分层培优：余角和补角（解析版）-提能力

2/2余角和补角（分层培优提分练）1．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如图是光的反射定律示意图，PO,OQ,OM分别是入射光线，反射光线和法线．若∠POM=2∠POB，则∠AOQ的度数为（

）A．18° B．20° C．30° D．36°【答案】C【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键．先根据余角的性质以及∠POM=2∠POB可求得∠POB，再根据光的反射定律以及余角的性质可得∠AOQ=∠POB即可解答．【详解】解：∵∠POM=2∠POB，∴3∠POB=90°，即∠POB=30°，根据光的反射定律可知，∠POM=∠MOQ，∵∠POB+∠POM=90°，∴∠AOQ=∠POB=30°．故答案为：C．2．（21-22七年级上·福建泉州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，A．α+β+γ=90° B．α+β–γ=90°C．α-β+γ=90° D．α+2β-γ=90°【答案】C【分析】本题主要考查了余角的计算，正确理解β=90°-∠1-∠2这一关系是解决本题的关键．根据α+∠1=∠1+β+∠2=∠2+γ=90°，即可求得∠1=90°-α，∠2=90°-γ，代入β=90°-∠1-∠2，从而求解．【详解】解：如图：∵三个大小相同的正方形，∴α+∠1=∠1+β+∠2=∠2+γ=90°，∴∠1=90°-α，∠2=90°-γ，∴β=90°-∠1-∠2=90°-90°+α-90°+γ=α+γ-90°，即α-β+γ=90°，故选：C．3．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，AB是直线，O是AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，则图中与∠EOD互补的角有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】本题主要几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，先根据已知条件证明∠DOE=∠AOF，再由平角的定义推出∠DOE+∠BOF=180°，∠BOE=90°，据此证明∠EOF=∠BOD，进而利用角平分线的定义得到∠EOF=∠BOD=∠BOC，则可证明∠COE=∠BOF，得到∠COE+∠DOE=180°，据此可得答案．【详解】解；∵∠AOE=∠FOD=90°，∴∠AOF+∠EOF=90°=∠DOE+∠EOF，∴∠DOE=∠AOF，∵∠AOF+∠BOF=180°，∴∠DOE+∠BOF=180°；∵∠BOE=180°-∠AOE=90°，∴∠DOF=∠BOE=90°，同理可得∠EOF=∠BOD，∵OB平分∠COD，∴∠EOF=∠BOD=∠BOC，∴∠COE=∠BOC+∠BOE=90°+∠EOF∵∠BOF=∠EOF+∠BOE=90°+∠EOF，∴∠COE=∠BOF，∴∠COE+∠DOE=180°，∴图中与∠DOE互补的角有∠COE，∠BOF，共2个，故选：C．4．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图所示，∠AOB，∠COD都是以O为顶点的直角，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠AOC+∠BOD=90°；③∠AOD+∠BOC=180°；④若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；⑤∠AOD与∠COB的平分线是同一条射线．以上结论正确的有（

）A．①②④⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤【答案】B【分析】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，根据余角的性质，角平分线的定义，对五个结论逐一进行判断即可．【详解】①∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，故正确；⑤∵∠AOB=∠BOD=90°,∠AOC=∠AOB-∠BOC,∠BOD=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线故正确；故选B.5．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，在锐角三角形ABC中，P是边AB上的动点，连接CP．①当P为AB的中点时，△APC与△PBC的面积相等；②线段CP可以把△ABC分成两个钝角三角形．关于①、②，下列判断正确的是（）A．只有①正确 B．只有②正确C．①②都正确 D．①②都不正确【答案】A【分析】本题主要考查了三角形中线，锐角三角形和钝角三角形．熟练掌握三角形中线的定义，面积公式，互为补角定义，锐角三角形和钝角三角形的定义，是解决问题的关键．①过点C作CD⊥AB于点D．根据中点定义得到AP=BP，根据三角形面积公式得到S△APC=②根据锐角三角形定义得到，A<90°，∠B<90°，∠ACB<90°，得到∠ACP<90°，∠ACP<90°，根据∠APC+∠BPC=180°，得到∠APC与∠BPC不能同时大于90°，得到线段CP不可以把△ABC分成两个钝角三角形，②不正确．【详解】①过点C作CD⊥AB于点D．∵P为AB的中点，∴AP=BP，∵S△APC=∴S△∴①正确．②∵△ABC是锐角三角形，∴A<90°，∠B<90°，∠ACB<90°，∴∠ACP<∠ACB<90°，∠BCP<∠ACB<90°，∵∠APC+∠BPC=180°，∴当∠APC>90°时，∠BPC<90°；当∠APC<90°时，∠BPC>90°，∴∠APC与∠BPC不能同时大于90°，∴线段CP不可以把△ABC分成两个钝角三角形，∴②不正确．综上，只有①正确．故选：A．6．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如果∠α和∠β互余，且∠α>∠β，则下列表示∠β的补角的式子中：①180°-∠β，②∠α+90°，③2(∠α+∠β)，④2∠α-∠β，⑤2∠α+∠β，正确的有（

）A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④【答案】C【分析】本题考查余角和补角的有关计算，根据互余的两角之和为90°，再分别代入计算即可．【详解】解：∵∠α和∠β互余，∴∠α+∠β=90°，∴表示∠β的补角的式子：①180°-∠β，故正确；②∠α+90°=90°-∠β+90°=180°-∠β，故正确；③2(∠α+∠β)=290°-∠β+∠β④2∠α-∠β=290°-∠β⑤2∠α+∠β=290°-∠β∴符合题意的有①②⑤，故选：C．7．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，C为直线AB上一点，CD⊥CE,CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE．有下列结论：①∠ACD=2∠ACF；②∠HCG=45°；③∠FCD=∠HCE；④∠ACF与∠BCH互余，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查的是角平分线的定义，互余互补的含义，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键；由角平分线的定义可判断①符合题意；由∠DCE=90°，结合∠BCH=12∠BCD，∠BCG=12∠BCE，可判断②符合题意；由∠FCH=90°=∠FCD+∠DCH，∠DCE=90°=∠ECH+∠DCH，可判断【详解】解：∵CF平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ACF，故①符合题意；∵CD⊥CE，∴∠DCE=90°，∵CH平分∠BCD，CG平分∠BCE．∴∠BCH=12∠BCD∴∠HCG=∠BCH+∠BCG=12∠BCD+∠BCE∵∠ACD=2∠ACF，∠BCH=1∴∠FCH=1∵∠DCE=90°=∠ECH+∠DCH，∴∠FCD=∠HCE，故③符合题意；∵∠FCH=90°，∴∠ACF+∠BCH=180°-90°=90°，∴∠ACF与∠BCH互余，故④符合题意；故选D8．（13-14七年级上·贵州遵义·期末）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，则这个角的度数为．【答案】50°/50度【分析】相加等于90°的两角称作互为余角，也作两角互余．和是180°的两角互为补角，本题实际说明了一个相等关系，因而可以转化为方程来解决．题目反映了相等关系问题，就可以利用方程来解决．【详解】解：设这个角是x°，则余角是(90-x)度，补角是(180-x)度，根据题意得：180-x=3(90-x)+10解得x=50．故答案为：50°9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°，则图中∠1，∠2，【答案】∠1+∠2+∠3=90°【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角．由∠1+∠BOC=∠BOD+∠BOC=90°，得到∠1=∠BOD，即得∠1+∠2+∠3=90°．【详解】∵∠AOB=∠COD=∠EOF=90°，∴∠1+∠BOC=∠BOD+∠BOC=90°，∴∠1=∠BOD，∴∠1+∠2+∠3=∠BOD+∠2+∠3=90°．故答案为：∠1+∠2+∠3=90°．10．（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角∠AOB的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线OA、OB上、则∠AOB的度数为，另外一位同学用同样的方法，测量∠AOB的余角∠COD的度数，如图2所示，已知射线OC所指示的度数为50°，则射线OD所指示的度数为．【答案】50°/50度90°或10°【分析】本题考查了量角器中的角度计算，互余等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．根据图1可得，射线OA所对的数字为35°、OB所对的数字为85°，即可求出∠AOB的度数，从而得出∠AOB的余角∠COD的度数，再根据射线OC所指示的度数为50°，即可求解．【详解】解：根据图1可得，射线OA所对的数字为35°、OB所对的数字为85°，∴∠AOB=85°-35°=50°，则∠AOB的余角∠COD的度数为90°-50°=40°，根据图2可得，射线OC所指示的度数为50°，∴射线OD所指示的度数为50°+40°=90°，射线OD所指示的度数为50°-40°=10°，故答案为：90°或10°．11．（21-22七年级上·福建厦门·期末）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，∠AOE=2∠BOD，OP平分∠COE，∠COQ与∠COD互余，则∠POQ=°．【答案】45【分析】本题主要考查余角与补角，角平分线的定义，由题意可得∠AOC=∠BOC=90°，从而可求得∠COQ=∠BOD，进而得到∠COQ=12∠AOE，再由角平分线定义得∠COP=【详解】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=90°，∵∠COQ与∠COD互余，∴∠COQ+∠COD=90°，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=90°，∴∠COQ=∠BOD，∵∠AOE=2∠BOD，∴∠COQ=1∵OP平分∠COE，∴∠COP=1∴∠POQ=∠COQ+∠COP=1故答案为：45．12．（2024七年级上·全国·专题练习）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上．(1)如图，且∠AOC=40°，射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为；(2)在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；(3)若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与∠EOF度数的等量关系：．【答案】(1)70°(2)45°(3)∠EOF=12【分析】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角，周角的定义是正确解答的前提，注意分类讨论，避免漏接；（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；（2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案；（3）分两种情况讨论，射线OA与线段CD不相交和射线OA与线段CD相交，再根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．【详解】（1）解：∵∠AOC=40°，∴∠BOC=180°-40°=140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE=1故答案为：70°；（2）解：∵∠AOC=40°,∠COD=90°，∴∠BOD=180°-40°-90°=50°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=∠DOF=1∴∠EOF=∠BOE-∠BOF=70°-25°=45°；（3）解：∠EOF=12∠COD当射线OA与线段CD不相交时，如图：∵射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，∴∠BOE=∠COE=1∴∠EOF=∠BOE-∠BOF===1当射线OA与线段CD相交时，如图：∵射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，∴∠BOE=1∴∠EOF=∠BOE+∠BOF====180°-1∴∠EOF+1故答案为：∠EOF=12∠COD13．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线AD上，∠EOC=90°，(1)图中除∠EOC，(2)图中有哪些相等的角？(3)指出图中与∠DOC互余的角、与∠AOE互补的角．【答案】(1)∠AOB(2)∠EOC=∠DOB=∠AOB；∠EOD=∠COB(3)与∠DOC互余的角有：∠EOD，∠COB；与∠AOE【分析】本题考查了角的余角、补角的概念，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键．（1）根据直角的定义即可求解；（2）根据直角都相等，等角的余角相等即可求解；（3）根据余角和补角的定义即可求解．【详解】（1）解：∵∠DOB=90°，∴∠AOB=180°-∠DOB=90°，∴图中除∠EOC，∠DOB外，还有（2）解：∠EOC=∠DOB=∠AOB=90°；∠EOD=∠COB=90°-∠COD；（3）解：∵∠EOD=∠COB=90°-∠COD，∴与∠DOC互余的角有：∠EOD，∵∠AOE+∠DOE=180°，又∠EOD=∠COB，∴∠AOE+∠COB=180°，∴与∠AOE互补的角有：∠EOD，14．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知∠MON=140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．(1)在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC=_________，∠NOB=_________；(2)在图2中，设∠AOC=α,∠BON=β，请探究α与β之间的数量关系．【答案】(1)50°；40°(2)β=40°-2α【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．（1）根据余角的定义可得：∠AOC+∠BOC=90°，从而可得∠BOC=50°，然后利用角平分线的定义可得∠MOB=100°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答；（2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答．【详解】（1）∵∠AOC与∠BOC互余，∴∠AOC+∠BOC=90°，∵∠AOC=40°，∴∠BOC=90°-∠AOC=50°，∵OC平分∠MOB，∴∠MOB=2∠BOC=100°，∵∠MON=140°，∴∠NOB=∠MON-∠MOB=40°，故答案为：50°；40°；（2）β=40°-2α，理由：∵∠AOC与∠BOC互余，∴∠AOC+∠BOC=90°，∵∠AOC=α，∴∠BOC=90°-∠AOC=90°-α，∵OC平分∠MOB，∴∠MOB=2∠BOC=180°-2α，∵∠MON=140°，∴∠NOB=∠MOB-∠MON=40°-2α．∵∠BON=β，∴β=40°-2α．15．（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线AB上的一点，∠COE=90°,AB⊥MN．(1)如图①，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方向．①若∠AOE=20°，则射线OE的方向是_________；②∠AOE与∠CON的关系为_________；③∠AOC与∠EON的关系为_________．(2)若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF恰好平分∠COM．若∠AOF=24°，求∠EOF的度数；(3)若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图③所示的位置，射线OF仍然平分∠COM,∠CON与∠AOF之间存在怎样的数量关系？请说明理由．【答案】(1)①北偏东20°；②相等；③互补(2)24°(3)∠CON=2∠AOF，理由见解析【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键．（1）①根据方向角的定义即可求解；②根据同角的余角相等即可得出结论；③先根据同角的余角相等得出∠EON=∠BOC，再根据两角互补的定义即可得出结果；（2）①根据同角的余角可知∠AOC=∠MOE，又根据角平分线的定义可得∠COF=∠MOF，两式相减即可得出结果；（3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解．【详解】（1）解：①∵∠AOE=20°，∴射线OE的方向是北偏东20°；②∵由题意知，∠AOE+∠EON=90°，∴∠AOE=∠CON；③由题意知，∠BOC+∠NOC=90°，∴∠BOC=∠EON，又∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC+∠EON=180°．即∠AOC与∠EON的关系为互补．故答案为：①北偏东20°；②相等；③互补；（2）由题意知，∠AOC+∠AOE=90°,∠MOE+∠AOE=90°，∴∠AOC=∠MOE．∵OF恰好平分∠COM，∴∠COF=∠MOF，∴∠COF-∠AOC=∠MOF-∠MOE，∴∠EOF=∠AOF=24°．（3）∠CON=2∠AOF，理由如下：∵OF为∠COM的平分线，∴∠COF=∠MOF，∴∠CON=180°-∠COM=180°-2∠MOF．∵∠AOF=90°-∠MOF，∴2∠AOF=180°-2∠MOF，∴∠CON=2∠AOF．16．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）【问题提出】已知∠BOC与∠AOC有共同的始边OC，且满足∠BOC=2∠AOC，若∠AOC=28°，求∠AOB的度数．【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题．在图①中，当射线OA在∠BOC的内部时，由题意易得∠AOB=28°；在图②中，当射线OA在∠BOC的外部时，由题意易得∠AOB=84°．

【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题(1)如图③，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为-4，2，1，请在数轴上标出线段AC的中点D并写出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段AB的长，求线段DE的长．(2)如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1=120°,∠2=30°,∠1-∠2=90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于①若∠α=140°，求∠α的垂角；②如果一个角的垂角等于这个角的补角的23【答案】(1)812(2)①50°；②18°或126°【分析】本题考查了互为垂角和补角的定义及运用，数轴，数轴上两点之间的距离，绝对值，解题关键是找准角之间关系．（1）根据中点的定义找到点D，由已知的A、B、C所表示的数求出AB的长度，就可以求出E点所在的位置，再求出DE的长度．（2）①根据互为垂角的定义求出即可．②根据已知条件，分类列出方程解之．【详解】（1）解：∵点A，B，C在数轴上对应的数分别为-4，2，1，点D的线段AC的中点，∴D所表示的数为-4+12=-11如图，点D即为所求；

∵点E到点C的距离恰好是线段AB的长，∴CE=AB=6，∴点C表示的数为7或-5，∴DE的长为：7--112（2）解：①设∠α的垂角为x°，根据题意得：140°-x°=90°∴140°-x°=90°或140°-x°=-90°，解得x=50或230（舍去），∴∠