2025-2026学年黑龙江省齐齐哈尔六中高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年黑龙江省齐齐哈尔六中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足2z+iz=5，则|z|=(

)A.5 B.2 C.2 2.a=(2,1),b=(x,4)，若aA.(−2,−9) B.(2,−9) C.(−2,9) D.(2,9)3.边长为4的正方形ABCD，E为DC中点，点F在边BC上且BF=13FC，则AEA.6 B.12 C.18 D.244.l，m是两条不同直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是(

)A.若l//α，l⊥β，则α//βB.若l//α，m//β，则α//β

C.若l⊥α，m//l，则m//αD.若l=α∩β，α⊥γ，β⊥γ，则l⊥γ5.sin(π−α)−2cosα=0，则1−cos2α的值为(

)A.25 B.45 C.656.△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c.若cosA=437，边长a是复数z的方程z2−2z⋅i=4−4i(i是虚数单位A.28π B.49π C.56π D.112π7.一个圆柱轴截面为正方形且它的表面积为24π，则圆柱外接球的表面积为(

)A.32π B.16π C.8π D.4π8.函数y=sin(2x+φ)与函数y=cosx的交点为P(π3,y0)，则函数A.[−π3,π4] B.[−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为V，点M在线段A.三棱锥C1−MCDB.三棱锥C−D1MA

C.三棱锥10.关于复数z，下列说法正确的是(

)A.若z=1+i是方程x2+bx+c=0(b、c∈R)的解，则b=−2，c=2

B.若|z1|=|z2|，则z1=z2

C.若|z−2i|=1，则复数11.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cosCcosB=A.B=π3

B.若b=2且△ABC存在且唯一，则0<a≤2或a=22

C.若sinC=2sinA，则b=a

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.向量a=(1,1,−3)，b=(2,−1,−1)，则a在b上的投影向量的坐标为______．13.tanαtanβ=2,cos(α+β)=1514.正四面体A−BCD边长为a，其内切球O，则在正四面体A−BCD内与球O和平面ACD，平面BCD，平面ABD均相切的球的表面积为______.(用a表示)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

复数z=a+bi(a、b∈R)

(1)若1≤|z|≤3，求z表示点在复平面内图形的面积．

(2)将z1=1+3i化成z1=2(16.(本小题15分)

a=(2,0)，b=(1,2)，c=(−3,2)．

(1)若(ka+b)//c，求k值；

(2)若AB=2a+3b，BC=a+nb且17.(本小题15分)

四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PC=2PD=2DC=2，PD⊥DA，M为CB中点且PB⊥AM．

(1)证明：平面PBD⊥平面PMA；

(2)求四棱锥P−ABCD的体积；

(3)18.(本小题17分)

函数f(x)=3sin2x−cos2x．

(1)求f(x)的值域及对称轴方程；

(2)锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且f(B)=2，b=2，设△ABC面积为S，周长为l，求S和l19.(本小题17分)

图①平面四边形ABCD中，AB=22，AD=6，AE=13AD,∠BAE=34∠CDA=π4,CD=4，以BE为轴将△ABE折起至△PBE，如图②得四棱锥P−BCDE，F为PB中点，M为线段CD上动点，PC=25．

(1)求异面直线PD，EC所成的角的余弦值；

(2)求△EFM面积的最小值及对应CM参考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.D

6.B

7.A

8.C

9.ABD

10.ACD

11.BCD

12.(413.−314.π2415.(1)复数z=a+bi(a、b∈R)，由1≤|z|≤3，可得复数z在复平面内对应的轨迹图形是圆环，如图：

其中，圆环的内圆半径为1，外圆半径为3，所以圆环的面积为：π×32−π×12=8π，

即为复数z表示的点在复平面内图形的面积．

(2)证明：由题意：z2=1+i=216.(1)∵a=(2,0)，b=(1,2)，∴ka+b=(2k+1,2)，

又c=(−3,2)，且ka+b//c，∴(2k+1)×2=−3×2，解得k=−2；

(2)∵a=(2,0)，b=(1,2)，

∴AB=2a+3b=(7,6)，BC=a+nb=(2+n,2n)，

又A、B、17.(1)证明：因为PC=2，PD=DC=2，所以PC2=PD2+DC2，即PD⊥DC，

又因为PD⊥DA，且DA∩DC=D，DA，DC⊂平面ABCD，

所以PD⊥平面ABCD，又因为AM⊂平面ABCD，所以PD⊥AM，

又因为PB⊥AM，且PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD，

所以AM⊥平面PBD，又因为AM⊂平面PMA，

所以平面PBD⊥平面PMA．

(2)解：由AM⊥平面PBD，且BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，

所以∠MAB+∠ABD=π2，又因为矩形ABCD，可得∠MAB+∠DAM=π2，

所以∠MAD=∠ABD，又因为∠MAD=∠BMA，所以∠ABD=∠BMA，

即Rt△ABD～Rt△BMA，所以ABBM=ADAB，

又因为BM=12BC=12AD，AB=CD=2，所以12AD2=2，解得AD=2，

所以矩形ABCD面积为AD×CD=2×2=22，又因为四棱锥P−ABCD高PD=2，

所以四棱锥P−ABCD的体积为13×22×2=43．

(3)以D为坐标原点建立空间直角坐标系，由PD=2，AD=2，AB=2，

可得A(2,0,0)18.(1)由题意得f(x)=3sin2x−cos2x=2(sin2xcosπ6−cos2xsinπ6)=2sin(2x−π6)，

根据sin(2x−π6)∈[−1,1]，可知f(x)的值域为[−2,2]，

令2x−π6=π2+kπ,k∈Z，解得f(x)图象的对称轴方程为x=π3+12kπ,k∈Z．

(2)由题意得f(B)=2sin(2B−π6)=2，可得sin(2B−π6)=1，

结合B为锐角，可得2B−π6=π2，解得B=π3，所以bsinB=2×23=43，

19.(1)在△ABE中，AE=13AD=2，AB=22，∠BAE=π4，

由余弦定理，得BE2=AB2+AE2−2AB⋅AEcos∠BAE=4，

所以BE=2，从而AE2+BE2=AB2，

所以∠AEB=π2，即PE⊥BE．

连接CE，因为DE=23AD=4,CD=4,∠CDA=π3，

所以△CDE为正三角形，所以CE=4．

又因为PE=AE=2，PC=25，

所以PC2=PE2+CE2，即PE⊥CE，

又因为BE，CE⊂平面BCDE，BE∩CE=E，

所以PE⊥平面BCDE，

又因为∠AEB=π2，所以∠DEB=π2，即EB⊥ED，

所以以点E为坐标原点，建系如图，

则B(2,0,0),C(23,2,0),D(0,4,0),E(0,