2024-2025学年上海市徐汇中学高三下学期5月能力诊断数学试题

2024-2025学年上海市徐汇中学高三下学期5月能力诊断数学试题一、填空题(★)1.若集合，则实数______.(★)2.的终边在第______象限．(★★)3.i为虚数单位，则___________．(★★)4.已知的展开式中项的系数为，则______．(★★)5.函数的最小正周期为________．(★★)6.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为____________.(★★)7.等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为________．(★★)8.已知函数在区间内单调递增，则的最大值为_______.(★★★)9.某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为______(★★★★)10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支和左支分别交于点，，若的面积为，且的面积是面积的2倍，则双曲线的离心率为______.(★★★)11.为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为______.(★★★★★)12.已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________．二、单选题(★)13.下列函数中，在区间上为严格增函数的是（）

A．B．C．D．(★)14.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（）

A．B．C．四边形的周长为D．四边形的面积为(★★★)15.在正方体中，是底面的中心，是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（）

A．B．C．D．(★★★★)16.飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则（）

A．5B．6C．7D．8三、解答题(★★★)17.如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点.(1)证明：平面平面.(2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积.(★★★)18.设为数列的前项和，且是和8的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)令，数列的前项和为，证明：.(★★)19.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.附：

(★★★★)20.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点．(1)求的方程；(2)证明：点在定直线上；(3)延长交（2）中的直线于