第二章 有理数及其运算 单元测试 培优卷（含答案） 2025-2026北师大版八上

第14页（共15页）第二章有理数及其运算（培优卷）一．选择题（共10小题）1．下列四个数中，最小的是（）A．1.25×106 B．1.15×106 C．1.25×105 D．1.15×1052．如图所示，数轴上点A，M，B分别表示数a+b，a，2a，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（）A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|+b3．现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．已知a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，则关于（b﹣c）2+4k的最值，下列说法正确的是（）A．有最小值1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最大值﹣15．设x＞0，y＞0，定义新运算：x⊗y=x×yx+y，若a＞0，b＞0，A．a⊗（b×c）＝（a⊗b）×c B．a⊗（b⊗c）＝（a⊗b）⊗c C．a⊗（b+c）＝a⊗b+a⊗c D．a×（b⊗c）＝（a×b）⊗c6．将图1中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）A．44 B．48 C．46 D．507．已知a、b、c三个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断：①c＞﹣a；②a+b＞0；③abc＜0；④|b|＞|c|＞|a|中，结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．﹣a、b两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（）A．a＞0，b＜0 B．a＜b C．|a|＝﹣a，|b|＝﹣b D．|a|＞|b|9．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1～9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且A+B+C＝411．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（）A．6 B．10 C．14 D．1810．设A=48×(132-4+14A．18 B．20 C．24 D．25二．填空题（共5小题）11．某货车运送300颗西瓜，每颗西瓜的运费是1.5元，若摔裂一颗西瓜，不但没有运费，还需要赔付10元，货车司机一共获得运费415.5元，摔裂的西瓜有颗．12．如图，数轴上点A所表示的数是．13．已知x1，x2满足x12-2x1x2+2x2214．若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝．15．下列说法：①若a+b＝0，则ab=-1；②若a+b＜0，且ba＞0，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则三．解答题（共7小题）16．简算：（1）(-7（2）(1（3）-5×(-71（4）361217．规定一种新的运算：a*b＝ab﹣a﹣b2．例如3*（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2＝﹣31．请用上面规定计算下列各式：（1）1*5；（2）（﹣5）*[3*（﹣1）]．18．我校开展阳光体育运动，是为切实推动亿万学生阳光体育运动的广泛开展，吸引广大青少年学生走向操场，积极参加体育锻炼．小梅为响应号召，决定每天练习跳绳．小梅以1分钟跳172个为目标，并把10次1分钟跳绳的数量记录如表（超过172个的部分记为“+”，少于172个的部分记为“﹣”）：与目标数量的差值（单位：个）﹣8﹣6﹣3+2+8次数32212（1）小梅在这10次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？（2）小梅在这10次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？（3）小梅在这10次跳绳练习中，累计跳绳多少个？19．有一个像如图那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水．容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分．B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏．图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象．回答下面的问题：（1）求图①中D表示的数；（2）从B的洞中每秒钟流出来多少升水；（3）求图①中P、Q表示的数．20．一个商场打折销售，规定购买200元以下（包括200元）商品不打折，200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次，分别用了198元、466元，那么如果他一次购买这些商品的话，可节省多少元？21．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）数轴上点B表示的数是，点P表示的数是（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？22．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是；（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1．①用代数式表示A、B两点之间的距离；②如果|AB|＝2，求x的值．（3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围．第二章有理数及其运算（培优卷）答案一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBCBBBBCDD1．解：A：1.25×106，其中n＝6．B：1.15×106，其中n＝6．C：1.25×105，其中n＝5．D：1.15×105，其中n＝5．因为5＜6，所以1.25×105和1.15×105小于1.25×106和1.15×106．∵1.15＜1.25，∴1.15×105＜1.25×105．故选：D．2．解：AM＝a﹣（a+b）＝﹣b＞0，BM＝2a﹣a＝a＞0，∵AM＞BM，∴﹣b＞a，∴﹣b﹣a＞0，即﹣（a+b）＞0，∴a+b＜0，∴A不符合题意；∵﹣b＞a，∴a﹣b＞2a，∵a＞0，∴a﹣b＞0，∴B正确，符合题意；∵﹣b＞0，∴b＜0，∵a＞0，∴ab＜0，∴C不符合题意；∵a＞0，∴|a|+b＝a+b，∵a+b＜0，∴|a|+b＜0，∴D不符合题意．故选：B．3．解：①∵正有理数、负有理数和0可以统称为有理数，∴①说法正确；②∵若两个数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，比如：5﹣（﹣1）＝6，∴②的说法错误；③∵每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，∴③的说法正确；④∵若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，∴④的说法错误；⑤∵多个数相乘法则：几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数，∴⑤的说法正确；⑥∵数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3，∴⑥的说法正确，综上可知：说法正确的有4个，故选：C．4．解：∵a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，∴a﹣c＝3k，a﹣b＝k，∴b﹣c＝2k，∴(b-c)有最小值﹣1，故选：B．5．解：∵a⊗（b×c）=abc（a⊗b）×c=aba+b×∴A不符合题意；∵a⊗（b⊗c）＝a⊗bcb+c（a⊗b）⊗c=aba+b⊗c∴B符合题意；∵a⊗（b+c）=a(b+c)a⊗b+a⊗c=ab∴C不符合题意；∵a×（b⊗c）＝a×bc（a×b）⊗c=abc∴D不符合题意．故选：B．6．解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，如图1中是周长为40的长方形，可得y+（3x+y）+y+x+y＝20，解得：x+y＝5，将A、B、C、D四点在图2中标出，如图所示，如图，图2中长方形的周长为58，∴AB+x+y+x+y+2x+y+y﹣x＝29，∴AB＝29﹣3x﹣4y，根据平移得，没有覆盖的阴影部分的周长是如图中四边形ABCD的周长，∴2（AB+AD）＝2×（29﹣3x﹣4y+x+y+2x+y+y﹣x）＝2×（29﹣x﹣y）＝58﹣2（x+y）＝58﹣2×5＝48，故选：B．7．解：根据题意得：b＜a＜0＜c，|a|＜|c|＜|b|，∴c＞﹣a故①正确；|b|＞|c|＞|a|，故④正确；∴a+b＜0，故②错误；abc＞0，故③错误；所以结论正确的是①④，共2个．故选：B．8．解：由题意：﹣a＞0，b＜0，b的绝对值大于﹣a的绝对值．∵﹣a＞0，∴a＜0．∴A选项不正确．∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，b＜0，a＜0，∴a＞b．∴B选项不正确．∵﹣a＞0，b＜0，∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b．∴C选项正确．∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，∴|b|＞|a|．∴D选项不正确．故选：C．9．解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于21，∴三个大圆圈上的数字之和为：21×3＝63，∵各小圆圈的数字之和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，为什么63≠45，这是因为x、y、x+y都加了两次，∴x+y+x+y＝63﹣45，∴2x+2y＝18，∴x+y＝9，∵A+B+C＝411，而各圆圈的数字的平方和为12+22+32+42+52+62+72+82+92＝285，为什么411≠285呢？这是因为三角形各顶点处三个圆圈内的数字的平方都加了两次，∴（x+y）2+x2+y2＝411﹣285＝126，∴x2+2xy+y2+x2+y2＝156，∴2（x2+y2+xy）＝126，∴x2+y2+xy＝63，∵x+y＝9，∴（x+y）2＝92，∴x2+2xy+y2＝81，∴x2+y2＝81﹣2xy，将x2+y2＝81﹣2xy代入x2+y2+xy＝63得81﹣2xy+xy＝63，∴xy＝81﹣63＝18，∴xy＝18．故选：D．10．解：利用等式1n2-4A=48×(1＝48×14（＝12×（1-1＝12×[（1+12+＝12×（1+1而12×（1+1故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：（1.5×300﹣415.5）÷（1.5+10）＝3（个）．故答案为：3．12．解：12∴点A所表示的数是5-故答案为：5-13．解：∵x12-2x1x2∴2x22-2x1x∴Δ=(2x1)2-4×2×（x12∴x1∴当x12=4时，x1∴当x1＝2时，代入方程得：4﹣4x2+2x22=2，即：x2∴(x∴x2﹣1＝0，∴x2＝1，∴==3当x1＝﹣2时，代入方程得：4+4x2+2x22=2，即：x2∴(x∴x2+1＝0，∴x2＝﹣1，∴==综上所述：=3；故答案为：3；14．解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．15．解：对于①：当a＝b＝0时，ab故①错误，不符合题意；对于②：∵ba∴ab同号，∵a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴a+3b＜0，∴|a+3b|＝﹣a﹣3b，故②正确，符合题意；对于③：若|a|＞|b|，则有四种情况，1°如数轴所示，此时a＞b＞0，∴a+b＞0，a﹣b＞0，∴（a+b）（a﹣b）＞0；2°如数轴所示，此时﹣a＜b＜0＜a，∴a+b＞0，a﹣b＞0，∴（a+b）（a﹣b）＞0；3°如数轴所示，此时a＜b＜0，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴（a+b）（a﹣b）＞0；4°如数轴所示，此时a＜0＜b＜﹣a，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴（a+b）（a﹣b）＞0；综上，若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；故③正确，符合题意；对于④：∵a+b+c＜0，∴a、b、c中至少有一个负数，∵ab＞0，∴ab同号，∵c＞0，∴a和b均为负数，∴|a|a故④正确，符合题意；综上，正确的有②③④；故答案为：②③④．三．解答题（共7小题）16．解：（1）原式=-7（2）(＝14﹣15+13×60＝14×60﹣15×60+13×60＝15﹣12+20＝23；（3）-5×(-7=110＝﹣22；（4）36＝3612＝36×(-＝﹣312917．解：（1）1*5＝1×5﹣1﹣52＝5﹣1﹣25＝﹣21；（2）3*（﹣1）＝3×（﹣1）﹣3﹣（﹣1）2＝﹣3﹣3﹣1＝﹣7，（﹣5）*[3*（﹣1）]＝（﹣5）*（﹣7）＝（﹣5）×（﹣7）﹣（﹣5）﹣（﹣7）2＝35+5﹣49＝﹣9．18．解：（1）跳绳最多的一次为：172+8＝180（个），答：1分钟最多跳180个；（2）8﹣（﹣8）＝16（个），答：1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多16个；（3）172×10﹣8×3﹣6×2﹣2×3+2×1+8×2＝1696（个），答：累计跳绳1696个．19．解：（1）0.75升＝750立方厘米，750×15÷25÷30＝15（厘米）；答：图①中D表示的数是15；（2）30×15×15＝6750（立方厘米）；6750立方厘米＝6.75升，6.75÷（30﹣15）＝0.45（升/秒），0.75﹣0.45＝0.3（升/秒）．答：从B洞中每秒钟流出0.3升水；（3）0.45升/秒＝450立方厘米/秒，P点表示的数是：30×（25+15）×（24﹣15）÷450+30＝54（秒）．Q点表示的数是：（70﹣54）×450÷[30×（25+15）]+24＝30（厘米）．答：P表示的数是54，Q表示的数是30．20．解：200×90%＝180（元），200元＞198元＞180元，∴第一次的原价就是198元，没有打折；或者原价是198÷90%＝220元，∵500×90%＝450（元），466元＞450元，∴原价500元以内支付450元，打八折后支付466﹣450＝16元，∴超过500元打八折的原价为：16÷80%＝20（元），∴第二次的原价为500+20＝520元．①当原价是198+520＝718（元）时，打折后的支付：450+（718﹣500）×80%＝624.4（元）．节省（198+466）﹣624.4＝3