高中数学极值问题专题复习指导

高中数学极值问题专题复习指导极值问题是高中数学函数模块的核心内容之一，它不仅连接着导数、不等式、方程等知识体系，更是解决实际应用问题（如最值优化）的关键工具。本文将从概念本质、方法体系、题型突破、易错规避四个维度，系统梳理极值问题的复习路径，助力同学们构建清晰的解题逻辑。一、极值的概念本质与理论基础（一）极值的定义辨析函数的极值是局部性概念：若函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域内有定义，且对邻域内任意\(x\neqx_0\)，都有\(f(x)<f(x_0)\)（或\(f(x)>f(x_0)\)），则\(f(x_0)\)称为函数的极大值（或极小值），\(x_0\)称为极值点。需注意：极值是“局部最值”，与最值（整体范围的最大/最小值）的区别在于：极值点一定在区间内部（非端点），而最值可在端点或极值点取得；一个函数可能有多个极值，且极大值可能小于极小值（如\(f(x)=\sinx\)的极值交替出现）。（二）极值存在的判定定理1.必要条件（费马引理）：若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可导且取得极值，则\(f'(x_0)=0\)。*注意*：导数为0的点（临界点）不一定是极值点（如\(f(x)=x^3\)在\(x=0\)处\(f'(0)=0\)，但无极值）；不可导点也可能是极值点（如\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)处不可导，但有极小值）。2.充分条件（一阶导数变号法）：若函数\(f(x)\)在\(x_0\)的邻域内连续，在\(x_0\)两侧导数符号相反，则\(x_0\)是极值点：左侧\(f'(x)>0\)，右侧\(f'(x)<0\)→\(x_0\)为极大值点；左侧\(f'(x)<0\)，右侧\(f'(x)>0\)→\(x_0\)为极小值点。3.充分条件（二阶导数法）：若\(f'(x_0)=0\)且\(f''(x_0)\neq0\)，则：\(f''(x_0)>0\)→\(x_0\)为极小值点；\(f''(x_0)<0\)→\(x_0\)为极大值点。*失效情况*：若\(f''(x_0)=0\)，需回归一阶导数变号法判断。二、极值求解的核心方法体系（一）导数法：通法与细节导数法是求解极值的“万能钥匙”，步骤为：求导→找临界点→符号判断→确定极值。例1：求\(f(x)=x^3-3x\)的极值。求导：\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)；找临界点：令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)或\(x=-1\)；符号判断：当\(x<-1\)时，\(f'(x)>0\)；\(-1<x<1\)时，\(f'(x)<0\)→\(x=-1\)是极大值点，\(f(-1)=2\)；当\(-1<x<1\)时，\(f'(x)<0\)；\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)→\(x=1\)是极小值点，\(f(1)=-2\)。（二）配方法：二次函数的“专属工具”配方法适用于二次函数或可转化为二次函数的高次函数（如\(x^4\)、\((x^2+1)\)型）。例2：求\(f(x)=x^4-4x^2+3\)的极值。令\(t=x^2\)（\(t\geq0\)），则\(f(x)=t^2-4t+3\)。配方得：\(t^2-4t+3=(t-2)^2-1\)。当\(t=2\)（即\(x=\pm\sqrt{2}\)）时，\(f(x)\)取得极小值\(-1\)；当\(t=0\)（即\(x=0\)）时，\(f(0)=3\)，结合\(t\geq0\)时二次函数的单调性（\(t<2\)时递减，\(t>2\)时递增），\(x=0\)处为极大值点（需验证：\(x\in(-\sqrt{2},0)\)时\(t\)递减，\(f(x)\)递增；\(x\in(0,\sqrt{2})\)时\(t\)递增，\(f(x)\)递减，故\(x=0\)是极大值点）。（三）判别式法：分式函数的“隐形桥梁”对于形如\(y=\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\)（或可整理为二次方程的函数），通过“设\(y=f(x)\)→整理为关于\(x\)的二次方程→利用\(\Delta\geq0\)（\(x\)有实数解）”求极值。例3：求\(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\)的极值。设\(y=\frac{x}{x^2+1}\)，整理得\(yx^2-x+y=0\)。若\(y=0\)，则\(x=0\)，有效；若\(y\neq0\)，方程为二次方程，由\(\Delta=(-1)^2-4\cdoty\cdoty\geq0\)，得\(1-4y^2\geq0\)，即\(-\frac{1}{2}\leqy\leq\frac{1}{2}\)。因此，\(f(x)\)的极大值为\(\frac{1}{2}\)（当\(x=1\)时），极小值为\(-\frac{1}{2}\)（当\(x=-1\)时）。（四）不等式法：均值定理的“精准应用”利用均值不等式（\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，\(a,b>0\)，当且仅当\(a=b\)时取等）求极值，需满足“一正、二定、三相等”。例4：求\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)（\(x>0\)）的极值。由均值不等式，\(x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)，当且仅当\(x=\frac{1}{x}\)即\(x=1\)时取等，故\(f(x)\)的极小值为\(2\)。（若\(x<0\)，令\(t=-x>0\)，则\(f(x)=-t-\frac{1}{t}\leq-2\)，极大值为\(-2\)）三、典型题型分类突破（一）单一函数的极值求解类型1：三次函数极值三次函数\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)的极值由导数的两个临界点决定，需结合一阶导数变号法分析。例5：求\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)的极值。求导：\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\)；临界点：\(x=1\)，\(x=3\)；符号判断：\(x<1\)时\(f'(x)>0\)，\(1<x<3\)时\(f'(x)<0\)→\(x=1\)是极大值点，\(f(1)=5\)；\(1<x<3\)时\(f'(x)<0\)，\(x>3\)时\(f'(x)>0\)→\(x=3\)是极小值点，\(f(3)=1\)。（二）含参数的极值问题含参数的极值问题需分类讨论参数对导数零点（或单调性）的影响。例6：已知\(f(x)=x^3+ax^2+x\)，讨论其极值情况。求导：\(f'(x)=3x^2+2ax+1\)；分析判别式\(\Delta=(2a)^2-4\cdot3\cdot1=4(a^2-3)\)：当\(\Delta\leq0\)（即\(|a|\leq\sqrt{3}\)）时，\(f'(x)\geq0\)，函数单调递增，无极值；当\(\Delta>0\)（即\(|a|>\sqrt{3}\)）时，\(f'(x)=0\)有两个不等实根\(x_1,x_2\)（\(x_1<x_2\)），结合一阶导数变号法：\(x<x_1\)时\(f'(x)>0\)，\(x_1<x<x_2\)时\(f'(x)<0\)→\(x_1\)为极大值点；\(x_1<x<x_2\)时\(f'(x)<0\)，\(x>x_2\)时\(f'(x)>0\)→\(x_2\)为极小值点。（三）实际应用中的极值优化实际问题需先建立函数模型，再结合定义域求极值（通常为最值）。例7：用长度为\(L\)的铁丝围矩形，求面积的最大值。设矩形长为\(x\)，则宽为\(\frac{L}{2}-x\)（\(0<x<\frac{L}{2}\)），面积\(S(x)=x\left(\frac{L}{2}-x\right)=-x^2+\frac{L}{2}x\)。配方法：\(S(x)=-\left(x-\frac{L}{4}\right)^2+\frac{L^2}{16}\)；当\(x=\frac{L}{4}\)时，\(S(x)\)取得最大值\(\frac{L^2}{16}\)（此时矩形为正方形）。（四）与不等式结合的极值问题结合不等式的极值问题需灵活运用均值不等式或函数单调性。例8：已知\(x>0,y>0\)，且\(x+y=1\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值。代换法：\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{x}+\frac{x+y}{y}=2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\)；均值不等式：\(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}}=2\)，当且仅当\(x=y=\frac{1}{2}\)时取等；因此，\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq4\)，最小值为\(4\)。四、易错点与避坑策略（一）混淆“极值”与“最值”极值是局部性质，最值是整体性质。例如，函数\(f(x)=x^3-3x\)在\([-2,2]\)上，极值点为\(x=\pm1\)（\(f(-1)=2\)，\(f(1)=-2\)），但端点\(f(-2)=-2\)、\(f(2)=2\)也取得相同极值，此时极值与最值重合，但逻辑上需区分“局部”与“整体”。（二）忽略定义域限制求极值时必须结合函数定义域。例如，\(f(x)=\lnx-x\)的定义域为\((0,+\infty)\)，求导得\(f'(x)=\frac{1}{x}-1\)，临界点\(x=1\)。若忽略定义域，错误分析\(x<0\)的情况，会导致结论错误。（三）误判“导数为0的点”为极值点导数为0的点（临界点）不一定是极值点，需验证左右导数符号。例如，\(f(x)=x^3\)在\(x=0\)处\(f'(0)=0\)，但\(x<0\)和\(x>0\)时\(f'(x)>0\)，函数单调递增，故\(x=0\)不是极值点。（四）判别式法中忽略“二次项系数为0”的情况对于分式函数，整理为二次方程时，需单独讨论二次项系数为0的情况。例如，\(f(x)=\frac{x}{x+1}\)，设\(y=\frac{x}{x+1}\)，整理得\((y-1)x+y=0\)。当\(y=1\)时，方程变为\(0x+1=0\)，无解，故\(y\neq1\)，此时\(x=-\frac{y}{y-1}\)，函数值域为\(y\neq1\)，无传统意义上的极值（需结合单调性分析：\(f(x)=1-\frac{1}{x+1}\)在\((-\infty,-1)\)和\((-1,+\infty)\)