高考数学导数与积分专项复习资料

一、导数专题：从定义到应用的深度突破（一）核心知识点梳理1.导数的定义与本质导数是函数瞬时变化率的数学表达，其极限定义为：若函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)的某邻域内有定义，且极限\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在，则称该极限为\(f(x)\)在\(x_0\)处的导数，记为\(f'(x_0)\)或\(y'|_{x=x_0}\)。从几何角度，导数表示曲线在该点的切线斜率；从物理角度，若\(s(t)\)表示位移函数，则\(s'(t)\)为瞬时速度。2.基本初等函数的导数公式幂函数：\((x^n)'=nx^{n-1}\)（\(n\in\mathbb{R}\)，如\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\((\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}\)）指数函数：\((e^x)'=e^x\)，\((a^x)'=a^x\lna\)（\(a>0,a\neq1\)）对数函数：\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)，\((\log_ax)'=\frac{1}{x\lna}\)（\(a>0,a\neq1\)）三角函数：\((\sinx)'=\cosx\)，\((\cosx)'=-\sinx\)，\((\tanx)'=\sec^2x\)3.导数的运算法则四则运算：\([f(x)\pmg(x)]'=f'(x)\pmg'(x)\)\([f(x)\cdotg(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)（如\((xe^x)'=e^x+xe^x\)）\(\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)（\(g(x)\neq0\)，如\(\left(\frac{\sinx}{x}\right)'=\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}\)）复合函数求导（链式法则）：若\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)，则\(y'_x=y'_u\cdotu'_x\)。例如，\(y=\sin(2x+1)\)的导数为\(y'=\cos(2x+1)\cdot2=2\cos(2x+1)\)。（二）导数的几何意义：切线方程的两类考法1.“在某点”的切线（切点已知）若曲线\(y=f(x)\)在点\((x_0,f(x_0))\)处的切线，步骤为：①求导得\(f'(x_0)\)（切线斜率）；②用点斜式写方程：\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)。例：求\(y=x^2\)在\((1,1)\)处的切线。解：\(y'=2x\)，故\(k=y'|_{x=1}=2\)，切线方程为\(y-1=2(x-1)\)，即\(y=2x-1\)。2.“过某点”的切线（切点未知）设切点为\((x_0,f(x_0))\)，步骤为：①切线斜率\(k=f'(x_0)\)；②切线过点\((x_1,y_1)\)，故斜率也可表示为\(k=\frac{y_1-f(x_0)}{x_1-x_0}\)；③联立\(f'(x_0)=\frac{y_1-f(x_0)}{x_1-x_0}\)，解出\(x_0\)，再求切线方程。例：求过点\((2,3)\)且与\(y=x^2\)相切的直线方程。解：设切点为\((x_0,x_0^2)\)，则斜率\(k=2x_0\)，切线方程为\(y-x_0^2=2x_0(x-x_0)\)。因切线过\((2,3)\)，代入得\(3-x_0^2=2x_0(2-x_0)\)，化简得\(x_0^2-4x_0+3=0\)，解得\(x_0=1\)或\(x_0=3\)。对应切线：\(y=2x-1\)（\(x_0=1\)）或\(y=6x-9\)（\(x_0=3\)）。（三）导数的应用：单调性、极值与恒成立问题1.函数单调性的判定函数\(f(x)\)在区间\(I\)上可导：若\(f'(x)>0\)在\(I\)上恒成立，则\(f(x)\)在\(I\)上单调递增；若\(f'(x)<0\)在\(I\)上恒成立，则\(f(x)\)在\(I\)上单调递减。注意：求单调区间时，需先确定函数的定义域（如\(f(x)=\lnx-x\)的定义域为\((0,+\infty)\)），再解导数的符号不等式。例：求\(f(x)=x^3-3x\)的单调区间。解：定义域为\(\mathbb{R}\)，\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。令\(f'(x)>0\)，得\(x<-1\)或\(x>1\)，故增区间为\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)；令\(f'(x)<0\)，得\(-1<x<1\)，故减区间为\((-1,1)\)。2.极值与最值的求解极值：函数在某点的极值是局部最值，需满足：①导数为0（\(f'(x_0)=0\)）或导数不存在；②该点两侧导数符号异号（左正右负为极大值，左负右正为极小值）。步骤：求导→找临界点（\(f'(x)=0\)或无定义的点）→列表判断符号→确定极值。最值：闭区间\([a,b]\)上的连续函数，最值出现在极值点或区间端点，需比较所有极值和端点函数值的大小。例：求\(f(x)=x^3-3x^2+2\)在\([0,3]\)上的最值。解：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，临界点为\(x=0\)和\(x=2\)。计算函数值：\(f(0)=2\)，\(f(2)=8-12+2=-2\)，\(f(3)=27-27+2=2\)。故最大值为\(2\)（在\(x=0\)和\(x=3\)处），最小值为\(-2\)（在\(x=2\)处）。3.恒成立与存在性问题的转化恒成立：\(f(x)\geqa\)对\(x\inD\)恒成立\(\Leftrightarrowf(x)_{\min}\geqa\)；\(f(x)\leqa\)对\(x\inD\)恒成立\(\Leftrightarrowf(x)_{\max}\leqa\)。存在性：存在\(x\inD\)使\(f(x)\geqa\)\(\Leftrightarrowf(x)_{\max}\geqa\)；存在\(x\inD\)使\(f(x)\leqa\)\(\Leftrightarrowf(x)_{\min}\leqa\)。例：若\(x\in[1,e]\)时，\(x\lnx\geqkx-1\)恒成立，求\(k\)的取值范围。解：分离参数得\(k\leq\lnx+\frac{1}{x}\)对\(x\in[1,e]\)恒成立，即\(k\leq\left(\lnx+\frac{1}{x}\right)_{\min}\)。令\(g(x)=\lnx+\frac{1}{x}\)，\(g'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}\)。当\(x\in[1,e]\)时，\(g'(x)\geq0\)，故\(g(x)\)在\([1,e]\)上递增，\(g(x)_{\min}=g(1)=1\)，因此\(k\leq1\)。4.不等式证明：构造函数法通过构造函数，利用单调性或极值证明不等式。例：证明当\(x>0\)时，\(x>\ln(x+1)\)。解：构造\(g(x)=x-\ln(x+1)\)，\(x>0\)。\(g'(x)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}\)，当\(x>0\)时，\(g'(x)>0\)，故\(g(x)\)在\((0,+\infty)\)上递增。因此\(g(x)>g(0)=0-\ln1=0\)，即\(x>\ln(x+1)\)。二、积分专题：从定义到几何应用的系统梳理（一）核心知识点梳理1.定积分的定义与本质定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示：将区间\([a,b]\)分割为\(n\)个小区间，在每个小区间取点\(\xi_i\)，作和\(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)，当\(n\to\infty\)且小区间长度的最大值\(\lambda\to0\)时，和的极限（若存在）即为定积分。从几何角度，若\(f(x)\geq0\)在\([a,b]\)上，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示曲线\(y=f(x)\)、直线\(x=a\)、\(x=b\)和\(x\)轴围成的曲边梯形面积；若\(f(x)\)有正有负，则积分值为“上方面积”减“下方面积”。2.牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）若\(F(x)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的一个原函数（即\(F'(x)=f(x)\)），则：\[\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\]该公式将定积分的计算转化为原函数的差值，是积分计算的核心工具。3.基本积分公式（与导数公式互逆）幂函数：\(\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)），\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)三角函数：\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)，\(\int\cosxdx=\sinx+C\)指数函数：\(\inte^xdx=e^x+C\)，\(\inta^xdx=\frac{a^x}{\lna}+C\)（\(a>0,a\neq1\)）（二）定积分的几何意义：面积的计算1.单一曲线与x轴围成的面积若\(f(x)\geq0\)在\([a,b]\)上，面积\(S=\int_{a}^{b}f(x)dx\)；若\(f(x)\leq0\)在\([a,b]\)上，面积\(S=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)（因积分值为负，取绝对值）。例：求\(y=\sinx\)在\([0,\pi]\)上与\(x\)轴围成的面积。解：\(\sinx\geq0\)在\([0,\pi]\)上，故\(S=\int_{0}^{\pi}\sinxdx=[-\cosx]_{0}^{\pi}=-\cos\pi+\cos0=2\)。2.两条曲线围成的面积设曲线\(y=f(x)\)（上）和\(y=g(x)\)（下）在\([a,b]\)上有\(f(x)\geqg(x)\)，则面积：\[S=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx\]步骤：①求交点（确定积分区间\([a,b]\)）；②确定上下曲线；③积分求差。例：求由\(y=x\)和\(y=x^2\)围成的图形面积。解：①求交点：令\(x=x^2\)，得\(x=0\)或\(x=1\)，故区间为\([0,1]\)；②上下曲线：在\([0,1]\)上，\(x\geqx^2\)，故上曲线为\(y=x\)，下曲线为\(y=x^2\)；③面积\(S=\int_{0}^{1}(x-x^2)dx=\left[\frac{x^2}{