一元二次方程专项练习与解析

一元二次方程专项练习与解析一元二次方程是初中代数的核心内容之一，它不仅是解决诸多实际问题的工具，也是高中数学函数、不等式等知识的重要基础。掌握其解法与应用，对提升代数运算能力和逻辑思维能力至关重要。本文将通过知识梳理、经典题型解析、专项练习与详细解答，帮助大家系统巩固一元二次方程的相关知识。一、知识梳理（一）定义与一般形式只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数为2（二次）的整式方程，称为一元二次方程。其一般形式为：$$ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0)$$其中，\(a\)是二次项系数，\(b\)是一次项系数，\(c\)是常数项。需注意：\(a\neq0\)是方程为“二次”的前提，若\(a=0\)，方程将退化为一元一次方程。（二）解法归纳一元二次方程的解法需根据方程特点灵活选择，常用方法有以下四种：1.直接开平方法适用于形如\((x+m)^2=n\)（\(n\geq0\)）的方程。通过“两边同时开平方”求解：$$x+m=\pm\sqrt{n}\impliesx=-m\pm\sqrt{n}$$2.配方法核心是将方程转化为“完全平方式”。步骤为：①二次项系数化为1（方程两边除以\(a\)）；②移项（常数项移到等号右边）；③配方（两边加“一次项系数一半的平方”）；④开平方求解。配方法适用于所有一元二次方程，但步骤相对繁琐。3.公式法对一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），利用求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$其中，\(\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}\)称为判别式，它决定了根的情况：\(\Delta>0\)：方程有两个不相等的实数根；\(\Delta=0\)：方程有两个相等的实数根（即一个实根）；\(\Delta<0\)：方程无实数根（有两个共轭虚根，初中阶段暂不要求）。4.因式分解法若方程能分解为两个一次因式的乘积，即\((x+m)(x+n)=0\)，则根据“若乘积为0，至少一个因子为0”，得\(x=-m\)或\(x=-n\)。此方法步骤简便，适用于易因式分解的方程（如二次项系数为1、常数项可拆分为两数乘积且和为一次项系数的方程）。二、经典题型解析例题1：因式分解法解方程\(x^2-4x+3=0\)思路：寻找两个数，其和为-4（一次项系数），积为3（常数项）。显然，-1和-3满足（\(-1+(-3)=-4\)，\(-1\times(-3)=3\)）。解答：将方程因式分解为：$$(x-1)(x-3)=0$$根据“若乘积为0，则至少一个因子为0”，得：$$x-1=0\quad\text{或}\quadx-3=0$$解得\(x_1=1\)，\(x_2=3\)。例题2：公式法解方程\(2x^2-5x+1=0\)思路：先确定\(a,b,c\)，计算判别式\(\Delta\)，再代入求根公式。解答：由一般形式知\(a=2\)，\(b=-5\)，\(c=1\)。计算判别式：$$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times2\times1=25-8=17$$因\(\Delta=17>0\)，方程有两个不相等的实数根。代入求根公式：$$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{17}}{2\times2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$$即\(x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}\)，\(x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}\)。例题3：韦达定理的应用（根与系数的关系）已知方程\(x^2+px+q=0\)的两个根为\(2\)和\(-3\)，求\(p\)和\(q\)的值。思路：对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），若根为\(x_1,x_2\)，则有：$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quadx_1x_2=\frac{c}{a}$$（此为韦达定理，初中阶段可通过求根公式推导或因式分解验证）。解答：方程\(x^2+px+q=0\)中，\(a=1\)，\(b=p\)，\(c=q\)。由韦达定理：根的和：\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\implies2+(-3)=-p\implies-1=-p\impliesp=1\)；根的积：\(x_1x_2=\frac{c}{a}\implies2\times(-3)=q\impliesq=-6\)。三、专项练习题（一）基础巩固题1.用直接开平方法解方程：\((x-2)^2=9\)2.用因式分解法解方程：\(x^2-6x+5=0\)3.用公式法解方程：\(3x^2-2x-1=0\)（二）能力提高题1.已知关于\(x\)的方程\(kx^2+(2k+1)x+k=0\)有两个实数根，求\(k\)的取值范围。2.已知方程\(x^2-3x+m=0\)的一个根是\(1\)，求另一个根及\(m\)的值。3.用配方法解方程：\(2x^2+4x-1=0\)四、答案与解析（一）基础巩固题解析1.解方程\((x-2)^2=9\)解析：直接开平方法的核心是“两边开平方”。两边同时开平方得：$$x-2=\pm\sqrt{9}=\pm3$$分情况讨论：当\(x-2=3\)时，\(x=3+2=5\)；当\(x-2=-3\)时，\(x=-3+2=-1\)。因此，方程的根为\(x_1=5\)，\(x_2=-1\)。2.解方程\(x^2-6x+5=0\)解析：因式分解法需找到两个数，和为-6，积为5。显然，-1和-5满足（\(-1+(-5)=-6\)，\(-1\times(-5)=5\)）。因式分解得：$$(x-1)(x-5)=0$$因此，\(x-1=0\)或\(x-5=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=5\)。3.解方程\(3x^2-2x-1=0\)解析：公式法需先确定\(a,b,c\)，再计算\(\Delta\)。由方程知\(a=3\)，\(b=-2\)，\(c=-1\)。计算判别式：$$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times3\times(-1)=4+12=16$$因\(\Delta=16>0\)，代入求根公式：$$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{16}}{2\times3}=\frac{2\pm4}{6}$$分情况：当取“+”时，\(x=\frac{2+4}{6}=\frac{6}{6}=1\)；当取“-”时，\(x=\frac{2-4}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\)。因此，根为\(x_1=1\)，\(x_2=-\frac{1}{3}\)。（二）能力提高题解析1.求\(k\)的取值范围（方程\(kx^2+(2k+1)x+k=0\)有两个实数根）解析：“有两个实数根”说明方程是一元二次方程（二次项系数不为0）且判别式\(\Delta\geq0\)。二次项系数不为0：\(k\neq0\)；判别式\(\Delta\geq0\)：计算\(\Delta=(2k+1)^2-4\timesk\timesk\)，展开得：$$\Delta=4k^2+4k+1-4k^2=4k+1$$令\(\Delta\geq0\)，即\(4k+1\geq0\impliesk\geq-\frac{1}{4}\)。综上，\(k\)的取值范围为\(\boldsymbol{k\geq-\frac{1}{4}\text{且}k\neq0}\)。2.已知根求另一根及\(m\)（方程\(x^2-3x+m=0\)一根为1）解析：方法一（代入法）：将\(x=1\)代入方程，得：$$1^2-3\times1+m=0\implies1-3+m=0\impliesm=2$$此时方程为\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，故另一根为\(2\)。方法二（韦达定理）：设另一根为\(x_2\)，由韦达定理，根的和为\(1+x_2=3\impliesx_2=2\)；根的积为\(1\timesx_2=m\impliesm=2\)。3.用配方法解方程\(2x^2+4x-1=0\)解析：配方法步骤：二次项系数化为1→移项→配方→开平方。①二次项系数化为1：方程两边除以2，得\(x^2+2x-\frac{1}{2}=0\)；②移项：常数项移到右边，得\(x^2+2x=\frac{1}{2}\)；③配方：两边加“一次项系数一半的平方”（一次项系数为2，一半的平方为\(1^2=1\)），得：$$x^2+2x+1=\frac{1}{2}+1$$左边化为完全平方式：\((x+1)^2=\frac{3}{2}\)；④开平方：两边开平方得\(x+1=\pm