高中数学向量专题综合练习题

高中数学向量专题综合练习题向量作为高中数学连接代数与几何的核心工具，既是平面几何问题代数化的桥梁，也是解析几何、三角函数等模块的重要解题载体。在高考中，向量题型覆盖基础概念辨析、线性运算、数量积应用及综合创新题，对逻辑推理与数形结合能力要求较高。本文通过分层设计的练习题，帮助同学们系统巩固向量知识，突破重难点。一、向量的基本概念与线性运算（一）知识点回顾向量是既有大小又有方向的量，需区分“向量相等”（大小、方向均相同）与“向量共线”（方向相同或相反，可平移至同一直线）。线性运算包括：加法：三角形法则（首尾相接，首指向尾）、平行四边形法则（同起点，对角线为和）；减法：三角形法则（同起点，指向被减向量）；数乘：\(\lambda\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{a}\)共线，\(\lambda>0\)同向，\(\lambda<0\)反向，\(|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda|\cdot|\boldsymbol{a}|\)；共线定理：若\(\boldsymbol{b}\)与非零向量\(\boldsymbol{a}\)共线，则存在唯一实数\(\lambda\)，使\(\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}\)。（二）典型例题例1下列命题正确的是（）A.若\(|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|\)，则\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}\)B.若\(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\)，则\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)方向相同C.零向量与任意向量共线D.若\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}\)，则\(|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|\)且\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)共线解析：向量相等需大小和方向都相同，A错误（仅大小相等，方向可能不同）；共线向量方向可相同或相反，B错误；零向量方向任意，故与任意向量共线，C正确；相等向量的大小和方向均相同，故模相等且共线，D正确。答案：\(\boldsymbol{CD}\)。例2化简：\((\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{MB})+(\boldsymbol{BO}+\boldsymbol{BC})+\boldsymbol{OM}\)解析：利用向量加法交换律与结合律，将共起点或共终点的向量结合：\[\begin{align*}&\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{MB}+\boldsymbol{BO}+\boldsymbol{BC}+\boldsymbol{OM}\\=&\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{BC}+(\boldsymbol{MB}+\boldsymbol{BO}+\boldsymbol{OM})\\=&\boldsymbol{AC}+(\boldsymbol{MO}+\boldsymbol{OM})\quad(\text{因}\\boldsymbol{MB}+\boldsymbol{BO}=\boldsymbol{MO})\\=&\boldsymbol{AC}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{AC}\quad(\text{因}\\boldsymbol{MO}\text{与}\boldsymbol{OM}\text{为相反向量，和为零向量})\end{align*}\]例3已知\(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\)不共线，若\(\boldsymbol{a}=3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2\)，\(\boldsymbol{b}=6\boldsymbol{e}_1+k\boldsymbol{e}_2\)，且\(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\)，求\(k\)。解析：由共线定理，存在实数\(\lambda\)使\(\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}\)，即：\[6\boldsymbol{e}_1+k\boldsymbol{e}_2=\lambda(3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2)\]因\(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\)不共线，系数对应相等：\(\begin{cases}6=3\lambda\\k=4\lambda\end{cases}\)，解得\(\lambda=2\)，故\(k=8\)。（三）巩固练习1.下列向量中，与\(\boldsymbol{a}=(1,2)\)共线的是（）A.\((2,1)\)B.\((-2,-4)\)C.\((2,-1)\)D.\((-1,2)\)2.化简：\(\boldsymbol{OA}-\boldsymbol{OD}+\boldsymbol{AD}\)3.已知\(\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2\)，\(\boldsymbol{b}=k\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2\)，若\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)共线，求\(k\)。二、平面向量的数量积（一）知识点回顾数量积\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta\)（\(\theta\)为\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)的夹角，\(0\leq\theta\leq\pi\)），几何意义是\(\boldsymbol{a}\)的模乘以\(\boldsymbol{b}\)在\(\boldsymbol{a}\)方向上的投影（或反之）。核心性质：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^2\)（求模的常用方法）；\(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0\)（垂直的充要条件）；\(|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}|\leq|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\)（柯西不等式的向量形式）。（二）典型例题例4已知\(|\boldsymbol{a}|=3\)，\(|\boldsymbol{b}|=4\)，\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)夹角为\(60^\circ\)，求\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\)、\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\)。解析：数量积公式直接代入：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos60^\circ=3\times4\times\frac{1}{2}=6\)；\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^2-\boldsymbol{b}^2=|\boldsymbol{a}|^2-|\boldsymbol{b}|^2=9-16=-7\)。例5已知\(|\boldsymbol{a}|=2\)，\(|\boldsymbol{b}|=1\)，\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1\)，求\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)的夹角\(\theta\)。解析：由数量积定义，\(\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{1}{2\times1}=\frac{1}{2}\)，又\(0\leq\theta\leq\pi\)，故\(\theta=\frac{\pi}{3}\)（或\(60^\circ\)）。例6已知\(\boldsymbol{a}=(1,2)\)，\(\boldsymbol{b}=(x,1)\)，若\(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\)，求\(x\)。解析：垂直的充要条件是数量积为0，即\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1\timesx+2\times1=x+2=0\)，解得\(x=-2\)。（三）巩固练习4.已知\(|\boldsymbol{a}|=5\)，\(|\boldsymbol{b}|=3\)，\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)夹角为\(120^\circ\)，求\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\)、\(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\)（提示：\(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^2\)）。5.若\(\boldsymbol{a}=(m,1)\)，\(\boldsymbol{b}=(1,-2)\)，且\(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\)，求\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\)。6.已知\(|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2\)，\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-2\)，求\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)的夹角。三、向量的坐标运算与综合应用（一）知识点回顾若\(\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)\)，\(\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)\)，则：线性运算：\(\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}=(x_1\pmx_2,y_1\pmy_2)\)，\(\lambda\boldsymbol{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)\)；数量积：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=x_1x_2+y_1y_2\)；共线条件：\(x_1y_2-x_2y_1=0\)；垂直条件：\(x_1x_2+y_1y_2=0\)；模与夹角：\(|\boldsymbol{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)，\(\cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)。（二）典型例题例7已知\(\boldsymbol{a}=(3,4)\)，\(\boldsymbol{b}=(-1,2)\)，求\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\)、\(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\)、\(2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}\)、\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\)。解析：按坐标运算公式计算：\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3-1,4+2)=(2,6)\)；\(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(3+1,4-2)=(4,2)\)；\(2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}=(6-3,8+6)=(3,14)\)；\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3\times(-1)+4\times2=-3+8=5\)。例8已知\(\boldsymbol{a}=(1,2)\)，\(\boldsymbol{b}=(2,-3)\)，若\(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\)与\(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}\)垂直，求\(k\)。解析：先求坐标：\(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(k+2,2k-3)\)，\(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(1-4,2+6)=(-3,8)\)。垂直则数量积为0，故：\[(k+2)\times(-3)+(2k-3)\times8=0\]展开：\(-3k-6+16k-24=0\implies13k-30=0\impliesk=\frac{30}{13}\)。例9在\(\triangleABC\)中，\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(5,0)\)，求\(\angleBAC\)的余弦值。解析：先求向量\(\boldsymbol{AB}\)、\(\boldsymbol{AC}\)：\(\boldsymbol{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)\)，\(\boldsymbol{AC}=(5-1,0-2)=(4,-2)\)。由数量积公式，\(\cos\angleBAC=\frac{\boldsymbol{AB}\cdot\boldsymbol{AC}}{|\boldsymbol{AB}||\boldsymbol{AC}|}\)。计算分子：\(\boldsymbol{AB}\cdot\boldsymbol{AC}=2\times4+2\times(-2)=8-4=4\)；分母：\(|\boldsymbol{AB}|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)，\(|\boldsymbol{AC}|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)；故\(\cos\angleBAC=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{5}}=\frac{4}{4\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)。（三）巩固练习7.已知\(\boldsymbol{a}=(2,-