应用题讲解：最大公因数与最小公倍数

应用题讲解：最大公因数与最小公倍数GCD=\(2\times3=6\)，LCM=\(2\times3\times2\times3=36\)。二、典型应用题题型与解法（一）分组分配问题核心逻辑：将不同数量的物品按“每份数量相同”“最多分组”等要求分配，需用GCD（求“最大份数”或“每份最大数量”）。例题1：幼儿园有48颗糖果、36块饼干，要分给小朋友，要求每份糖果和饼干数量相同，最多可分多少份？每份有多少糖果和饼干？分析：“最多分多少份”即求48和36的最大公因数（每份数量相同，份数越多，每份数量越小；份数最多时，每份数量为GCD）。计算：分解质因数，\(48=2^4\times3\)，\(36=2^2\times3^2\)，公共质因数最低次幂为\(2^2\times3=12\)，即GCD=12。验证：每份糖果\(48\div12=4\)颗，每份饼干\(36\div12=3\)块，符合“每份数量相同”。（二）周期重合问题核心逻辑：两个或多个周期性事件下次同时发生的时间，需用LCM（求“最小公共周期”）。例题2：公交A线每5分钟一班，B线每8分钟一班，早上7:00同时发车，下次同时发车是几时几分？分析：“下次同时发车”即求5和8的最小公倍数（周期重合的最小时间间隔）。计算：5和8互质（无公共质因数），故\(\text{LCM}=5\times8=40\)。验证：7:00加40分钟，为7:40。（三）材料配套问题核心逻辑：用两种或多种材料按比例配套，需用LCM确定“最小总量”，再计算材料数量。例题3：用长12cm和18cm的木板铺正方形桌面，要求木板恰好用完，至少需要多少块木板？分析：正方形边长需同时是12和18的倍数（木板长度需被边长整除），故边长为\(\text{LCM}(12,18)\)。计算：\(12=2^2\times3\)，\(18=2\times3^2\)，LCM=\(2^2\times3^2=36\)（边长为36cm）。12cm木板：\(36\div12=3\)块/边，共\(3\times3=9\)块？不，正方形桌面的长和宽均为36cm，长方向需\(36\div12=3\)块，宽方向需\(36\div18=2\)块，总块数\(3\times2=6\)块。（四）数值范围与倍数问题核心逻辑：在指定范围内找“既是…又是…”的数，需先求LCM（或GCD），再枚举验证。例题4：在80以内，能同时被4和6整除的数有多少个？分析：“同时被4和6整除”即求4和6的公倍数，先求LCM。计算：\(4=2^2\)，\(6=2\times3\)，LCM=\(2^2\times3=12\)。枚举：80以内12的倍数为12、24、36、48、60、72，共6个（\(12\times6=72\)，\(12\times7=84>80\)）。三、解题策略与易错点1.关键词判断（快速确定用GCD或LCM）GCD场景：含“最多”“最大”“最多分”“最长”等限制上限的词（如“最多分几组”“每份最多多少个”）。LCM场景：含“最少”“最小”“至少”“下次同时”“刚好配套”等要求下限或周期重合的词（如“至少用多少材料”“下次同时发车时间”）。2.计算易错点质因数分解不彻底：如18分解为\(2\times9\)（9未分解为\(3^2\)），导致GCD/LCM计算错误。混淆应用场景：如“最少需要多少材料”误求GCD（应为LCM）。3.验证习惯计算后代入题意验证：例题1：分12份，每份4糖3饼，\(48\div4=12\)，\(36\div3=12\)，符合“每份数量相同”。例题2：5和8的LCM=40，7:00加40分=7:40，合理。结语最大公因数与最小公倍数的应用