苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程解答专项练习题【含答案】

苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》解答专项练习题1．解方程：（1）用配方法解方程：2x2﹣6x+3＝0；（2）选用适当的方法解方程：（x﹣3）2+（x﹣6）2＝9．2．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）x2﹣3x+2＝0；（2）x2﹣x﹣3＝0．3．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若+＝36求m的值．4．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．（2）等腰△ABC的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．5．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．6．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝．x1x2＝．（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．7．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）当n为何值时；△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？8．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x米．（1）若围成的花圃面积为36平方米，求此时宽AB；（2）能围成面积为52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能，请说明理由．9．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价a元，则平均每天的销售数量为件（用含a的代数式表示）．（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？（3）该商店每天的销售利润可能达到1450元吗？请说明理由．10．已知关于x的方程kx2﹣（k+8）x+8＝0．（1）求证：无论k取任何数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好都是这个方程的两个根，求此时的k值和这个等腰三角形的周长．（3）若方程有两个根分别是x1，x2，是否存在|x1﹣x2|＝2，若存在，请求k的值，若不存在，请说明理由．11．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点的距离是4cm？12．某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元．（1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利4500元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？13．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．14．某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？15．如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；（1）为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求边AB为多少米？（2）用这些篱笆，能使围成的长方形ABCD面积是110平方米吗？说明理由．16．一商店销售某种商品，平均每天可售出12件，每件盈利20元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于15元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件商品降价2元，则平均每天盈利多少元？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为320元？17．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．18．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点同时停止运动．（1）是否存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．（2）几秒后，△PQD是以DP为斜边的直角三角形．20．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（2）经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？

参考答案1．解：（1）方程整理得：x2﹣3x＝﹣，配方得：x2﹣3x+＝﹣，即（x﹣）2＝，开方得：x﹣＝±，解得：x1＝，x2＝；（2）方程整理得：x2﹣6x+9+x2﹣12x+36＝9，整理得：2x2﹣18x+36＝0，即x2﹣9x+18＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，所以x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得：x1＝3，x2＝6．2．解：（1）x2﹣3x+2＝0，将方程变形，得（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2．（2）∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝＞0，∴x＝＝，解得x1＝，x2＝．3．（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）＝36＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵x1+x2＝2m，，∴+＝＝4m2﹣2m2+18＝36，化简，得2m2＝18，解得m＝3或m＝﹣3．4．（1）证明：Δ＝（k+3）2﹣4×3k＝（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：依题意有Δ＝（k﹣3）2＝0，则k＝3，将其代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0，得x2﹣（3+3）x+3×3＝0．解得x1＝x2＝3．故△ABC的周长是2+3+3＝8．5．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）＝4+12m2＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得：，解得：，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3m2＝﹣3，∴m＝±1，∴m的值为±1．6．解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，故答案为：，﹣；（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，∴m+n＝，mn＝﹣，∴＝＝＝＝；（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，∴s，与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝，st＝﹣，∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），（s﹣t）2＝，∴s﹣t＝，∴＝＝＝＝．7．（1）证明：∵Δ＝[﹣2（n﹣1）]2﹣4（n2﹣2n）＝4＞0，∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，∵第三边BC的长是10，当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，当x＝10时，100﹣20（n﹣1）+n2﹣2n＝0，解得n＝12或10，①当n＝12时，方程变为x2﹣22x+120＝0，设等腰三角形的底为m，根据根与系数的关系，m+10＝22，∴m＝12，∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；②当n＝10时，方程变为x2﹣18x+80＝0，设等腰三角形的底为n，根据根与系数的关系，10+n＝18，解得n＝8，∴△ABC的周长为10+10+8＝28；综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，∴AB+AC＝2（n﹣1），AB•AC＝n2﹣2n，∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，∴AB2+AC2＝BC2，即4（n﹣1）2﹣2（n2﹣2n）＝100，解得n＝8或﹣6，当n＝8时，AB+AC＝2×（8﹣1）＝14，符合题意，当n＝﹣6时，AB+AC＝2×（﹣6﹣1）＝﹣14，不合题意，综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．8．解：（1）∵花圃的宽AB为x米，∴花圃的长AD为（24﹣3x）米．依题意得：x（24﹣3x）＝36，整理得：x2﹣8x+12＝0，解得：x1＝2，x2＝6．当x＝2时，24﹣3x＝24﹣3×2＝18＞10，不合题意，舍去；当x＝6时，24﹣3x＝24﹣3×6＝6＜10，符合题意．答：此时宽AB为6米．（2）不能围成面积为52平方米的花圃，理由如下：依题意得：x（24﹣3x）＝52，整理得：3x2﹣24x+52＝0，∵Δ＝（﹣24）2﹣4×3×52＝﹣48＜0，∴该方程无实数根，即不能围成面积为52平方米的花圃．9．解：（1）20+2×a＝（2a+20）（件）．故答案为：（2a+20）．（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．又∵每件盈利不少于25元，即40﹣x≥25，∴x≤15，∴x＝10．答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．（3）该商店每天的销售利润不可能达到1450元．理由：由（2）可得，（40﹣x）（20+2x）＝1450，∴x2﹣30x+325＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝302﹣4×325＜0，∴原方程没有实数根，∴该商店每天的销售利润不可能达到1450元．10．（1）证明：当k＝0时，方程化为﹣8x+8＝0，解得：x＝1，方程有解；当k≠0时，∵Δ＝（8+k）2﹣4×8k＝（k﹣8）2，∵（k﹣8）2≥0，∴△≥0，∴无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）解：解方程kx2﹣（k+8）x+8＝0得x1＝，x2＝1，①当腰长为4，则k＝2，周长＝4+4+1＝9，②当底边为14，∴x1＝x2，∴k＝8，1+1＜4，不符合题意．故k＝2，周长为9；（3）解：解方程kx2﹣（k+8）x+8＝0得x1＝，x2＝1，∵|x1﹣x2|＝2，∴|﹣1|＝2，解得k＝或﹣8．11．解：设经过t秒后，P，Q两点的距离是4cm，根据题意，得（2t）2+（6﹣t）2＝（4）2，整理，得（5t﹣2）（t﹣2）＝0，解得t1＝，t2＝2．当t＝2时，2t＝4＜8，符合题意，答：秒或2秒后，P，Q两点间的距离等于4cm．12．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：64（1﹣a）2＝49，解得：a1＝1.875（舍去），a2＝0.125＝12.5%，答：每次下降的百分率为12.5%；（2）设每千克应涨价x元，由题意，得：（10+x）（500﹣40x）＝4500，整理，得2x2﹣5x﹣25＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣2.5（不合题意舍去），答：该商场要保证每天盈利4500元，那么每千克应涨价5元．13．解：（1）设月平均增长率为x，根据题意，得3（1+x）2＝3.63，解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．（2）假设保持相同的月平均增长率，那么2022年1月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件）．答：2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．14．解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1+x）个，三月份平均日产量为40000（1+x）2个，依题意得：40000（1+x）2＝48400，解得：x1＝﹣2.1（不合题意，舍去），x2＝0.1＝10%．答：口罩日产量的月平均增长率为10%．（2）48400×（1+10%）＝53240（个）．答：预计四月份平均日产量为53240个．15．解：（1）设AB的长为x米，依题意的方程：x（34+2﹣3x）＝96，解得：x1＝4，x2＝8，答：当AB的长度为4米或8米时，长方形ABCD的面积为96平方米；（2）不能．理由：假设长方形ABCD的面积是110平方米，依题意得：x（34+2﹣3x）＝110．即3x2﹣36x+110＝0，∵Δ＝（﹣36）2﹣4×3×110＝﹣24＜0，∴该一元二次方程无实数根，∴假设不成立，∴长方形ABCD的面积是不能为110平方米．16．解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量12+4＝16（件），利润为：18×16＝288．（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为320元，由题意得：（20﹣x）（12+2x）＝320，整理得：x2﹣14x+40＝0，∴（x﹣4）（x﹣10）＝0，∴x1＝4，x2＝10，∵每件盈利不少于15元，∴x2＝10应舍去．答：每件商品降价4元时，该商品每天的销售利润为320元．17．解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，故答案为：（20+2x），（40﹣x）；（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200．解得：x1＝20，x2＝10，∵扩大销售量，增加利润，∴x＝20，答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；（3）依题意，可列方程：（40﹣x）（20+2x）＝2000，化简，得x2﹣30x+600＝0，Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0．故方程无实数根．故平均每天销售利润不能达到2000元．18．解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市改