解析卷黑龙江省讷河市中考数学真题分类（勾股定理）汇编单元测评试卷（详解版）

黑龙江省讷河市中考数学真题分类（勾股定理）汇编单元测评考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（）A． B．3 C．3 D．32、勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（

）A． B． C． D．3、如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（

）A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c24、若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、下面图形能够验证勾股定理的有（）个A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6、如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（

）A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积7、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（

）A．5 B．9 C．16 D．25第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度______．2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB=10，BC=8，则△ACE的面积为________．3、如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．4、勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．5、如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．6、在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC∶BC=1∶7，AB=100米，则AC=_________米．7、如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD折叠至，连接交CD于点E，交CB于点F，点F是的中点．若的面积为12，，则点F到AC的距离为______．8、如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，经测量，，则的面积为______．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？2、如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．(1)求证：；(2)求DF的长．3、在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．4、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22=，；OA32=12+，；OA42=12+，…（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OAn2=______；Sn=______．（2）求出OA10的长．（3）若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．5、阅读理解：课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，_________，_________；(2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，则后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，……于是他很快表示出了第二个数为，则用含的代数式表示第三个数为_________．(3)用所学知识说明（2）中用表示的三个数是勾股数．6、小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．已知A，B，C在同一条直线上，为了在小山的两侧B，C同时施工，过点B作一直线m（在山的旁边经过），过点C作一直线l与m相交于D点，经测量，，米，米．若施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完？7、在边长为8的等边ABC中，点D是边AB上的一动点，点E在边AC上，且CE=2AD，射线DE绕点D顺时针旋转60°交BC边于F．（1）如图1，求证：∠AED=∠BDF；（2）如图2，在射线DF上取DP=DE，连接BP，①求∠DBP的度数；②取边BC的中点M，当PM取最小值时，求AD的长.-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分.由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【详解】解：AB＝AC，,故选B.【考点】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．2、B【解析】【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选B.【考点】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．3、A【解析】【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．4、B【解析】【详解】分析：x可为斜边也可为直角边，因此解本题时要对x的取值进行讨论．解答：解：当x为斜边时，x2=22+42=20，所以x=2；当4为斜边时，x2=16-4=12，x=2．故选B．点评：本题考查了勾股定理的应用，注意要分两种情况讨论．5、A【解析】【分析】分别计算图形的面积进行证明即可．【详解】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；故选：A．【考点】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键．6、D【解析】【分析】如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，则，即可推出由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN，又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴，∴，∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D【考点】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．7、D【解析】【分析】设，根据勾股定理可得，即可求解．【详解】解：设，根据勾股定理可得，即两个正方形的面积和为25故选：D【考点】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．二、填空题1、12米【解析】【分析】设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度为米，根据题意可得：，解得：，答：旗杆的高度为12米．故答案为：12米．【考点】本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．2、【解析】【分析】求出AC=6，面积法求出CD=，在Rt△BCD中，用勾股定理得BD=，即可得B'D=B'C-CD=，设BE=B'E=x，则DE=BD-BE=-x，在Rt△B'DE中，用勾股定理可得BE=4，即可得到答案．【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∴AC==6，∵CD⊥AB，∴2S△ABC=AB•CD=AC•BC，∴CD==，在Rt△BCD中，BD=，∵将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，∴B'C=BC=8，BE=B'E，∴B'D=B'C-CD=8-=，设BE=B'E=x，则DE=BD-BE=-x，在Rt△B'DE中，B'D2+DE2=B'E2，∴（）2+（-x）2=x2，解得x=4，∴BE=4，∴AE=AB-BE=6，∴△ACE的面积为AE•CD=×6×=，故答案为：．【考点】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理．3、【解析】【分析】少走的距离是AC+BC-AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．【详解】解：如图，∵在中，，∴米，则少走的距离为：米，∵步为米，∴少走了步．故答案为：．【考点】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，掌握勾股定理是解题的关键．4、m2+1【解析】【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】∵2m为偶数，∴设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，∴弦长为m2+1，故答案为：m2+1．【考点】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5、【解析】【分析】设，则，由折叠的性质可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．【详解】解：设，则，由折叠的性质可知，，，．在中，，．在中，，即，解得．的长为．【考点】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6、【解析】【分析】首先根据BC，AC的比设出BC，AC，然后利用勾股定理列式计算求得a，即可求解．【详解】解：∵AC∶BC=1∶7，∴设AC=a，则BC=7a，∵∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴1002=a2+(7a)2，解得：a=10，∴AC=10米．故答案为：10．【考点】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．7、【解析】【分析】过点F作FH⊥AC于点H，由翻折的性质可知S△AA'D=24，由D为AB的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D为AB的中点，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F为A'E的中点，∴A'F=EF，在△A'BF与△ECF中，，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA==10，在△CAF中，CA•HF=AF•CE，∴HF==，即点F到AC的距离为，故答案为：．【考点】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键．8、##【解析】【分析】根据题意，，进而求得，勾股定理求得，即可求得的面积．【详解】解：折叠，，，，∵四边形是正方形∴中．．故答案为：【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题1、北偏西45°（或西北）【解析】【分析】直接得出RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海

天”号航行方向．【详解】解：由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，∵182+242=302，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ=90°，∵“远航”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行，∴∠RPS=45°，∴“海天”号沿北偏西45°（或西北）方向航行．【考点】本题考查了勾股定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．2、(1)见解析(2)DF的长为5．【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．(1)证明：∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=∠CED=90°，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，同理：CD2=20，∴AD2+CD2=80+20=100，∵AC=AE+CE=8+2=10，∴AC2=100，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC=90°；(2)解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC=10，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∵点F是边AB的中点，∴DF=AB=5．∴DF的长为5．【考点】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．3、84.【解析】【详解】解：作AD⊥BC于D，如图所示：设BD=x，则．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：，在Rt△ACD中，由勾股定理得：，∴，

解之得：．

∴．

∴．4、（1）OAn2＝n；Sn＝；（2）OA10＝；（3）说明他是第20个三角形；（4）．【解析】【分析】（1）利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化，（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出，（3）若一个三角形的面积是，利用前面公式可以得到它是第几个三角形，（4）根据题意列出式子即可求出．【详解】（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn＝；（2）∵OAn2＝n，∴OA10＝；（3）若一个三角形的面积是，根据：Sn＝＝，∴＝2＝，∴说明他是第20个三角形，（4）S12+S22+S32+…+S102，＝，＝，＝，＝．故答案为（1）OAn2＝n；Sn＝；（2）OA10＝；（3）说明他是第20个三角形；（4）．【考点】本题考查规律型：图形的变化类，勾股定理的应用.5、(1)60，61(2)(3)见解析【解析】【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；（3）依据勾股定理的逆定理进行证明即可．(1)解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61；(2)解：第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为；则用含a的代数式表示第三个数为；故答案为：；(3)解：∵，，∴，又∵a为奇数，且a≥3，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．【考点】本题考查的是勾股数之间的关系，属规律型问题，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．6、施工队6天能挖完．【解析】【分析】根据题意可得∠BCD＝90°，再利用勾股定理得出BC，继而即可求解．【详解】解：∵，∴，∵米，米，∴（米）故（天）答：施工队6天能挖完．【考点】本题考查外角的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得∠BCD＝90°．7、（1）见解析；（2）①30°；②2