2024年全国高考理科数学模拟试题及详解

2024年全国高考理科数学模拟试题及详解一、模拟试题说明本套模拟试题依据《2024年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科数学）》编制，紧扣核心素养考查要求，涵盖函数与导数、立体几何、解析几何、概率统计、数列、三角函数等主干知识，题型设置与分值分布贴合高考实际，旨在帮助考生熟悉命题规律、提升解题能力。二、理科数学模拟试题（一）选择题（共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.已知集合\(A=\{x\midx^2-3x-4<0\}\)，\(B=\{x\mid2^x>8\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\((3,4)\)B.\((3,+\infty)\)C.\((-1,3)\)D.\((4,+\infty)\)2.复数\(z\)满足\((1+i)z=2-i\)，则\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)的虚部为（）A.\(-\frac{3}{2}\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)3.函数\(f(x)=\frac{\sinx+x}{\cosx+x^2}\)的图象关于（）对称A.原点B.\(y\)轴C.直线\(x=\frac{\pi}{2}\)D.点\((\frac{\pi}{2},0)\)4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）（三视图描述：正视图为直角三角形，直角边3和4；侧视图为矩形，长4、宽2；俯视图为矩形，长5、宽2）A.\(24\,\text{cm}^3\)B.\(32\,\text{cm}^3\)C.\(40\,\text{cm}^3\)D.\(48\,\text{cm}^3\)5.已知\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(2\sin2\alpha=\cos2\alpha+1\)，则\(\sin\alpha=\)（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)C.\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)6.从写有1、2、3、4、5的5张卡片中随机抽2张，记“数字和为偶数”为事件\(A\)，则\(P(A)=\)（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)7.双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的一条渐近线过\((2,\sqrt{3})\)，焦距\(2\sqrt{7}\)，则双曲线方程为（）A.\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1\)B.\(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1\)C.\(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{5}=1\)D.\(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{2}=1\)8.函数\(f(x)=x^3-3x^2+ax+b\)在\(x=1\)处的切线与\(x+3y-1=0\)垂直，则\(a=\)（）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)9.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(S_3=12\)，\(S_6=54\)，则\(a_{10}=\)（）A.\(20\)B.\(21\)C.\(22\)D.\(23\)10.若\(x,y\)满足\(\begin{cases}x-y+1\geq0\\x+y-3\leq0\\x-3y+3\geq0\end{cases}\)，则\(z=2x-y\)的最大值为（）A.\(4\)B.\(5\)C.\(6\)D.\(7\)11.长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=BC=2\)，\(AA_1=3\)，则异面直线\(AC_1\)与\(BD\)所成角的余弦值为（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{5}\)B.\(\frac{2\sqrt{2}}{5}\)C.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)D.\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)12.函数\(f(x)=e^x-ax^2-x-1\)在\(x\geq0\)时恒非负，则\(a\)的取值范围为（）A.\((-\infty,\frac{1}{2}]\)B.\((-\infty,1]\)C.\((-\infty,\frac{e}{2}]\)D.\((-\infty,e]\)（二）填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.向量\(\boldsymbol{a}=(1,2)\)，\(\boldsymbol{b}=(m,-1)\)，若\((\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a}\)，则\(m=\)________。14.函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})+\cos(2x-\frac{\pi}{6})\)的最大值为________。15.抛物线\(y^2=2px\)的焦点为\(F\)，过\(F\)且斜率为\(\sqrt{3}\)的直线与抛物线交于\(A,B\)，若\(|AB|=8\)，则\(p=\)________。16.数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2^n}\)，则\(a_n=\)________。（三）解答题（共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，第22、23题为选考题。（1）必考题（共60分）17.（12分）数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=2a_n-2\)（\(n\in\mathbb{N}^*\)）。（Ⅰ）求\(\{a_n\}\)的通项公式；（Ⅱ）设\(b_n=\frac{n+1}{a_n}\)，求\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。18.（12分）四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为菱形，\(\angleABC=60^\circ\)，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(E\)为\(BC\)中点。（Ⅰ）证明：\(AE\perpPD\)；（Ⅱ）若\(PA=AB=2\)，求二面角\(P-AE-D\)的余弦值。19.（12分）某地区随机抽取100名高三学生的数学成绩，整理得频率分布直方图（分组：\([80,90)\)至\([140,150]\)）。（Ⅰ）求\([110,120)\)组的频率；（Ⅱ）估计成绩的平均数和中位数；（Ⅲ）从\([130,150]\)的学生中抽2人，记\([140,150]\)的人数为\(X\)，求\(X\)的分布列和期望。20.（12分）椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过\((2,1)\)。（Ⅰ）求椭圆\(C\)的方程；（Ⅱ）直线\(l:y=kx+m\)与\(C\)交于\(A,B\)，若\(OA\perpOB\)，求\(\triangleAOB\)面积的最大值。21.（12分）函数\(f(x)=\lnx+ax^2-(2a+1)x\)（\(a\in\mathbb{R}\)）。（Ⅰ）讨论\(f(x)\)的单调性；（Ⅱ）若\(f(x)\)有两个零点，求\(a\)的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设\(x_1,x_2\)为零点，证明：\(x_1+x_2>\frac{2}{a}+1\)。（2）选考题（共10分，任选一题作答）22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]曲线\(C_1\)的参数方程\(\begin{cases}x=2+2\cos\theta\\y=2\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数），\(C_2\)的极坐标方程\(\rho=4\sin\theta\)。（Ⅰ）求\(C_1\)的普通方程和\(C_2\)的直角坐标方程；（Ⅱ）设\(P\inC_1\)，\(Q\inC_2\)，求\(|PQ|\)的最小值。23.（10分）[选修4-5：不等式选讲]函数\(f(x)=|x-1|+|x+2|\)。（Ⅰ）求\(f(x)\geq5\)的解集；（Ⅱ）若\(f(x)\geqa^2-2a\)恒成立，求\(a\)的取值范围。三、试题详解（一）选择题详解1.答案：A解析：解\(A\)：\(x^2-3x-4<0\)即\((x-4)(x+1)<0\)，得\(-1<x<4\)，故\(A=(-1,4)\)。解\(B\)：\(2^x>8=2^3\)，得\(x>3\)，故\(B=(3,+\infty)\)。因此\(A\capB=(3,4)\)。2.答案：B解析：由\((1+i)z=2-i\)，得\(z=\frac{2-i}{1+i}\)，分子分母同乘\(1-i\)：\(z=\frac{(2-i)(1-i)}{2}=\frac{1-3i}{2}\)，故\(\overline{z}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)，虚部为\(\frac{3}{2}\)。3.答案：A解析：计算\(f(-x)=\frac{-\sinx-x}{\cosx+x^2}=-f(x)\)，故\(f(x)\)为奇函数，图象关于原点对称。4.答案：C解析：由三视图可知，几何体为长方体，长、宽、高分别为5、2、4（结合三视图的尺寸对应关系），体积为\(5\times2\times4=40\,\text{cm}^3\)。5.答案：B解析：由二倍角公式，\(2\sin2\alpha=4\sin\alpha\cos\alpha\)，\(\cos2\alpha+1=2\cos^2\alpha\)，得\(4\sin\alpha\cos\alpha=2\cos^2\alpha\)，因\(\cos\alpha\neq0\)，故\(2\sin\alpha=\cos\alpha\)。结合\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，解得\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}\)。6.答案：B解析：总抽法\(C_5^2=10\)种。事件\(A\)包含“两奇”或“两偶”：奇数有3张，抽法\(C_3^2=3\)；偶数有2张，抽法\(C_2^2=1\)。故\(P(A)=\frac{3+1}{10}=\frac{2}{5}\