数值分析（第2版）课件6.4 高斯型求积公式

6.4高斯型求积公式（1）曲绍波12正交多项式是满足正交性的多项式序列，具备许多良好的性质，被广泛应用于数学物理、工程技术、科学计算等诸多领域，在数学理论研究与工程实践中都起着非常重要的作用。6.4.1

正交多项式

3

4

5内积的性质：

6例1

三角函数族

验证：

7

8

9正交化方法：

10正交多项式的性质：

11

（3）相邻的正交多项式之间存在递推关系

12

证明：

13

证明：

于是

14（一）勒让德多项式

Rodrigue（1814）给出了勒让德多项式的简单表达式

15

展开

16勒让德多项式的性质：（1）正交性

（2）奇偶性

17（4）递推公式

利用递推公式可得

1819（二）切比雪夫多项式

（三）第二类切比雪夫多项式

20（四）拉盖尔多项式

（五）埃尔米特多项式

6.4高斯型求积公式（2）曲绍波2122考虑如下形式积分的计算6.4.2

Gauss型求积公式的一般理论

构造如下形式的求积公式

23

插值型求积公式选取求积节点；构造插值多项式；对插值多项式积分，即得插值型求积公式（求积系数）；24

插值型求积公式若节点取为积分区间的等分点，则得到牛顿-柯特斯公式。问题：

25例1

构造形如

（梯形公式）26解：令求积公式

由第二式和第四式得

再结合第一式和第三式得

取代入方程组，解得

27于是得到求积公式

可以验证，该求积公式具有3次代数精度。

问题：28

证明：

29

证明：

30定理1插值型求积公式

31证明必要性假设求积公式

32

证明充分性33

所以有

34

定理1插值型求积公式

35

构造高斯型求积公式：

36例2

构造如下形式的高斯型求积公式

37于是，得

解得

于是，得高斯型求积公式38求积余项：高斯型求积公式的求积余项为

证明考察Lagrange插值基函数

39

从而有

推论2高斯型求积公式是数值稳定的。40

6.4高斯型求积公式（3）曲绍波4142高斯型求积公式6.4.3

常用的Gauss型求积公式

43

（一）高斯-勒让德求积公式

44此时，节点为2次勒让德多项式（1）两点高斯-勒让德求积公式

的两个零点，即

45

于是，有

46在两点高斯-勒让德求积公式中，

高斯型求积公式的求积余项为

于是得两点高斯-勒让德求积公式的余项

两点高斯-勒让德求积公式具有三次代数精度。47此时，节点为3次勒让德多项式（2）三点高斯-勒让德求积公式

的三个零点，即

48

于是，有

从而得到三点高斯-勒让德求积公式

解得

三点高斯-勒让德求积公式具有5次代数精度。49表1高斯-勒让德求积公式的节点和系数00.000000002.000000004±0.90617985±0.538469310.000000000.236926890.478628670.568888891±0.577350271.000000002±0.774596670.000000000.555555560.888888895±0.93246951±0.66120939±0.238619190.171324490.360761570.467913933±0.86113631±0.339981040.347854850.6521451550作变换

对于等号右端的积分可以使用高斯-勒让德求积公式进行计算。51解：作变量代换例1

用高斯-勒让德求积公式计算积分

分别使用两点、三点和五点高斯-勒让德求积公式。52经计算得

同理

53高斯-勒让德求积公式牛顿-柯特斯公式两点梯形公式三点辛普森公式五点柯特斯公式表2计算结果比较

54（二）高斯-切比雪夫求积公式

55

经过计算，得求积系数

于是得高斯-切比雪夫求积公式

求积余项为

56

于是得两点高斯-切比雪夫求积公式

于是得三点高斯-切比雪夫求积公式

57例2

用高斯-切比雪夫求积公式计算积分

解作变量替换

则有

权函数被