x,2匹，依,2百,…中，x二,该数列的一个通

项公式是；此数列是穷数列.

廨而该数列实际是泥，何遥，西…,故x=〃,通项公式为

an=V2ri,是无穷数列.

答案:&an=V2r无

6.数歹U{a}的通项公式厂1一,则&二;I/1C-3是此数列

nVn-t-vn+J

的第项.

解析:

VV1C-3=\/10-V9=An=9.

vlp+Vs

答案：3-269

7.若数列｛a.J的通项满足也二n-2,则15是这个数列的第

n

项.

解析：由.n-2可知，a=n2-2n,令n2-2n=15,得n=5或n=-3（舍去）.

----nn

答案：5

8.已知数歹"幅』的通项公式为陪㈠）、^，求:

(1)9-3,45；

(2)@2联1,42n.

眼⑴丽（T）叹念

自7）叹看卷

（2）他「尸（一1尸厂11

2(2n-l)+14n-l

2n11

a2n=(-l).

2x(2n)+l4n+l

1.2数列的函数特性

课后训练巩固提升

1.已知数列瓜｝的通项公式是an4,那么这个数列是（）.

n+1

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.以上都不是

22

解析：n-ln+n-(n+n-2)

n+2n+1(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)

Aan+1>an,A｛4｝是递增数列.

答案:|A

2.给出下列说法：

①已知数列EJ,a“=kJ（n£N+）,那么二-是这个数列的第10项，且

n（n+2）120

最大项为第一项；

②数歹（J瓜｝：V2,Vj,2近,旧,…的一个通项公式是a=辰;；

③已知数列｛aj,an=kn-5,且a8=ll,则ai7=29;

④已知为,产式+3,则数列｛aj是递增数列.

其中正确的有（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

亚|对于①，令式二^^二二-二旅期缶二一葭舍去），易知最大项为第

---------n（n+2）12C

一项.①正确.

对于②,数列瓜｝:a,在20；,近,…即为企,遥，我,旧,…，亦为

3X1-1,3X2-1,13X3-1,3X4T…，故a=3n-t②正确.

对于③，an=kn-5,且a8=ll=>k=2=>an=2n-5=>ai7=29.③正确.

对于④，由an+1-an=3>0,易知④正确.

答案：A

3.对任意的a1£(0,1),由关系式a»尸f(a)得到的数列瓜｝满足

an+I>an(nGN(),则函数y=f(x)的图象是().

解析由关系式⑸)得到的数列瓜｝满足anll>an,即该函数y=f(x)

的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象只有A满足,故选A.

答案:八

4.(多选题)对于数列｛“｝,若存在正整数k(k22),使得ak>ak-bak>ak+1,

则称①是数列区｝的“峰值”，k是数列是｝的“峰值点”.在数列瓜｝

中，若4=n+--9,下面哪些数不能作为数列｛an｝的“峰值

n

点”().

A.2B.3

C.6D.12

解析：|因为a„=n+--9,所以

n

___1C__12_5_6_3C_11_6C

d1—0A,d2-3o,d3---,31-3o,45---,%--，a7--,311---,di2---,曲3---，只有

353711313

@3%,染>即所以“3”是“峰值点”，其他选项不是.故选ACD.

答案：|ACD

5.已知数列｛an｝,an=a”+m(a>0,nWN),满足ai=2,a2=4,贝ij｛an>是

数列.(填“递增”或“递减”)

3^=a+m=2,

解析:

a2=a2+m=4,

(舍去).•,F2、

・・・｛aj是递增数列.

|答案：|递增

2

6.己知数列(an),an=n-kn(n£N.),且｛an｝为递增数列，则k的取值范围

是.

解近2ali+「a产(n+l)2-k(n+l)-n，kn=2n+l-k,又｛aj为递增数列，故应

有即2n+l-k>0恒成立,分离参数得k<2n+l,故只需k<3即

可.

答案：|(-8,3)

7.己知数列｛a｝的通项为,画出数列的图象.

n

(l)an=(-l)X2;

(2)a,=2n-4;

⑶小铲1

画如图,

2

O12345n

⑴一2

a„

8

6

4

2

123456

⑶

(第7题)

8.已知数列｛aj,a”=―~;(neN>,a£R,且aWO).

a+2(n-l)

(1)若a=-7,求数列｛aj中的最大项和最小项的值；

⑵若对任意的ne\+,都有a“W所成立,求a的取值范围.

解］⑴Va=-7,.\an=l+^;(neN+).

结合函数f(x)=l--的单调性，

2x-9

可知l>ai>a2>a3>ai,a5>a«>a7>--->an>l(nEN().

J数列｛%｝中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.

11

(2)a„-1+■■=1+-,

28

a+2(n-1)n

2

由对任意的n£N.,都有成立，

⑴..・a=-7,・・・/=1+土(nGN+).

i

结合函数f(x)=l+百的单调性，

可知1>41>也>43>a1,%>a>47>?>%>1(n£N+).

工数列｛aj中的最大项为期二2,最小项为小二0.

1

一2

1

(2)a„=l+a+2(n-l)=l+

由对任意的n£N+,都有成立，

i

-i-z2-a

结合函数f（x）=1+x-竽的单调性，可知5<三<6,Bp-10<a<-8,故a的取值

范围为（-10,-8）.

2.1等差数列的概念及其通项公式

第1课时等差数列的概念及其通项公式

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1.在等差数列瓜｝中,2an+I=2an+l,则公差为（）.

A.2B.±-C.-D.--

222

解析:匕.an.「al,・••公差为二

----------22

答案:C

2.在等差数列｛/｝中，aF-,a+a=4,a,=33,则n为().

325

A.48B.49C.50D.51

瓯设等差数列｛4｝的公差为d.

・42+25=ai+d+ai+4d=4,

12

・・・2ai+5d=4.〈a尸,・・・d-,

33

/.a=ai+(n-1)d—+(n-l)X-=33.

n33

•\n=50.

答案:|c

3.在等差数列｛a-中，a2=-4,出刊+8,那么a】=().

A.-9B.-8C.-7D.-6

解近・..公差d二士工4,

/.a1=a2-d=-4-4=-8.

答案:|B

4.已知{aj为等差数歹U,且a厂2a”=T,a3=0,则公差d=().

A.-2B.一C.-D.2

22

解析:匕。a3=0,

/.a厂2a产&?+4(1-2(a3+d)=2d=-l,

/.d=±

2

答案:|B

5.在数歹ij{aj中，a=3,且对任意大于1的正整数n,点(后囚］在

直线x-yW3=0上，则().

A.an=3nB.a,=\43r

z

C.an=n-V3D.ar=3n

解析:仃点5二)在直线x-y-V3=0上，

_J'n-l=73,

即数列｛向｝是首项为由,公差为次的等差数列.

2

二.数列｛«、｝的通项公式为=6+(n-1)V3=,V3n,:.an=3n.

答案:|D

6.已知数列｛aj满足an+l=an+1,a1=2,则

也0=；=•

解析:卜an+1-an=l,

・,・数列(aj是等差数列，公差为

1,a2o=ai+19d=2+19=21,an=2+(n-l)Xl=n+l.

答案：|21n+1

7.已知递增的等差数列瓜｝满足ai=l,a3=ai-4,则

an=.

解析:|设等差数列的公差为d,则d>0,

22

由a3=a|-4,得l+2d=(l+d)-4,即d=4,

・・・d=2(d=-2舍去)，

/.an=2n-l.

答案：|2n-l

8.已知数列｛aj满足a.4&计尸告.

(1)求证:数歹〃£｝是等差数列；

an

⑵求数列｛aj的通项公式.

(1)|证明|由题可得二一=工+3,即二---3,

an+ianan+ian

・・・数歹"三｝是以3为首项,3为公差的等差数歹人

an

・_1

⑵见由(1)可得23+3(n-l)=3n,•.a”—.

an3n

9•已知数列'满足

⑴数列是不是等差数列?请说明理由.

⑵求数列｛&J的通项公式.

函(1)数歹是等差数列.理由如下:

因为d]=2,an+]3j

an+2

所以上=乎=三+3

a

n+i2an2an

所以二----=

an+ian2

即[2]是首项为工=：,公差为d」的等差数歹(J.

<anJax22

(2)由⑴可知，工=-+(n-l)d==,所以an4

anai2n

2.1等差数列的概念及其通项公式

第1课时等差数列的概念及其通项公式

课后训练巩固提升

1.在等差数列｛a』中,2a32%+l,则公差为().

解析：•.,an+「aC,・•.公差为士

-----22

答案:|c

2.在等差数列｛an｝中，ai4a2+a5=4,a=33,则n为().

3

A.48B.49C.50D.51

解晅设等差数列｛a,J的公差为d.

•也+85=ai+d+ai+4d=4,

12

.\2a+5d=4.V=,Ad==,

1ai33

.•・an=ai+(nT)d="+(n-l)X-=33.

33

/.n=50.

答案:|c

3.已矢口等差数歹ij｛aj中，电二一4,%=&+8,那么由=().

A.-9B.-8C.-7D.-6

解析:仃公差d二生二丕4,

-------2

/.ai=a2-d=-4-4=-8.

答案:|B

4.已知瓜｝为等差数列，且a-2a.=-l,a3=0,则公差d=().

A.-2B.二C,-D.2

22

解析:匕加=0,

/.a7-2ai=a3+4d-2(a3+d)=2d二一1,

・・・叶

答案：B

5.在数歹lj{aj中，a尸3,且对任意大于1的正整数n,点（后,）在

直线x-y^/3=0上，则（）.

A.二3n

—

C.ctn—nD.a.t—3n-

ggv点(凤&二)在直线x-y-V3=0上，

'■一&7=国

即数列｛后｝是苜项为点,公差为W的等差数列.

J数列｛>/可｝的通项公式为J醛=V34-(n-l)x/r3=V3n,a,,=3n2.

答案:|D

6.已知数列｛an)满足an+l=an+i,a尸2,则

220=；3n_•

解析：|：an+i-an=l,

・,・数列(an｝是等差数列，公差为

1,a2o=ai+19d=2+19=21,an=2+(n-l)X1=n+1.

答案：|21n+1

7.已知递增的等差数列瓜｝满足a.=l,a3=al-4,则

@n=•

近I设等差数列的公差为d,则d>0,

2

由a3=^-4,得l+2d=(l+d)2—4,即d=4,

・・・d=2(d=-2舍去),

an=2n-l.

答案：|2n-1

8.有两个等差数列2,6,10,-,及2,8,14,-,由这两个等差数列的公

共项按从小到大的顺序组成一个新数列值)，求新数列｛4｝的通项公

式.

画记这两个数列分别为｛bn｝与｛cn｝,

则bn=2+4(n-l)=4n-2,cn=2+6(n-l)=6n-4,

由bp=cq(p,q£N+),得4P-2=6q-4,

・・・p二qZ,当且仅当q为正奇数时,等式成立，

2

=—

••a,nC2n-i~12n10.

9.已知数列｛aj满足a尸2,尸卫J

2n+2

(2)求an.

画(1)数列今)是等差数列,理由如下:

2

因为a尸2,an(i=-^-,

an+2

所以二-=也上=二+二

a

n+i2ali2an

所以二-----=

an+ian2

即是首项为==公差为dW的等差数列.

lanJat22

⑵由⑴可知，==—+(n-l)d=-,所以an=-.

ann2n

第2课时等差数列的性质及等差中项

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A组

1.已知数列EJ是无穷数列，则"2a2=ai+a」是“数列瓜｝为等差数

列”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：|若“数列｛aj为等差数列”成立，必有“2a?二a"：」'，而仅有

“2a2=a+a：J成立，不能断定“数列为等差数列”成立，必须满足

对任何的n£N+,都有2aXan+a»2成立才可以，故"2a?%+a3”是“数

列｛&J为等差数列”的必要不充分条件.

答案:|B

2.在等差数列｛aj中,已知a4+a8=16,则a2+a10=().

A.12B.16C.20D.24

船团因为数列｛a』是等差数列，

所以a2+aio=a.i+as=16.

答案:|B

3.(多选题)下面是关于公差d>0的等差数列｛4｝的四个说法,正确的

是().

A.数列｛aj是递增数列B.数列｛naj是递增数列

C.数列｛字)是递增数列D.数列瓜+3nd｝是递增数列

解近小项中，・・・EJ是等差数列，且d>0,

/.an=ai+(n-l)d=dn+a-d,

・・・｛aj是递增数列，故A正确;

B项中，nan=nai+n(n-l)d=dn2+(a.-d)n.

不一定为递增数列，

如当ai=-3,d=l时，

=

nann-4n,2a2=-4<-3二a］，

・・・｛naj不是递增数列，・・・B错误;

c项中，退d+H,当ai-d>0时,［九］为递减数列,C错误；

nnInJ

D项中，an+3nd=4nd+ai-d,4d>0,｛an+3nd)是递增数列,D正确.故选AD.

答案:加)

4.在等差数列｛aj中，a•a3=8,a2=3,则公差d的值为().

A.1B.-l

C.±1D.±2

解析:丁a2=3,/.ai+a3=6,

**,•。3=8,

喏二f或《二，

，d=±L

答案:|c

5.已知等差数列瓜｝满足:a3=13,a13=33,则数列｛a,,｝的公差为().

A.1B.2C.3D.4

麻布等差数列｛atJ的公差d=啜亭=陪2,故选B.

-----13-310

答案:|B

6.若一个三角形的三个内角NA,NB,NC成等差数列，则

tan(A+C)=.

解析:卜ZA,ZB,ZC成等差数列，

・・・2NB=NA+NC.

又NA+NB+NC=n,

A3ZB=IT,/.ZB==.

3

・・・NA+NC哼

/.tan(A+C)=tan^=-\/3.

ms

7.在等差数列｛aj中，若a3-a1+a5-a6+a7=100,则a5=.

解析:丁as+a产a，i+a6,;•23-ai+ala(；+a7=Es+a；)-(a，i+a)+a§=a^lOO.

答案：|100

8.若三个数成等差数列，它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积

为.

储而设这三个数分别为a-d,a,a+d,

a-d+a+a+d=9,

((a-d)+a2+(a+d)=59.

解得｛:二:'或｛:二】所以这三个数分别为T,3,7或7,3,-1.它们

的积为-21.

答案:卜21

9.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,求m和n的

等差中项.

画由题意得2n=&,

一(2m+n=10,②

①+②，得3(m+n)=18,

m+n=6,

Am和n的等差中项为詈:3.

10.在等差数列｛an｝中，已知a2+a5+as=9,a3asa7=-21,求该数列的通项公

式.

Va2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,

a-z+ag=a：,+a7=2a.力

••@5=3.

(方法一)・・・a3+ak2a5=6,①

a.3•a?=一7,②

由①②解得a3=-l,出=7或a3=7,a7=-l.

当a3=-l时，d=2;当期=7时，d=-2.

由an=a3+(n-3)d,

得an=2n-7或an=-2a+13.

(方法二)a3•a7=-7,

A(a5-2d)(a5+2d)=-7,

A(3-2d)(3+2d)=-7,解得d=±2.

若d=2,则an=a5+(n-5)d=3+2(n-5)=2n-7;

若d=-2,则an=as+(n-5)d=3-2(n-5)=13-2n.

/.an=2n-7或an=-2n+13.

B组

1.下列说法正确的个数是().

①若a,b,c成等差数列，则a2,b2,c?一定成等差数列；

②若a,b,c成等差数列，则2\2：若可能成等差数列;

③若a,b,c成等差数列，则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;

④若a,b,c成等差数列，则二AJ可能成等差数列.

abc

A.4B.3C.2D.1

解析：|对于①,取a=l,b=2,c=3=>a2=l,b2=4,c2=9,①错误.

对于②,a=b=c=>2a=2l-2(,②正确.

对于③，;a,b,c成等差数列，・・・a+c=2b.

(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),③正确.

对于④,a=b=c^O=>-=i=-,

abc

④正确.综上可知选B.

答案:|B

2.已知数列瓜｝的首项为3,仇｝为等差数列，且bR“「a”(n£M).若

bs--2,bio—12,则48=().

A.0B.3C.8D.11

砸|设数列｛匕｝的首项为bb公差为d.

由b3=-2,bio=12,

i+2d=-2,

得解得bi=-6,

1+9d=12,(d=2.

所以bn=-6+2(nT)=2n-8.

因为bn=an+i-an,

所以

Ha—(③-a?)+(a--SG)+(a@-a)+(a「a)+(a「a3)+(a?-a2)+(&-aj+ai=b?+bG+

bs+…+b1+a尸(6+4+2+0-2-4-6)+3=3.

答案:|B

3.下面表格中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果表格中所有数

之和等于63,那么比2=().

a.”342CL13

3.513-523.53

%2

A.2B.8C.7D.4

瓯口因为第一行三个数成等差数列，

所以a4i+ai2+ai3=3a.i2,

问理,851+@52+853=3a52,@61+862+%3=3a62,

又每列也成等差数列，所以aQm+强-3a必

所以341+4.12+a13+451+立52+453+&1+@62+863=3@12+3452+3@62=3X3a52=63,

所以加工7,故选C.

答案|c

4.在4ABC中，三个内角A,B,C成等差数列,则NB等于,ac

与b?的大小关系是.

B

瓯］由已知得-=—>解得B-.

在△ABC中，bJ=a2+c2-2accos^=a2+c2-ac,

3

所以b2=a2+c2-ac>2ac-ac=ac.

答案:Eb2^ac

5.在等差数列｛a/中，已知a1,“是函数f(x)=x2-10x+16的两个零点,

贝U—%o+也()+或0=•

解析：由题意，知a1,a99是方程X2-10X+16=0的两根，则ai+a^=10.

又因为｛①｝是等差数歹U,

所以吟—5

^-a+a+a8=-a50=-X5=—.

250200222

----------2

6.已知5个数成等差数歹U,它们的和为25,它们的平方和为165,求这

5个数.

解：|设这5个数依次为a~2d,a-d,a,a+d,a+2d,

由题意可得

(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=25,(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d

产二165,解得a=5,d=±2.

所以这5个数为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.

7.已知数列｛a』满足a尸1,4产田+厂入)a*n=l,2,・・・)，人是常数.

(1)当a2=-l时，求人及@3的值.

⑵是否存在实数X使数列为等差数列？若存在，求出入及数列

｛4｝的通项公式;若不存在,请说明理由.

2

曜］⑴Van+i=(n+n-X)an(n=l,2,•••),且a尸1,

...当a2二一1时，得一1二2-入，故入=3.

/.a3=(22+2_3)X(-J)=-3.

⑵不存在实数入使数列｛aj为等差数列.

2

理由如下:Vai=l,aB+i=(n+n-X)an,

a2=2-入，a3=（6_入）（2-入），a.i=（12-入）（6-入）•（2-入）.

若存在入，使｛an｝为等差数列，则aa-a2=a2-ab

**.（5_入）（2-入）=1-入,解得人=3.

/.a2-ai=l-入=-2,a厂@3二（11一人）（6一人）（2一人）=—24.

这与EJ为等差数列矛盾，

.•.不存在人使｛a｝是等差数列.

2.2等差数列的前n项和

第1课时等差数列的前n项和

课后训练巩固提升

1.设Sn为等差数列｛aj的前n项和,若at=l,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k

等于（）.

A.8B.7C.6D.5

解析：：

Sk+2-Sk=ak+"k+2=ai+kd+ai+（k+1）d=2a1+（2k+l）d-2Xl+（2k+l）X2=4k+4

二24,

・・・k=5.

答案:|D

2.已知等差数列｛a』的前n项和为S“，且SL6,a1=4,则公差d等于

（）.

A.1B.-C.-2D.3

3

解析：|由题意,得6=3a1+-X3X2Xd,又ai=4,

----------2

故d=-2.

答案:|C

3.已知等差数列｛aj的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化

时,az+as+a”是一个定值，则下列各数中也为定值的是().

A.S7B.S8C.S13D.SI5

解析：由已知a2+a8+aii=3aI+18d=3(ai+6d)=3a7,且为定值，则

Si13(a^a13；13a7>且为定值，故选c.

2

答案:|c

4.设出为等差数列｛aj的前n项和，S3=4a3,比=-2,则a9=().

A.-6B.-4

C.-2D.2

丽俨=473al+3d=4al+8d,（药=10,

a1+6d=-21d=~2.

-------la7=-2

故a9=ai+8d=-6.

答案中

5.已知等差数列｛aj共有10项，其中奇数项之和为15,偶数项之和为

30,则其公差是().

A.5B.4C.3D.2

偏硒设公差为d,

帽1+15,

++%+函+a[o=30,

.\5d=15,Ad=3.

答案:|c

6.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若士二2,则星的值

a

4S7

为.

a-44□

画I悭=石火=吟上

-----------1s7汽％<77a47

-----------'7

7.设数列｛a｝的前n项和为S”点(n,5S)(nEN+)均在函数y=3x-2的图

n

象上,则数列｛an｝的通项公式为.

解析：|依题意得,随3n2,即Sn=3n/2n.

-----------n

22

当n，2时,an=Sn-Sn-i=(3n-2n)-[3(n-l)-2(n-l)]=6n-5.

因为ai=Si=l,满足an=6n-5,所以an=6n-5(n£N+).

答案：四二6。-5(n£N+)

8.已知数歹U｛an｝满足a1+2a/…+nan=n(n+l)(n+2),则

解析：|由a1+2a2+・・・+na”=n(n+l)(n+2),①

得a1+2a2+・・・+(n-l)a„-i=(n-l)n(n+1),②

由①-②，得

nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),

an=3(n+l)(n>2).

当n=l时,a,=lX2X3=6,也适合上式,

/.an=3(n+1),n£N+.

答案：|3(n+l)

9.己知数列｛an｝是等差数列,a2=5,a5=14.

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

(2)设数列瓜｝的前n项和Sn=155,求n的值.

蚯⑴设等差数列｛an｝的公差为d,首项为ab

则1al+d=5,.俨=2,

“卜+4d=14,Id=3.

二.数列｛an｝的通项公式为an=3n-l.

⑵数列⑸｝的前n项和柞*曲.

由手121n=155,可得n=10(n=舍去)

10.已知公差大于零的等差数列｛a｝的前n项和为S“，且满

足:a3a尸117,a2+a5=22.

(1)求数列｛a“｝的通项公式

⑵若数列依｝是等差数列，且bn口,求非零常数C的值.

n+c

画⑴设等差数列区｝的首项为ab公差为d,且d>0.

a3+a.i=a2+a5=22,又a3a产117,

公差d>0,.-.a3<a4,

•♦a3=9,a.j~13.

・[药+2d=9,・[a]=

%+3d=13,"Id=4,

/.an=4n-3.

(2)由(1)知,Sn=nXl^^X4=2n-n,

2

Ab=-^-=—.

n+cn+c

.,_1i_6._15

.・bi------,b------,b------.

l+c224<33+c

・・・｛bj是等差数歹%・・・2b2=bi+b3.

2c2+c=0.

，c二二或c二0(舍去).

经检验,知c=一符合题意，故c=4

22

2.2等差数列的前n项和

第1课时等差数列的前n项和

课后训练巩固提升

1.设S0为等差数列｛aj的前n项和，若a尸1,公差d=2,S-S=24,则k

等于().

A.8B.7C.6D.5

解析：・・・

Sk+2-Sk=ak+i+ak+2=ai+kd+a】+(k+1)d=2a1+(2k+l)d=2X1+(2k+l)X2=4k+4

=24,

/.k=5.

答案:|D

2.已知等差数列｛a3的前n项和为柞,且Ss=6,a尸4,则公差d等于

).

A.1B.-C.-2D.3

解析］由题意,得6=3a,+1X3X2Xd,又a尸4,

故d=-2.

答案:|c

3.已知等差数列｛aj的公差为d,前n项和为Sn,当首项ai和d变化

时,a2+a8+aH是一个定值,则下列各数中也为定值的是().

A.S?B.S&C.S13D.Sis

解析：由己矢口az+as+a”=3ai+l8d=3(a1+6d)=3a7,且为定值，贝!J

3a%且为定值,故选C.

2

答案:|c

4.设出为等差数列｛aj的前n项和，S3=4a3,a7=-2,则a9=().

A.-6B.-4

C.-2D.2

S3=4a3,(3at+3d=4al+8d,=10,

a7=—2冉+6d=-21d=-2.

故a9=ai+8d=-6.

答案:k

5.已知等差数列｛aj共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为

30,则其公差是().

A.5B.4C.3D.2

布布］设公差为d,

则停+a3+as+87+89=15,

+%+%+函+鱼。=30,

.*.5d=15,/.d=3.

答案:|c

6.设S“是等差数列-｝的前n项和，若广，则记的值

为

解析:逼=等^13_13a7_2€

手X7=式=5

|答案:甘

7.设数列｛4｝的前n项和为Sn,点（n,包）（nEN.）均在函数y=3x-2的图

n

象上，则数列｛an｝的通项公式为.

2

解析：|依题意得,包=3n-2,即Sn=3n-2n.

---------n

22

当n22时,an=Sn-Sn-i=(3n-2n)-[3(n-l)-2(n-1)]=6n-5.

因为a产Si=l,满足an=6n-5,所以an=6n-5(neN+).

答案：an=6n-5(n£N)

8.已知数歹！J｛an)满足ai+2a2+---+nan=n(n+l)(n+2),则

解析：|由ai+2a2+---+natFn(n+1)(n+2),(T)

得a,+2a2+---+(n-1)an-i=(n-l)n(n+1),(2)

由①-②得

nan=n(n+1)(n+2)-(aT)n(n+l)=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),

an=3(n+1)(n22).

当n=l时，叫=1X2X3=6,也适合上式，

an=3(n+1),n£N+.

答案：|3(n+l)

9.已知数列｛a#是等差数列，a2=5,a5=14.

(1)求数列｛&J的通项公式；

(2)设数列｛4｝的前n项和S=155,求n的值.

匣(1)设等差数列瓜｝的公差为d,首项为

则｛MS上落嘴二音

・••数列｛4｝的通项公式为a„=3n-l.

(2)数列圆｝的前n项和sA2+-n.

22

由弓n=155,可得n=10(n=-3舍去)

10.已知公差大于零的等差数列｛a｝的前n项和为监且满

足,：2迅产117,a?+a5=22.

(1)求数列｛a“｝的通项公式引；

⑵若数列｛bn｝是等差数歹IJ,且bnA,求非零常数C的值.

n+c

噩(1)设等差数列缸｝的首项为ab公差为d,且d>0.

a?+a产a?+a广22,又a3a产117,

公差d>0,.,.a3<a.b

・・43=9,a，i=13.

.(a1+2d=9,.01=1,

**U1+3d=1.3,*'(d=4,

an=4n-3.

(1)2

(2)由(1)知,Sn=r)Xl+°^X4=2n-n,

.・.心=组.

n+cn+c

.,_1_615

•«bi--,u02--,b：3—-.

l+c2+c3+c

•・・{bj是等差数歹I]".2b2=b+b3.

/.2C2+C=0.

或c=0(舍去).

经检验，知c=折合题意，故.今

第2课时等差数列前n项和的性质

课后训练巩固提升

A组

1.已知等差数列｛&J的前n项和为Sn,若S2=4,S产20,则该数列的公差

d=().

A.7B.6C.3D.2

解析：S4-S2=as+a.i=20-4=16,S2=ai+&,

/.(a3+ai)-(ai+a2)=16-4=4d,/.d=3.

答案:|c

2.已知数列瓜｝是等差数列，且a2=-8,a15=5,S”是数列｛an｝的前n项和,

则().

=

A.SioSnB.Sio>SuC.S9=SD.S9<Sl0

解析丝=9=1,Aan=n-10.

令3n—0,得n—10,即aio~0./.Sg—Sio.

由d-1,得an=l,故Sn>Sio.

答案:|c

3.己知等差数列｛an｝的前n项和为出，若S3=9,S6=36,则

a?+as+a9=().

A.63B.45C.36D.27

瓯］・・•数列｛4｝是等差数歹U,也是其前n项和，

・・&S6-S3,S96成等差数列.

VS3=9,S6-S3=27,AS9-S6=45.

•a^+ag+ag=S9—Se,・•&?+@8+29=45.

答案:|B

4.已知等差数歹！］｛4｝的前n项和为柞,若Ss=-6,S『Skl8,则

S18~.

解析:匕S3=a1+a2+a3=-6,

Si8-Si5=ai8+ai7+ai6=18,

••(a)+ai8)+(也+&7)+(a3+ai6)=12.

18(airHaia：

即a.+a.sM,ASl8--36.

2

答案：|36

5.已知等差数列瓜｝的前n项和为Sn,Slo=O,S15=25,WJS”的最小值

为

曲二由得］%i+45d=0,

aln(n1)22

解得1,2ASn="3n+---="(n-10n)=-(n-5)—.

|d=,23333

・••当n=5时,出有最小值-三.

3

6.已知等差数列瓜｝的前n项和为Sn,且a-a2=8,出+的二26,记若

存在正整数M,使得对一切正整数n,Tn^M都成立，则M的最小值

是.

解析:,**31—3.2~8,••明-@3=8.

又23+@5=26,工@3=9,@5=17.

・，・a,=4n-3,Sr""：”"一干(2nT).

・・.包=^11=2-,.\T=2-<2.

n2nnn

・・・MN2,的最小值为2.

答案：|2

7.在等差数列区｝中，a10=18,前5项的和SLT5.

(1)求数列｛aj的通项公式；

⑵求数列｛&J的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值.

圃(1)设｛aj的首项、公差分别为a,d.

，an=3n-12.

(2)S,r—ai-p-=-(3n-21n)=^(n—)2—,当n=3或n=4时，前n项的

.22228

和取得最小值,且最小值为T8.

8.已知数列｛4｝为等差数列，其前n项和为Sn,且S产-62,S6=-75.

⑴求｛an｝的通项公式及前n项和出；

⑵求+|az|+…+|ai］的值.

画⑴设等差数列｛an｝的公差为d,

则伊+6d=-62,解得卜「20,

(6药+15d=-75,(d=3,

2

/.an=3n-23,Sn=-n--n.

22

⑵由an=3n-23,得

当nW7时，aWO,当n>7时，a)0,

*,e+_

Iai|+1@21+•••+1|=-(ai+a2++a7)+(as+ag+^^+ai.i)=-S7Si4-S7-Si42S7=

147.

B组

1.已知数列｛a｝的前n项和为Sn,且an=-2n+l,则数列｛?)的前11项和

为().

A.-45B.-50C.-55D.-66

丽7|・・§二°—旬二中,.,•延一小其前11项和为门」”.]])二一66,

----2n2

.・・｛，］的前11项和为一66.

答案:|D

2.已知｛①｝为等差数列，若如<7,且它的前n项和出有最大值，则当

a10

S”取得最小止值时,n=().

A.11B.19C.17D.21

解析：|<Sn有最大值,・•・｛an)的公差d<0.

/.an<0,aio>O,/.aio+an^O.

aic

・・・S,—2°31A*OL)(0,s/a+a1g)=］如0〉0.

22

・••当Sn取最小正值时,n=19.

答案:卜3

3.若数列｛4｝的前n项和Sn=3n-2n2(n£N.),则当n22时,下列不等式

成立的是().

A.Sn>nai>nanB.St>nan>nai

C.nai>Sn>nanD.nan>Sn>nai

1(Si，n=1,［1,n=1,

解析：由解得a=|

----(sn-sn-rn-n(5-4n,n>2,

2

所以an=5-4n,所以nai=n,nan=5n-4n.

因为

22222

na-Sn=n-(3n-2n)=2n-2n=2n(n-1)>0,Sn-nan=3n-2n-(5n-4n)=2n-2

n>0,所以nai>Sn>nan.

答案:|c

4.己知等差数列｛a｝的前n项和为Sr,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则

n=().

A.12B.14C.16D.18

On]Sn-SIl-4=aI1+an-1+an.2+an-3=80,

Sl=ai+a2+a3+a4=40,

所以4(ai+an)—120,即30,

由Sn-弛,'也210,得n二14.

2

答案:|B

5.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则

比=；Sn的最小值为.

画］设首项为④，公差为d,

由题意得H=%+&=.3,解得上］=-4,

(S5=5%+10d=-10,(d=1,

所以a5=a1+4d=0.

an=ai+(n-l)d=n-5.

令anWO,则nW5,即数列｛a#中前4项为负,a5=0,第6项及以后的项

为正.

故S”的最小值为SLS产-10.

答案：|o-io

6.已知首项为正数的等差数列的前n项和为S”，且S3二Ss,当n二

时,权取到最大值.

解析：:S3=Sg,，S「S3=a4+a5+a6+a7+&=5a6=0,，3«=0.

♦a）。，♦・a】>a2>a3>ai>a5>a6=0,a?<0.

故当n=5或n=6时，Sn最大.

答案：|5或6

7.已知项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44,偶数项之和为33,

求这个数列的中间项及项数.

团设等差数列共(2n+l)项,则奇数项有(n+1)项，偶数项有n项，中间

项是第n+1项,记为an+1,设公差为d,

奇=%4%+%+…+a,2n+l=44,

[s偶=02+04++…2n=33,

=

S奇-S^-ai+nd-an+i11,

即中间项a*ll.

又S2n+i=S奇+S偶=77,

・(2n+l)(<2i+an+i)(2n+l)02a_„„

••-------------------2-------=-----------------n--+-1--(I,

22

・・・(2n+l)Xll=77,・・-2n+l=7,

即数列的中间项为11,这个数列共7项.

8.己知数列{a}的前n项和为权,数歹I{aj为等差数列,a尸12,d=-2.

(1)求出,并画出⑸}(l〈nW13)的图象；

⑵分别求使S“单调递增、单调递减的n的取值范围，并求S“的最大(或

最小)的项;

(3){Sj有多少项大于零？

w(1)2

^(1)S„=na1+^y^d=12n+^X(-2)=-n+13n.图象如图.

SR

・・・当n=6或7时,二最大;当1Wn<6时,S“单调递增；当n，7时,S“单

调递减.

Sn有最大值,最大项是S6,S7,S6=S7=42.

⑶由图象得｛Sj中有12项大于零.

3.1等比数列的概念及其通项公式

第1课时等比数列的概念及其通项公式

课后训练巩固提升

1.已知数列是等比数列，出二2,比上,则公比q=().

4

A.-1B.-2C.2D."

22

解析：|丁q）豆=Aq=".

-----a2g2

答案:|D

2.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于（）.

A.-24B.O