初高中衔接数学新人教版-衔接点11 从k值和抛物线对称轴到函数的单调性（解析版）

衔接点11从k值和抛物线对称轴到函数的单调性【基础内容与方法】1．提出问题：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？答案：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大；乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小；丙图中，在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．2．知识引入（1）定义域为I的函数f(x)的增减性（2）单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．知识点晴利用定义证明函数单调性的步骤指出：理解函数的单调性在引入x1，x2要注意的问题．(1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换；(2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2；(3)同属一个单调区间．类型一：函数单调性的证明例1：利用单调性的定义，证明函数y＝eq\f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1＋2,x1＋1)－eq\f(x2＋2,x2＋1)＝eq\f(x2－x1,x1＋1x2＋1)，∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴eq\f(x2－x1,x1＋1x2＋1)>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．∴y＝eq\f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．类型二：利用函数的单调性来求取参数的范围例2：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是________．解析：由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<1－a<1，,－1<2a－1<1))解得0<a<1．①又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，∴1－a>2a－1.即a<eq\f(2,3)．②由①②可知，0<a<eq\f(2,3)，即所求a的取值范围是(0，eq\f(2,3))．[答案](0，eq\f(2,3))．考点练习一1．设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有()A．a≥eq\f(1,2)B．a≤eq\f(1,2)C．a>－eq\f(1,2)D．a<eq\f(1,2)解析：选D∵f(x)在R上是减函数，故2a－1<0，即a<eq\f(1,2).2．函数y＝eq\r(x＋1)的单调递增区间为________．解析：∵x＋1≥0，∴x≥－1，∴函数y＝eq\r(x＋1)的单调递增区间为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)．3．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围为________．解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x－2≤1,－1≤1－x≤1))，解得1≤x≤2①.因为f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，所以x－2<1－x，解得x<eq\f(3,2)②.由①②得1≤x<eq\f(3,2)．[答案]eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))．4．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．解析：∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．又∵已知f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴1－a≥4，即a≤－3.∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]．5．求证：函数y＝eq\f(1,x－1)在区间(1，＋∞)上为单调减函数．证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则y1－y2＝eq\f(1,x1－1)－eq\f(1,x2－1)＝eq\f(x2－1－x1－1,x1－1x2－1)＝eq\f(x2－x1,x1－1x2－1).∵x2>x1>1，∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，∴eq\f(x2－x1,x1－1x2－1)>0∴y1>y2∴函数y＝eq\f(1,x－1)在区间(1，＋∞)上为单调减函数．6.画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．解析：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1x≥0,－x2－2x＋1x<0))，函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞]．7.设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．解析：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．∵2a2＋a＋1＝2(a＋eq\f(1,4))2＋eq\f(7,8)>0，2a2－2a＋3＝2(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(5,2)>0，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，即3a－2>0，解得a>eq\f(2,3)，根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在[－3,1]上单调递增．考点练习二8．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]解析：如图，显而易见[－3,1]为单调递增区间，故选C．9．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝eq\f(a,x)在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∩(0,1)C．(0,1) D．(0,1]解析：选D因为g(x)＝eq\f(a,x)在区间[1,2]上是减函数，所以a>0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0,1]．10．若f(x)在R上是减函数，则f(－1)________f(a2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．解析：∵f(x)在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1<x2均有f(x1)>f(x2)．又∵－1<a2＋1，∴f(－1)>f(a2＋1)．答案：>．11.求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3|x|；(2)f(x)＝|x2＋2x－3|.解析：(1)f(x)＝3|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≥0，,－3x，x<0.))图象如图所示．f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1].12．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间(eq\f(1,2)，1)上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝eq\f(a－1,2)且在区间(eq\f(1,2)，1)上是增函数∴eq\f(a－1,2)≤eq\f(1,2)，即a≤2.答案：(－∞，2].13．函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3，2)和(1，－2)，则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是________．解析：∵f(x)是定义域上的减函数，f(－3)＝2，f(1)＝－2，∴当x>－3时，f(x)<2，当x<1时，f(x)>－2，则当－3<x<1时，|f(x)|<2.答案：(－3,1).14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3－3a，x<0,－x2＋a，x≥0))满足对任意的x1，x2∈R，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，求a的取值范围．解析：由对任意的x1，x2∈R，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0知函数f(x)在R上为减函数．当x<0时，函数f(x)＝－x＋3－3a为一次函数，且为减函数，则此时f(x)>f(0)＝3－3a；当x≥0时，函数f(x)＝－x2＋a为二次函数，也为减函数，且有f(x)≤f(0)＝a.要使函数f(x)在R上为减函数，则有a≤3－3a，解得a≤eq\f(3,4).15．讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(－1<x<1，a≠0)的单调性．解析：设－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(ax1,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(ax2,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(ax1x\o\al(2,2)－1－ax2x\o\al(2,1)－1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(ax1x2x2－x1＋ax1－x2,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(ax2－x1x1x2－1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1).∵－1<x1<x2<1，∴xeq\o\al(2,1)－1<0，xeq\o\al(2,2)－1<0，x2－x1>0，x1x2－1<0，∴eq\f(x2－x1x1x2－1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)<0，∴当a>0时，f(x1)<f(x2)，f(x)为增函数．当a<0时，f(x1)>f(x2)，f(x)为减函数．16.已知y=f（x）是定义在（－∞，+∞）上的奇函数，且在［0，+∞）上为增函数，（1）求证：函数在（－∞，0）上也是增函数；（2）如果f（）=1，解不等式－1＜f（2x+1）≤0.（1）证明：设x1、x2是（－∞，0］上任意两个不相等的实数，且x1＜x2，则－x1，－x2∈［0，+∞），且－x1＞－x2，Δx=x2－x1＞0，Δy=f（x2）－f（x1）.∵f（x）是奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，－x1＞－x2，∴f（－x1）＞f（－x2）.又∵f