专题14乘除法的速算和巧算（解析）

20222023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题14乘除法的速算和巧算知识精讲知识精讲专题简析：乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简便。典例分析典例分析【典例分析01】计算325÷25分析与解答：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这一性质，可以使这道计算题简便。325÷25=（325×4）÷（25×4）=1300÷100=13【典例分析02】计算25×125×4×8分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中，如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。25×125×4×8=（25×4）×（125×8）=100×1000=100000【典例分析03】计算（1）（360+108）÷36（2）（450－75）÷15分析与解答：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的和（或差）。利用这一性质，可以使这道题计算简便。（1）（360+108）÷36（2）（450－75）÷15=360÷36+108÷36=450÷15－75÷15=10+3=30－5=13=25【典例分析04】计算158×61÷79×3分析与解答：在乘除法混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置。158×61÷79×3=158÷79×61×3=2×61×3=366【典例分析05】计算下面各题。（1）123×96÷16（2）200÷（25÷4）分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点，采用加括号或去括号的方法，使计算简便。其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号，添、去括号不变号；括号前是除号，添、去括号要变号。（1）123×96÷16（2）200÷（25÷4）=123×（96÷16）=200÷25×4=123×6=8×4=738=32真题百分练真题百分练一．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分）1．（1分）（2022秋•阳原县期末）从甲地到乙地，坐飞机需要432元，坐火车需要268元，坐飞机比坐火车大约贵（）元。A．170 B．160 C．200【思路引导】根据题意可知，用坐飞机需要的钱数减坐火车需要的钱数即可，计算时采用估算法计算再选择。【规范解答】解：432元接近430元；268元接近270元430﹣270＝160（元）答：坐飞机比坐火车大约贵160元。故选：B。【考点评析】熟练掌握三位数减三位数的估算方法是解答此题的关键。2．（1分）（2022秋•保德县期末）对6.4×101﹣6.4进行简算，将会运用（）A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．加法结合律【思路引导】对6.4×101﹣6.4进行简算时，属于乘法分配律的逆运算，a×c﹣b×c＝（a﹣b）×c．【规范解答】解：6.4×101﹣6.4＝（101﹣1）×6.4，＝100×6.4，＝640；是利用了乘法分配律．故选：B。【考点评析】此题主要考查了乘法分配律，而且是乘法分配律的逆运算．3．（1分）（2022秋•徽县期末）估一估，下面的计算结果可能是18□2的是（）A．1□7×6 B．2□8×9 C．9□8+865【思路引导】先计算出已知数据的结果，看看哪个积的末尾有2，且是1800多，据此解答。【规范解答】解：1□7×6的积最大11□2，不符合题意；如果方框中填写0时，208×9＝1872，所以2□8×9的积可能是18□2。9□8+865的末尾是3，不符合题意。故选：B。【考点评析】本题考查了数的估算知识，结合题意分析解答即可。4．（1分）（2022春•上虞区期末）与25×99的计算结果不相等的式子是（）A．25×100﹣99 B．25×100﹣25 C．99×100÷4【思路引导】先观察每个选项算式的规律，然后根据乘法分配律、减法的性质和运算法则，把每个选项的算式进行简化，在避免大量计算的情况下，即可解答题目。【规范解答】解：A．25×100﹣99＝25×（99+1）﹣99＝25×99+25﹣99＝25×99﹣（99﹣25）＝25×99﹣74B．25×100﹣25＝25×（100﹣1）＝25×99C．99×100÷4＝99×（100÷4）＝99×25故选：A。【考点评析】此题主要考查了运算定律与简便运算，要熟练掌握。5．（1分）（2022春•林州市期末）下面算式的简便计算，错误的是（）A．750÷（25×3）＝750÷3÷25 B．13×98＝13×100﹣2 C．37×102＝100×37+2×37 D．120﹣6.42+3.42＝120﹣（6.42﹣3.42）【思路引导】利用运算律或简便计算性质判断每个题的计算过程是否正确。【规范解答】解：选项A中，根据连除的性质，750÷3÷25＝750÷（25×3），原计算过程正确。选项B中，13×98＝13×（100﹣2）＝13×100﹣13×2，原计算过程错误。选项C中，37×102＝37×（100+2）＝37×100+37×2，原计算过程正确。选项D中，120﹣（6.42﹣3.42）＝120﹣6.42+3.42，原计算过程正确。故选：B。【考点评析】本题考查了整数和小数的四则混合运算，需灵活使用运算律和简便运算性质。二．填空题（共8小题，满分22分）6．（4分）（2022春•固始县期中）在横线里填上“＞”、“＜”或“＝”。99×35＝100×35﹣3596÷8÷2＜96÷（8÷2）428+（500﹣128）＝428+500﹣12860×25+28×25＞（60﹣28）×25【思路引导】（1）先根据乘法分配律把99×35变形，再比较：99×35＝（100﹣1）×35＝100×35﹣35；（2）先根据除法的性质把96÷8÷2变形后再比较：96÷8÷2＝96÷（8×2），8×2＞8÷2，被除数相同都是96，除数越大，商越小，所以96÷（8×2）＜96÷（8÷2）；（3）根据加法结合律可知：428+（500﹣128）＝428+500﹣128；（4）先根据乘法分配律把左边算式变形后，再比较；60×25+28×25＝（60+28）×25，60+28＞60﹣28，一个乘数相同是25，另一个乘数越大积越大，所以（60+28）×25＞（60﹣28）×25。【规范解答】解：99×35＝100×35﹣3596÷8÷2＜96÷（8÷2）428+（500﹣128）＝428+500﹣12860×25+28×25＞（60﹣28）×25故答案为：＝，＜，＝，＞。【考点评析】解决本题注意观察算式的特点，根据算式的不同选择合适的方法进行比较。7．（2分）（2022春•福鼎市期末）小刚的计算器上数字键“2”坏了，他要用计算器计算358×24，他可以怎样用这个计算器算出正确的结果？请写出2道不同的算式。358×3×8或358×4×6。【思路引导】根据乘法的意义：358乘24，转化为358×3×8、358×4×6乘积，据此解答。【规范解答】解：358×24，转化为358×3×8、358×4×6乘积。故答案为：358×3×8、358×4×6。【考点评析】本题考查了数的拆分，关键吧24分成3与8、4与6的积，由此进行解答即可。8．（3分）（2022春•滑县月考）在□里填上适当的数。（1）□×18+15×□＝15×（□+82）（2）25×44＝25×□×□（3）400÷25÷4＝400÷（□×□）【思路引导】（1）根据乘法分配律的意义，（a+b）×c＝a×c+b×c，据此解答。（2）25×44，把44拆分为4×11，再运用乘法结合律简算。（3）400÷25÷4＝400÷（□×□），应用除法的运算性质简算。【规范解答】解：（1）（15）×18+15×（82）＝15×（18+82）；（2）25×44＝25×4×11；（3）400÷25÷4＝400÷（25×4）。故答案为：15、82、18；4、11；25、4。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握乘法的运算定律、除法的运算性质，并且能够灵活运用这些运算定律和运算性质进行简算。9．（4分）（2022春•海陵区校级期中）估算506×68时，可以把506看做500，68看做70，估算的结果约是35000，与实际结果相差592．【思路引导】乘法的估算，一般要根据“四舍五入”法把因数看作是整十、整百、整千…的数来进行计算，然后按表内乘法的计算方法计算，再在乘积的末尾添上相应的0即可；然后根据整数乘法的计算法则算出准确的积，然后求差即可．【规范解答】解：估算506×68时，可以把506看做500，68看做70，估算的结果约是35000，506×68＝34408，与实际结果相差：35000﹣34408＝592．故答案为：500，70，35000，592．【考点评析】本题考查了乘法的估算以及整数乘法的计算法则，估算时，一般要根据“四舍五入”法把数看作是整十、整百、整千…的数来进行计算，这样较简便．10．（3分）（2021春•奎文区期末）比较大小：90÷3÷2＝90÷6360÷40＝360÷8÷5观察算式，把你发现的规律用含有字母的式子表示出来a÷b÷c＝a÷（b×c）。【思路引导】根据除法的性质，a÷b÷c＝a÷（b×c），据此解答即可。【规范解答】解：90÷3÷2＝90÷6360÷40＝360÷8÷5发现的规律是：a÷b÷c＝a÷（b×c）。故答案为：＝；＝；a÷b÷c＝a÷（b×c）。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握除法的性质及应用。11．（2分）（2015春•昭通月考）117×3+117×7＝117×（3+7），这道题运用了乘法分配律；78×125×8＝78×（125×8），这道题运用了乘法结合律．【思路引导】117×3+117×7，根据乘法分配律的意义，（a+b）×c＝a×c+b×c，据此简算；78×125×8，根据乘法结合律的意义，（a×b）×c＝a×（b×c），据此简算．【规范解答】解：117×3+117×7＝117×（3+7）＝117×10＝1170；78×125×8＝78×（125×8）＝78×1000＝78000；故答案为：乘法分配律；乘法结合律．【考点评析】此题考查的目的是理解掌握乘法分配律、乘法结合律的意义及应用．12．（2分）（2021春•闽侯县月考）小虎在计算675÷15时，错误地写成了675÷45，将小虎的计算结果乘3就能得到正确的答案。【思路引导】算式675÷15错误地写成了675÷45，被除数没变，除数乘了3，商就要除以3，所以要想得到原来算式正确的商需要再乘3，据此即可解答。【规范解答】解：小虎在计算675÷15时，错误地写成了675÷45，将小虎的计算结果乘3就能得到正确的答案。故答案为：乘3。【考点评析】本题考查了商的变化规律，被除数不变，除数乘（除以）几（0除外），商要除以（乘）几。13．（2分）在横线里填上适当的数．167×2+167×3+167×5＝167×1028×225﹣2×225﹣6×225＝20×225．【思路引导】（1）根据乘法分配律，可得：167×2+167×3+167×5＝167×10．（2）根据乘法分配律，可得：28×225﹣2×225﹣6×225＝20×225．【规范解答】解：（1）167×2+167×3+167×5＝167×（2+3+5）＝167×10＝1670所以167×2+167×3+167×5＝167×10．（2）28×225﹣2×225﹣6×225＝（28﹣2﹣6）×225＝20×225所以28×225﹣2×225﹣6×225＝20×225．故答案为：10、20．【考点评析】此题主要考查了运算定律与简便运算，要熟练掌握，注意乘法分配律的应用．三．判断题（共5小题，满分5分，每小题1分）14．（1分）（2023•郧阳区模拟）16×125×25＝125×8×（25×2）。√（判断对错）【思路引导】把16化成2×8，再运用乘法的交换律、结合律进行简算。【规范解答】解：16×125×25＝（2×8）×125×25＝8×125×25×2＝125×8×（25×2）＝1000×50＝50000所以原题计算正确。故答案为：√。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握乘法交换律、结合律的意义及应用。15．（1分）（2022春•红花岗区期末）（a+b）×5＝a×5+b×5，运用了乘法交换律。×（判断对错）【思路引导】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。叫做乘法交换律。【规范解答】解：根据分析可知，（a+b）×5＝a×5+b×5，运用了乘法分配律，故原题干说法错误；故答案为：×。【考点评析】正确理解乘法交换律和乘法分配律的意义，是解答此题的关键。16．（1分）（2022春•鹿城区校级期中）25×32×125＝（125×8）×（4×25），它运用了乘法分配律。×（判断对错）【思路引导】把32化为4×8，再运用乘法结合律解答。【规范解答】解：25×32×125＝（125×8）×（4×25）＝1000×100＝100000运用了乘法结合律。所以原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】本题主要考查学生对于乘法结合律的掌握情况。17．（1分）（2022春•罗山县期末）125×4×25×8＝（125×8）+（4×25）×．（判断对错）【思路引导】左边根据乘法交换律及结合律计算，题中全是乘号，没有加号，所以左边不等于右边．【规范解答】解：125×4×25×8＝（125×8）×（4×25）＝1000×100＝100000（125×8）+（4×25）＝1000+100＝1100所以左边≠右边故答案为：×．【考点评析】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算律简便计算．18．（1分）（2021春•霸州市期末）125×4×25×8＝（125×8）+（25×4）．×（判断对错）【思路引导】125×4×25×8运用乘法交换律和结合律，即4和8交换，然后125和8结合，25和4结合，应该等于（125×8）×（25×4），据此判断．【规范解答】解：125×4×25×8＝（125×8）×（25×4）＝1000×100＝100000；这是运用了乘法交换律和结合律；所以题干说法错误．故答案为：×．【考点评析】此题考查学生对乘法分配律与乘法交换律和结合律的理解和掌握情况，不能混为一谈．四．计算题（共2小题，满分24分，每小题12分）19．（12分）（2022春•岳阳期末）脱式计算，能简便的要简便计算。12.78+（3.9+2.22）53×99520×（80﹣720÷9）450÷50+30×126000÷125÷8365×14﹣14×265【思路引导】（1）去括号后用加法交换律计算。（2）将99化成100﹣1，再用乘法分配律计算。（3）先算括号里的除法，再算括号里的减法，最后算括号外的乘法。（4）同时计算乘法和除法，再算加法。（5）利用连除的性质计算。（6）利用乘法分配律计算。【规范解答】解：（1）12.78+（3.9+2.22）＝12.78+2.22+3.9＝15+3.9＝18.9（2）53×99＝53×（100﹣1）＝5300﹣53＝5247（3）520×（80﹣720÷9）＝520×（80﹣80）＝520×0＝0（4）450÷50+30×12＝9+360＝369（5）6000÷125÷8＝6000÷（125×8）＝6000÷1000＝6（6）365×14﹣14×265＝（365﹣265）×14＝100×14＝1400【考点评析】本题考查了整数及小数的四则混合运算，需熟练掌握运算法则，灵活使用运算律和运算性质。20．（12分）（2016春•盐边县月考）计算下面各题，怎样简便就怎样计算355+260+140+24548×12538×99+38176×56+25×56﹣56690÷15÷2999×8+666×3．【思路引导】（1）利用加法的交换律与结合律计算；（2）利用乘法结合律计算；（3）、（4）、（6）利用乘法分配律计算；（5）利用除法性质计算．【规范解答】解：（1）355+260+140+245＝（355+245）+（260+140）＝600+400＝1000（2）48×125＝6×8×125＝6×（8×125）＝6×1000＝6000（3）38×99+38＝38×（99+1）＝38×100＝3800（4）176×56+25×56﹣56＝56×（176+25﹣1）＝56×200＝11200（5）690÷15÷2＝690÷（15×2）＝690÷30＝23（6）999×8+666×3＝111×9×8+111×6×3＝111×72+111×18＝111×（72+18）＝111×90＝9990【考点评析】考查学生对四则运算法则以及运算定律的掌握情况．五．应用题（共3小题，满分14分）21．（4分）（2022春•望城区期末）小学生每天大约需要5g食盐。1个小学生100天大约需要多少克食盐？合多少千克？估算一下，一年大约需要多少千克食盐？【思路引导】小学生每天大约需要5g食盐，100天大约需要100个5g，即5×100＝500g＝0.5kg；一年有365天，需要365个5g，即5×365，把365看作400，然后再进一步解答。【规范解答】解：5×100＝500（g）500g＝0.5kg5×365≈2000（g）2000克＝2千克答：100天大约需要500克，合0.5千克，一年大约需要2千克食盐。【考点评析】求几个相同加数的和是多少，用乘法进行解答，注意单位之间的换算。22．（5分）（2022春•裕华区期末）李伯伯的小果园收苹果和梨各37筐，每筐苹果批发价260元，每筐梨批发价240元。两种水果都批发出去能得到多少钱？【思路引导】用每筐苹果的批发价加每筐梨的批发价，求出一筐苹果和一筐梨的总价钱，再根据两种水果的价钱＝每筐梨和苹果的总价钱×筐数，可求出两种水果都批发出去能得到多少钱。【规范解答】解：（240+260）×37＝500×37＝18500（元）答：两种水果都批发出去能得到18500元。【考点评析】本题主要考查了学生运用乘法分配律来解决问题的能力，重点是掌握两种水果的价钱＝每筐梨和苹果的总价钱×筐数这一数量关系。23．（5分）（2022春•德州期中）学校食堂购进大米和面粉各204袋，大米每袋56元，面粉每袋44元。大米和面粉一共花了多少元？（用简便方法来计算）【思路引导】大米每袋56元，204袋大米的价格就是204个56元，用56乘204即可求出大米的价格，同理求出面粉的价格，再相加即可，计算时根据乘法分配律简算。【规范解答】解：56×204+44×204＝（56+44）×204＝100×204＝20400（元）答：大米和面粉一共花了20400元。【考点评析】解决本题根据乘法的意义列出算式，再根据乘法分配律简算。六．解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）24．（5分）（2022春•祥符区期末）思考与计算。（1）观察下列算式，每个步骤是应用了哪些运算定律，请填出来并正确计算。115+24+116+85＝85+115+116+24←运用加法交换律＝（85+115）+（116+24）←运用加法结合律＝200+140＝340（2）下面是小明和小丽在计算“25×12“这道题时的计算过程。他们在第二步出现了分歧，你同意谁的算法。写一写你同意的理由。（）【思路引导】（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。（2）注意区分乘法结合律和乘法分配律的不同，乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变；两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，这叫做乘法分配律；字母表示为：a×（b+c）＝a×b+a×c。【规范解答】解：（1）115+24+116+85＝85+115+116+24←运用加法交换律＝（85+115）+（116+24）←运用加法结合律＝200+140＝340（2）小明的第一步算式正确，第二步出现了错误，原因是没搞清乘法分配律，小丽的运算是根据乘法分配律进行的，符合乘法分配律的形式。故答案为：交换，结合，200，140，340。【考点评析】熟练掌握加法交换律、结合律以及乘法分配律的特征是解题的关键。25．（5分）（2022春•樊城区期末）学校要买25个篮球，每个98元。李老师带了2500元钱，够吗？同学们用不同的方法解决了这道题，下面谁的解答不正确？请说明错误的原因。思然：2500÷98≈25（个）↓10025个＝25个答：李老师的钱够。星雨：25×98＝25×100﹣25×2＝2450（元）2450元＜2500元答：李老师的钱够。文青：25×98＝25×8×90＝18000（元）18000元＞2500元答：李老师的线不够。【思路引导】单价×数量＝总价，总价÷单价＝数量，总价÷数量＝单价，此题中数量为25个，单价是98元。据此计算并解答。【规范解答】解：思然是根据总价÷单价＝数量计算的：采用的是估算法，把98看作100，因为98＜100，25个＝25个，所以思然的解答方法正确。星雨是根据总价＝数量×单价计算的，把98写成（100﹣2），再根据乘法分配律计算，计算出买25个球的总价小于2500元，所以解答正确。文青是根据总价＝数量×单价列式计算的；但98≠8×90，错误的运用了乘法结合律，所以文青的解答错误。【