七年级立体几何最值问题专项训练

七年级立体几何最值问题专项训练七年级是空间观念形成的关键时期，立体几何最值问题不仅考查对立体图形的认知，更锻炼空间想象与逻辑推理能力。这类问题常结合“两点之间线段最短”“勾股定理”“不等式性质”等知识，核心在于将空间问题转化为平面问题（如展开图）或利用几何性质分析最值。本文从展开图最短路径、截面图形最值、实际应用中的体积/表面积最值三个维度，结合典型例题与方法总结，帮助学生系统突破。一、展开图中的最短路径问题核心思想：“化曲为直”，将立体表面展开为平面，利用“两点之间线段最短”求解。1.正方体表面的最短路径例1：在棱长为\(2\)的正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(A\)（前面左下角）到点\(C_1\)（右面右上角）的最短路径长是多少？分析：正方体的表面路径需“展开相邻面”转化为平面线段。将前面（\(A\)所在面）与右面（\(C_1\)所在面）沿公共棱（如\(BB_1\)）展开，形成一个长方形：长方形的长为正方体的棱长\(2\)，宽为两个棱长之和\(2+2=4\)？不，实际展开后，\(A\)与\(C_1\)的水平距离为\(2\)，垂直距离为\(2+2=4\)？这一认知有误，正确的展开方式应为：前面（\(y=0\)）与上面（\(z=2\)）拼接，此时\(A(0,0,0)\)在平面中为\((0,0)\)，\(C_1(2,2,2)\)为\((2,2)\)？显然不对，重新梳理：正方体中，表面最短路径的本质是“经过两个相邻面”，因此展开后，路径为直角三角形的斜边，两条直角边分别为一个面的边长和两个面的边长之和。对于棱长为\(a\)的正方体，最短路径长为\(\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a\)。当\(a=2\)时，路径长为\(\sqrt{5}×2=2\sqrt{5}\approx4.47\)。2.长方体表面的最短路径例2：长方体的长、宽、高分别为\(3,2,1\)，求顶点\(A\)到顶点\(C_1\)的最短路径长。分析：长方体有三种展开方式（沿“长+宽”“长+高”“宽+高”的面展开）：沿长和宽的面展开：路径长\(\sqrt{(3+2)^2+1^2}=\sqrt{26}\approx5.10\)沿长和高的面展开：路径长\(\sqrt{(3+1)^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx4.47\)沿宽和高的面展开：路径长\(\sqrt{(2+1)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx4.24\)比较得，最短路径为\(3\sqrt{2}\)（约\(4.24\)）。方法总结：1.确定起点、终点所在的面，分析共棱的两个面作为展开对象；2.将立体表面展开为平面，标出起点、终点的位置；3.利用勾股定理计算路径长度，比较不同展开方式的结果，取最小值。二、截面图形的最值问题核心思想：分析截面的形状与边长/面积的关系，利用几何性质或不等式求最值。1.正方体截面的面积最值（三角形截面）例3：用平面截棱长为\(3\)的正方体，所得三角形截面的面积最大是多少？分析：三角形截面的三个顶点必在正方体的三条不同棱上，且为“直角三角形”或“正三角形”。正三角形截面：顶点在三条相邻面的面对角线端点（如前面、右面、上面的对角线交点），边长为面对角线\(\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\)。面积计算：正三角形面积公式为\(\frac{\sqrt{3}}{4}×边长^2\)，代入得\(\frac{\sqrt{3}}{4}×(3\sqrt{2})^2=\frac{9\sqrt{3}}{2}\approx7.8\)。直角三角形截面：直角边为\(3\)和\(3\sqrt{2}\)，面积为\(\frac{1}{2}×3×3\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\approx6.4\)，小于正三角形面积。结论：最大三角形截面面积为\(\frac{9\sqrt{3}}{2}\)（或约\(7.8\)）。方法总结：1.确定截面形状（三角形、四边形等），分析顶点的位置（棱上、面内等）；2.利用面积公式（如三角形、矩形面积公式）或不等式（如均值不等式）分析最值；3.结合正方体的对称性，优先考虑“正多边形”或“对称图形”的截面。三、实际应用中的体积与表面积最值核心思想：结合实际问题，利用“和定积最大”“积定和最小”或函数单调性求最值。1.长方体的容积最值（材料最省问题）例4：用一根长为\(24\)的铁丝焊接成一个长方体框架（长、宽、高均为正整数），求该长方体的最大容积。分析：长方体框架的棱长和为\(4(长+宽+高)=24\)，即\(长+宽+高=6\)。设长、宽、高为\(x,y,z\)（正整数），容积\(V=xyz\)。根据“和定积最大”（当\(x=y=z\)时，积最大），但\(x,y,z\)为正整数，因此：若\(x=y=z=2\)（和为\(6\)），则\(V=2×2×2=8\)；若\(x=3,y=2,z=1\)，则\(V=3×2×1=6\)；若\(x=4,y=1,z=1\)，则\(V=4×1×1=4\)。比较得，最大容积为\(8\)。2.正方体的表面积最值（切割问题）例5：将一个棱长为\(4\)的正方体切成两个长方体，求表面积的最大增加量。分析：切割正方体时，表面积增加两个截面的面积。若平行于正方体的面切割，截面为正方形，面积为\(4×4=16\)，增加的表面积为\(2×16=32\)；若沿面对角线切割，截面为长方形（长\(4\sqrt{2}\)，宽\(4\)），面积为\(4×4\sqrt{2}=16\sqrt{2}\)，增加的表面积为\(2×16\sqrt{2}\approx45.3\)。（七年级阶段可优先掌握“平行于面切割”的情况，最大增加量为\(32\)。）方法总结：1.实际问题中，先明确“棱长和”“表面积”“体积”的公式；2.利用“和定积最大”（如例4，和为定值时，变量相等则积最大）或“积定和最小”分析最值；3.切割问题中，表面积的增加量等于“\(2×截面面积\)”，需结合截面形状（正方形、长方形等）分析。四、方法总结与能力提升1.空间问题平面化：展开图是解决表面最短路径的核心方法，需熟练掌握正方体、长方体的多种展开方式（如“前+右”“前+上”等）。2.几何性质应用：灵活运用“两点之间线段最短”“勾股定理”“和定积最大/积定和最小”等性质，将复杂问题转化为基础几何问题。3.分类讨论思想：面对“多展开方式”“多截面形状”时，需全面分析（如例2的三种展开方式），避免遗漏情况。4.空间想象训练：通过“折叠正方体纸盒”“绘制展开图”等实践，增强空间感知能力（如用草稿纸折出正方体，标记顶点后展开验证路径）。结语七年级立体几何最