（人教A版）选择性必修一高二数学上册 同步学案+同步练习 3.3.1 抛物线及其标准方程（原卷版）

第页3．3．1抛物线及其标准方程【题型归纳目录】题型一：抛物线的定义题型二：抛物线的标准方程题型三：轨迹方程—抛物线题型四：抛物线距离和与差的最值问题题型五：抛物线的实际应用【知识点梳理】知识点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．知识点二、抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系．设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为．设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合，将上式两边平方并化简，得．①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是．抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，．知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是．一般情况归纳：方程图象的开口方向焦点准线时开口向右时开口向左时开口向上时开口向下④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．【典型例题】题型一：抛物线的定义例1．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（

）A． B．C． D．例2．从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为___________.例3.若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（

）A．6 B．8 C．12 D．16例4．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．例5．已知抛物线：的焦点为，准线为，为上在第一象限的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴相交于点，若，则______.例6．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．题型二：抛物线的标准方程例7．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．例8．顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或例9．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的标准方程是（

）A． B．C． D．例10．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，点为圆与的一个交点，且，则的标准方程是（

）.A． B． C． D．例11．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若为等边三角形，则抛物线的标准方程是（）A． B． C． D．例12．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（

）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x题型三：轨迹方程—抛物线例13．下列说法正确的个数是（

）（1）动点满足，则P的轨迹是椭圆（2）动点满足，则P的轨迹是双曲线（3）动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线（4）动点满足，则P的轨迹是圆和两条射线A．0 B．1 C．2 D．3例14．到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．例15．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．例16．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线：上的动点，点在线段的垂直平分线上，且，则动点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．例17．抛物线：的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．例18．已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（

）．A． B． C． D．例19．设动点是抛物线上任意一点，点，存在点，使得，则的轨迹方程是（

）A． B．C． D．例18．若动圆C过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8,则动圆圆心C的轨迹方程是(

)A． B． C． D．()题型四：抛物线距离和与差的最值问题例19．已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例20．已知A（2，1），抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（

）A． B． C． D．例21．已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值为（

）A． B． C． D．例22．已知抛物线，经过点，且焦点为F，点A是抛物线C上任意一点，若点，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7例23．已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．例24．已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8例25．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．例26．的最小值为（

）A．5 B． C．6 D．例27．过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型五：抛物线的实际应用例28．北京时间2022年4月16日9时56分，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分．已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，向航天器发出变轨指令，则航天器降落点B与观测点A之间的距离为（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1例29．如图1所示，拋物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角，则其焦径比为______．例30．一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．卫星发射的信号波束到达后，在轴截面内呈近似平行状态射入，经反射聚集到焦点处，从而位于焦点处的信号接收器可以接受到较强的信号波．已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为1米．根据图2中的坐标系，解答下列问题：(1)求接收器与顶点间的距离；(2)证明一卫星信号波沿着平行于对称轴方向射入，经过抛物线上的点M（不同于抛物线顶点）反射后经过焦点F．【同步练习】一、单选题1．已知圆与抛物线的准线相切，则（

）A．1 B．2 C．4 D．82．已知抛物线（）上的点到该抛物线焦点F的距离为，则（

）A．4 B．3 C． D．3．已知直线l过点，且垂直于x轴．若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．4．已知直线l过抛物线的焦点，且平分圆，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．5．设为抛物线：的焦点，直线：，点为上任意一点，过点作于，则（

）A．－2 B．2 C．3 D．不能确定6．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点.若，则点的坐标为（

）A．B．C．D．7．如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（

）A． B． C．1 D．8．我们知道，二次函数的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数的图象的焦点坐标为（

）A． B． C． D．二、多选题9．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（

）A．点P的轨迹是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”10．已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上．则（

）A． B．当轴时，C．为定值1 D．若，则直线的斜率为三、填空题11．若抛物线的顶点在原点，准线与其平行线的距离为，则抛物线的