一元二次方程综合训练题集

一元二次方程综合训练题集一、引言一元二次方程作为初中代数的核心内容，是连接“数与式”“函数与图像”的关键纽带，其解法、判别式分析、根与系数关系及实际应用，贯穿了方程思想、转化思想与数形结合思想的运用。本训练题集聚焦基础巩固、思维拓展、实际建模三大维度，通过分层题型设计，帮助学习者系统掌握一元二次方程的核心知识，提升分析问题、解决问题的能力。二、知识回顾（核心概念与方法）1.基本形式与定义一元二次方程的一般形式为$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$（$a\neq0$，$a,b,c$为常数），其中$ax^2$是二次项，$bx$是一次项，$c$是常数项，$a$为二次项系数，$b$为一次项系数。2.解法体系直接开平方法：适用于形如$(x+m)^2=n$（$n\geq0$）的方程，直接对等式两边开平方求解。因式分解法：将方程化为$(x-m)(x-n)=0$的形式，利用“若乘积为0，则至少一个因子为0”求解（核心：降次思想）。配方法：通过配方将方程化为$(x+m)^2=n$的形式（步骤：移项→二次项系数化为1→配方→开方）。公式法：对一般形式的方程，利用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$（其中$\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$为判别式）求解，适用于所有一元二次方程。3.判别式的作用判别式$\Delta=b^2-4ac$决定了方程根的性质：$\boldsymbol{\Delta>0}$：方程有两个不相等的实数根；$\boldsymbol{\Delta=0}$：方程有两个相等的实数根；$\boldsymbol{\Delta<0}$：方程无实数根（初中阶段暂不研究虚根）。4.根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的两根为$x_1,x_2$，则：$$\boldsymbol{x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quadx_1\cdotx_2=\frac{c}{a}}$$（前提：方程有实数根，即$\Delta\geq0$）5.实际应用建模将实际问题中的等量关系转化为一元二次方程，常见场景：几何问题（面积、周长、边长关系）；增长率问题（平均增长/降低率）；利润问题（售价、销量、成本的函数关系）；数字问题（两位数、三位数的数位关系）。三、题型分类训练（分层突破）（一）基础求解型：掌握解法本质1.直接开平方法例题1：解方程$(2x-1)^2=5$思路：将$2x-1$看作整体，开平方后解一元一次方程。解答：$2x-1=\pm\sqrt{5}\impliesx=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$2.因式分解法例题2：解方程$3x^2-6x=0$思路：提取公因式$3x$，转化为两个一次方程的乘积。解答：$3x(x-2)=0\implies3x=0$或$x-2=0\impliesx_1=0,x_2=2$3.公式法例题3：解方程$x^2-3x+1=0$思路：确定$a=1,b=-3,c=1$，计算判别式后代入求根公式。解答：$\Delta=(-3)^2-4\times1\times1=5>0$，故$$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\impliesx_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$4.配方法例题4：解方程$2x^2+4x-1=0$思路：先将二次项系数化为1，再配方。解答：移项得$2x^2+4x=1$，二次项系数化为1：$x^2+2x=\frac{1}{2}$配方：$x^2+2x+1=\frac{1}{2}+1\implies(x+1)^2=\frac{3}{2}$开方：$x+1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\impliesx=-1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$（二）判别式应用：分析根的性质1.由根的情况求参数例题5：若关于$x$的方程$(k-1)x^2+2x-1=0$有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围。思路：方程为一元二次方程（二次项系数≠0）且$\Delta>0$。解答：二次项系数：$k-1\neq0\impliesk\neq1$；判别式：$\Delta=2^2-4\times(k-1)\times(-1)=4+4(k-1)=4k>0\impliesk>0$。综上，$k>0$且$k\neq1$。2.结合整数根分析例题6：已知方程$x^2+(m-2)x+m-5=0$有一个正根和一个负根，求$m$的取值范围。思路：设根为$x_1,x_2$，由“一正一负”得$x_1\cdotx_2<0$（结合韦达定理），且方程有两个不等实根（$\Delta>0$）。解答：韦达定理：$x_1\cdotx_2=m-5<0\impliesm<5$；判别式：$\Delta=(m-2)^2-4\times1\times(m-5)=m^2-8m+24=(m-4)^2+8>0$（恒成立）。故$m<5$。（三）根与系数关系：韦达定理的灵活运用1.已知一根求参数与另一根例题7：若方程$x^2-5x+k=0$的一个根为$2$，求$k$和另一根。思路：将根代入方程求$k$，或利用韦达定理。解答：代入法：$2^2-5\times2+k=0\impliesk=6$，方程为$x^2-5x+6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，另一根为$3$。韦达定理：设另一根为$x_2$，则$2+x_2=5\impliesx_2=3$；$2\times3=k\impliesk=6$。2.代数式求值（两根的对称式）例题8：已知$\alpha,\beta$是方程$2x^2-3x-1=0$的两根，求$\alpha^2+\beta^2$的值。思路：利用完全平方公式转化为$\alpha+\beta$和$\alpha\beta$的形式（韦达定理）。解答：由韦达定理，$\alpha+\beta=\frac{3}{2}$，$\alpha\beta=-\frac{1}{2}$。则$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\times\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$。3.构造新方程例题9：已知方程$x^2-2x-3=0$的两根为$x_1,x_2$，求以$\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}$为根的一元二次方程。思路：先求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$和$\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}$，再构造方程。解答：由韦达定理，$x_1+x_2=2$，$x_1\cdotx_2=-3$。则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$，$\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1x_2}=-\frac{1}{3}$。故新方程为$y^2-\left(-\frac{2}{3}\right)y+\left(-\frac{1}{3}\right)=0$，即$3y^2+2y-1=0$。（四）实际应用：建模与求解1.几何问题（面积）例题10：用长为$20\\text{m}$的篱笆围一个矩形菜园，若一边靠墙（墙长$12\\text{m}$），设与墙垂直的边长为$x\\text{m}$，菜园面积为$48\\text{m}^2$，求$x$。思路：矩形长为$20-2x$（需满足$20-2x\leq12$），面积=长×宽。解答：面积公式：$x(20-2x)=48\implies2x^2-20x+48=0\impliesx^2-10x+24=0$。因式分解：$(x-4)(x-6)=0\impliesx_1=4,x_2=6$。验证：当$x=4$时，长为$20-8=12$（符合墙长）；当$x=6$时，长为$20-12=8$（符合）。故$x=4$或$6$（结合实际，两者均合理）。2.增长率问题例题11：某公司2023年利润为$100$万元，2025年利润为$144$万元，求年平均增长率$x$。思路：两年增长，公式为$100(1+x)^2=144$。解答：$(1+x)^2=1.44\implies1+x=\pm1.2$。舍去负根（增长率为正），得$1+x=1.2\impliesx=0.2=20\%$。3.利润问题例题12：某商品进价$20$元/件，售价$30$元时销量$200$件，售价每涨$1$元，销量减$10$件。设售价为$x$元（$x\geq30$），利润为$y$元，求利润最大时的售价。思路：利润=（售价-进价）×销量，销量=200-10(x-30)。解答：销量：$200-10(x-30)=500-10x$，利润：$y=(x-20)(500-10x)=-10x^2+700x-____$。这是二次函数，开口向下，顶点在$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{700}{2\times(-10)}=35$。故售价为$35$元时，利润最大。（五）综合拓展：跨知识融合1.与二次函数结合（根的分布）例题13：已知二次函数$y=x^2-(m+2)x+2m$，若其图像与$x$轴的交点都在正半轴，求$m$的取值范围。思路：方程$x^2-(m+2)x+2m=0$的两根均为正，需满足：$\Delta\geq0$（有实根）；两根和$>0$（韦达定理）；两根积$>0$（韦达定理）。解答：判别式：$\Delta=(m+2)^2-8m=(m-2)^2\geq0$（恒成立）；两根和：$m+2>0\impliesm>-2$；两根积：$2m>0\impliesm>0$。综上，$m>0$。2.含参方程的分类讨论例题14：解方程$(a-1)x^2+2ax+a+3=0$（$a$为常数）。思路：分“$a-1=0$（一次方程）”和“$a-1\neq0$（二次方程）”讨论。解答：当$a=1$时，方程化为$2x+4=0\impliesx=-2$；当$a\neq1$时，判别式$\Delta=(2a)^2-4(a-1)(a+3)=4a^2-4(a^2+2a-3)=-8a+12$。若$\Delta>0$（即$a<\frac{3}{2}$且$a\neq1$），则$x=\frac{-2a\pm\sqrt{-8a+12}}{2(a-1)}=\frac{-a\pm\sqrt{3-2a}}{a-1}$；若$\Delta=0$（即$a=\frac{3}{2}$），则$x_1=x_2=\frac{-2\times\frac{3}{2}}{2\times(\frac{3}{2}-1)}=-3$；若$\Delta<0$（即$a>\frac{3}{2}$），方程无实数根。四、解题思路与技巧总结1.解法选择：优先尝试因式分解法（观察是否有公因式、平方差、完全平方），其次用直接开平方法（形如