2024年高考数学模拟试卷及详解

（依据2024年高考数学考纲聚焦核心考点与命题趋势）前言本模拟卷严格遵循《2024年高考数学考试大纲》要求，结合函数与导数、立体几何、解析几何、数列、概率统计等核心模块命题趋势，设计12道选择题、4道填空题、6道解答题（含选做）。题目梯度分明，既考查基础运算，又突出逻辑推理、数学建模等能力；详解部分注重思维引导与方法提炼，助力考生吃透考点、掌握通法。2024年高考数学模拟试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2<0\}\)，\(B=\{x|2^x>1\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\((1,2)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((0,2)\)2.复数\(z=\frac{2i}{1-i}\)的共轭复数\(\overline{z}\)为（）A.\(-1-i\)B.\(-1+i\)C.\(1-i\)D.\(1+i\)3.函数\(f(x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)的奇偶性为（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶D.既奇又偶4.函数\(y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\)的对称轴方程为（）A.\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）B.\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）C.\(x=k\pi+\frac{5\pi}{12}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）D.\(x=k\pi+\frac{\pi}{12}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）5.已知向量\(\boldsymbol{a}=(1,2)\)，\(\boldsymbol{b}=(2,-1)\)，若\(m\boldsymbol{a}+n\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}\)，则\(\frac{m}{n}=\)（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)6.某几何体三视图（单位：\(\text{cm}\)）显示：正视图矩形，侧视图三角形，俯视图矩形带虚线，其体积为（）A.\(12\)B.\(18\)C.\(24\)D.\(36\)7.从\(\{1,2,3,4,5\}\)中随机选两数\(a,b\)，则\(\log_ab>1\)的概率为（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{10}\)D.\(\frac{1}{2}\)8.双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的一条渐近线过\((2,\sqrt{3})\)，则离心率为（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{13}}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{13}}{2}\)9.曲线\(y=x\lnx\)在\((e,e)\)处的切线方程为（）A.\(y=2x-e\)B.\(y=x-e\)C.\(y=x+e\)D.\(y=2x+e\)10.数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，则\(a_5=\)（）A.\(31\)B.\(32\)C.\(63\)D.\(64\)11.实数\(x,y\)满足\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq2\end{cases}\)，则\(z=x+2y\)的最大值为（）A.\(5\)B.\(6\)C.\(7\)D.\(8\)12.函数\(f(x)=e^x-ax-1\)有两个零点，则\(a\)的取值范围为（）A.\((0,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,1)\)二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2-2n\)，则\(a_5=\)________。14.向量\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)夹角\(60^\circ\)，\(|\boldsymbol{a}|=2\)，\(|\boldsymbol{b}|=1\)，则\(|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=\)________。15.若\(x>0\)，则\(y=x+\frac{4}{x}\)的最小值为________。16.直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(\angleABC=90^\circ\)，\(AB=BC=2\)，\(AA_1=3\)，其外接球体积为________。三、解答题（共70分，写出文字说明或演算步骤）17.（12分）在\(\triangleABC\)中，\(\cosA=\frac{3}{5}\)，\(\sinB=\frac{5}{13}\)。（1）求\(\sinC\)的值；（2）若\(a=2\)，求\(\triangleABC\)的面积。18.（12分）数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=2a_n-1\)（\(n\in\mathbb{N}^*\)）。（1）求\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=\frac{n}{a_n}\)，求\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。19.（12分）四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(E\)为\(PD\)中点。（1）证明：\(PB\parallel\)平面\(AEC\)；（2）若\(PA=AB=2\)，\(AD=3\)，求三棱锥\(E-ACD\)的体积。20.（12分）某中学抽取100名学生，统计一周体育锻炼时间（单位：小时），频率分布表如下：锻炼时间\(t\)\([0,2)\)\([2,4)\)\([4,6)\)\([6,8)\)\([8,10]\)-----------------------------------------------------------------------------频率0.10.20.30.250.15（1）求锻炼时间的平均数；（2）从\([6,8)\)和\([8,10]\)中分层抽样7人，再随机抽2人，求2人都在\([6,8)\)内的概率。21.（12分）椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）离心率\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，过点\((2,1)\)。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）直线\(l:y=kx+m\)与椭圆交于\(A,B\)，若\(OA\perpOB\)，求\(m^2\)与\(k^2\)的关系，并求\(\triangleAOB\)面积的最大值。22.选做题（10分，二选一）选修4-4：坐标系与参数方程曲线\(C\)的参数方程\(\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=\sin\theta\end{cases}\)，直线\(l\)的参数方程\(\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\\y=t\sin\alpha\end{cases}\)（\(t\)为参数）。（1）求曲线\(C\)的普通方程；（2）若\(|MN|=\frac{4\sqrt{2}}{5}\)（\(M,N\)为\(l\)与\(C\)的交点），求\(\sin\alpha\)的值。选修4-5：不等式选讲函数\(f(x)=|x-1|+|x+2|\)。（1）求\(f(x)\geq5\)的解集；（2）若\(f(x)\geqa^2-2a\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围。2024年高考数学模拟试卷详解一、选择题详解1.集合与指数函数考点：集合交集、一元二次不等式与指数不等式解法。思路：分别解\(A\)、\(B\)，再求交集。解答：解\(x^2-3x+2<0\)：因式分解得\((x-1)(x-2)<0\)，解集\((1,2)\)，即\(A=(1,2)\)。解\(2^x>1\)：由\(2^x>2^0\)（指数函数单调递增），得\(x>0\)，即\(B=(0,+\infty)\)。交集\(A\capB=(1,2)\)。答案：A2.复数的运算与共轭复数考点：复数除法、共轭复数定义。思路：化简\(z\)为\(a+bi\)，再求共轭（实部不变，虚部取反）。解答：化简\(z=\frac{2i}{1-i}\)：分子分母同乘\(1+i\)，得\[z=\frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i+2i^2}{2}=\frac{2i-2}{2}=-1+i\]共轭复数\(\overline{z}=-1-i\)（虚部取反）。答案：A3.函数的奇偶性考点：奇偶性定义、对数运算。思路：计算\(f(-x)\)，与\(f(x)\)、\(-f(x)\)比较。解答：定义域：\(\sqrt{x^2+1}+x>0\)对任意\(x\in\mathbb{R}\)成立（因\(\sqrt{x^2+1}>|x|\geq-x\)），关于原点对称。计算\(f(-x)\)：\[f(-x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\ln\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\rig