2025-2026学年初中数学苏科版九年级下学期《55 用二次函数解决问题》易错题集二(附答案)

/2025届初中数学苏科版九年级下《5.5用二次函数解决问题》易错题集二一.选择题

1.如图，抛物线y=ax+3x−1经过点①a=−②抛物线的对称轴为x=−③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，n=④在点P从点A运动到顶点的过程中，当m=−32其中，所有正确的说法是（

）A.①③ B.②③④ C.①④ D.①②④

2.一益智游戏分二阶段进行，其中第二阶段共有25题，答对一题得3分，答错一题扣2分，不作答得0分．若小明已在第一阶段得50分，且第二阶段答对了20题，则下列哪一个分数可能是小明在此益智游戏中所得的总分（）A.103分 B.106分 C.109分 D.112分

3.如图1，在正方形ABCD中，动点P以1cm/s的速度自D点出发沿DA方向运动至A点停止，动点Q以2cm/s的速度自A点出发沿折线ABC运动至C点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记△PAQ的面积为scm2，且s与t之间的函数关系的图像如图A.1 B.1.2 C.1.6 D.2

4.如图边长为4的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE=1，F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90∘得到线段FG，连接DGA.522 B.4 C.22

5.某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为每件384元，如果两次降价率相同，则每次降价率为（

）A.10% B.15% C.20% D.25%二.填空题

6.近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为______________.

7.桌子上有23只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过20次翻转_____________使23只杯口全部朝下．（填“能”或“不能”）三.解答题

8.参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，共有多少个队参加足球联赛？

9.图16−1是两层喷泉景观的效果图，图16−2是其示意图，两层喷泉落在直径为4m的圆内，喷泉的水流均看做抛物线的一部分．下层喷泉C1的喷水口设在圆心O处，落地点与圆心O的水平距离为2m，水流的最高点距离地面1m；上层喷泉C2的喷水口设在圆心O的正上方，且水流经过下层喷泉水流的最高点．以圆心为原点，过圆心的一条水平线为x轴，中心线l为y轴建立如图16−31求图16−3中下层喷泉所对应抛物线C12当图16−3中上层喷泉所对应抛物线C2的函数解析式为y=−5x2+bx+c时，视觉效果最佳．

①试推算b，c

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−6a≠0与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接AC，OB=（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第三象限内抛物线上的动点，连接AD和CD，求△ACD（3）点E在抛物线的对称轴上，若△ACE为直角三角形，请直接写出点E

11.某健身器材公司主要推A、B两种型号的健身器材，今年五、六月份的销售情况如表所示：A型（台）B型（台）利润（元）五月份25156750六月份302085001求每台A型健身器材和B型健身器材的销售利润分别是多少；2该公司计划一次购进两种型号的健身器材共300台，其中B型健身器材的进货量不超过A型健身器材的1.5倍．设购进A型健身器材x台，这300台健身器材的销售总利润为y元．①求y与x的关系式；②该公司购进A、B型健身器材各多少台，才能使销售利润最大？

12.在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数y=−x2+2mx作为其中一个函数（标记该函数图象交x轴于原点O及点A）做了有关研究，请你帮他解答．

【特例感知】1当m=2时，如图，抛物线L:…OBCDA……OBCDA…

①补全表格；

②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象L′．

【初步探讨】2①当m=−1时，若抛物线L的顶点为点P，点P对应的“和合点”为点Q，则由点O、P、A、Q四点所围成的四边形的面积为______；

②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现与二次函数y=−x2+2mx对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线L′，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线L

答案与试题解析2025届初中数学苏科版九年级下《5.5用二次函数解决问题》易错题集二一.选择题1.【正确答案】D【考点】二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质二次函数综合题勾股定理将C点坐标代入抛物线解析式求出a即可判断①；根据a即可得抛物线解析式，则其对称轴可得，②即可判断；只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，连接AC交对称轴与点P，连接BP，对称轴交x轴于M点，根据PM//y轴，OA=OC=3，即有AMPM=AOCO则n可求，③即可判断；连接∵抛物线y=ax+3∴3∴a即抛物线解析式为y=−∴抛物线对称轴为x=−当x=0时，y=3∴OC当y=0，有解得x为1或者−3∴A−3∴OA=3∵B1,∴BC∴要求△PBC周长最小值，即求PC∵BC∴即求PC+可知只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+连接AC交对称轴与点P，连接BP，对称轴交x轴于M点，如图1所示，∵A、B关于PM∴PA∴PB∵对称轴x=−∴OM∴AM显然有PM//有∵OA∴AM∴PM∴P点坐标为−∴n∴即△PBC周长最小值时，n如图2所示，连接PC、AC、OP、PA，由图有：S△∵S△PAO=1∴S∵P在抛物线y∴n∴S整理得：S△即当m=−32综上分析可得，正确的有：①②④．故选：D．

图1

图22.【正确答案】B【考点】一元一次方程的应用——其他问题此题暂无解析设剩下的5道题中有x道答错，则有5−x道不作答．

小明的总得分是50+60−2x=110−2x．

因为5−x≥0，且x≥0．

则0≤x≤5；即x=0或1或2或3或4或5．

当x=0时，小明的总得分为110−2x=110分．

当x=1时，小明的总得分为1103.【正确答案】B【考点】一次函数的应用二次函数的应用本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解答本题的关键．设正方形ABCD的边长为acm，当点Q在AB上时，求得S=−t2+at．当t=12a时，S有最大值14a2，配合图象可得方程设正方形ABCD的边长为acm，则DP=tcm，AQ=2tcm，AP=a−tcm，

S=12⋅2ta−t=−t2+at=−t−12a2+14a2，

当t4.【正确答案】A【考点】全等三角形的性质与判定二次函数的应用旋转的性质正方形的性质过G点作GH⊥AB交AB于点H，过G点作GI⊥AD交AD于点I，根据EF绕点F顺时针旋转90∘得到线段FG，可得∠EFG=90∘，EF=GF，利用AAS易证△FHG≅△EAF，再根据四边形AHGI是矩形，可得AI=GH，解：如图，过G点作GH⊥AB交AB于点H，过G点作GI⊥AD交∵线段EF绕点F顺时针旋转90∘得到线段FG∴∠EFG=∴∠EFA又∵∠∴∠∵GH⊥AB∴∠FHG∴△∴FH=EA∵GH⊥∴四边形AHGI是矩形，∴AI=GH设AF=x，则AI=GH=在Rt△DIG中，即当x=32时，D∴当x=32时，DG故此题答案为A．5.【正确答案】C【考点】一元二次方程的应用——增长率问题此题暂无解析解：设每次降价率为x，

依题意，得：

6001−x2=384

二.填空题6.【正确答案】10【考点】一元二次方程的应用——增长率问题此题暂无解析试题分析：设每次降价的百分率为x

根据增长率公式可列方程为

解得

即降价百分率为10%

考点：一元二次方程的应用——增长（下降）率问题

点评：增长率问题

其中“+”表示增长“—”表示下降a表示原来的量A表示增长（下降）后的量x表示增长（下降）率n表示增长（下降）的次数7.【正确答案】不能【考点】一元一次方程的应用——其他问题本题考查了一元一次方程的应用，假设经过20次翻转能使23只杯口全部朝下，设有n只杯子经过3次翻转，则有23−n只杯子经过1次翻转，根据共翻转3×20次，可列出关于n的一元一次方程，解之可求出n的值，由该值不为整数，可得出假设不成立，即经过解：不能，理由如下：

假设经过20次翻转能使23只杯口全部朝下，

∵杯口朝上的茶杯经过奇数次翻转杯口朝下，

∴设有n只杯子经过3次翻转，则有23−n只杯子经过1次翻转，

根据题意得，3n+23−n=3×20，

整理得，2n=37，

三.解答题8.【正确答案】8个【考点】一元二次方程的应用——其他问题本题考查了一元二次方程的实际应用，设共有x个球队参赛，则每个球队需比赛x−1场，结合“甲队和乙队比赛的时候，乙队和甲队也比赛了”即可列出方程解：设共有x个队参加比赛，则每队要参加x−1场比赛，根据题意得：

xx−12=28，

整理得：x29.【正确答案】解：（1）由抛物线的对称性可知，C1的最高点为（1，1），

设下层喷泉所对应抛物线C1的函数解析式为y=ax−1+1

将x=0,y=0代入，得0=a0−12+1

解得a=−1

∴下层喷泉所对应抛物线C1的函数解析式为y=−x−12+1；

（2）①∵C1的最高点为（1，∵抛物线C的对称轴x=b10介于0和1之间，

即0<b10<1，∴0<b<10，

令ℎ=2.8，即120b2−b+6=14【考点】二次函数的应用此题暂无解析解：（1）由抛物线的对称性可知，C1的最高点为（1，1），

设下层喷泉所对应抛物线C1的函数解析式为y=ax−1+1

将x=0,y=0代入，得0=a0−12+1

解得a=−1

∴下层喷泉所对应抛物线C1的函数解析式为y=−x−12+1；

（2）①∵C1的最高点为（1，∵抛物线C的对称轴x=b10介于0和1之间，

即0<b10<1，∴0<b<10，

令ℎ=2.8，即120b2−b+6=1410.【正确答案】（1）y（2）27（3）−3+17、−3【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数综合——面积问题二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质求坐标系中两点间的距离（1）先得出B点坐标，再根据对称性得出A点坐标，再利用待定系数法即可求求解；（2）先求出C点坐标，再求出直线AC的解析式为：y=−x−6，设点Dx,12x2+2x−6（3）点E在抛物线对称轴x=−2上，设E点坐标为：−2,t，由A−6,0，C（1）∵OB=2，

∴B2,0，

∵对称轴为x=−2，

∴A−6,0，

将（2）令x=0时，则y=12x2+2x−6=−6，

∴C0,−6，

∵A−6,0，C0,−6，

∴设直线AC的解析式为：y=kx+b，

即：−6k+b=0b=−6 ，解得k=−1b=−（3）点E在抛物线对称轴x=−2上，设E点坐标为：−2,t，

∵A−6,0，C0,−6，E−2,t，

∴AC2=−6−02+0+62=72，AE2=−6+22+0−t2=16+t2，CE11.【正确答案】每台A型健身器材的销售利润为150元，每台B型健身器材的销售利润为200元①y=−50x+60000；②该公司购进A型健身器材120【考点】一元一次不等式组的应用加减消元法解二元一次方程组一次函数的应用二元一次方程组的应用——其他问题1设每台A型健身器材的销售利润为a元，每台B型健身器材的销售利润为b元，根据表格中五月份和六月份的利润建立方程组，解方程组即可得；2①根据一次购进两种型号的健身器材共300台可得购进B型健身器材300−x台，再根据总利润=每台A型健身器材的销售利润×购进A型健身器材+每台B型健身器材的销售利润×购进②先根据B型健身器材的进货量不超过A型健身器材的1.5倍求出x的取值范围，再利用一次函数的性质求解即可得．1解：设每台A型健身器材的销售利润为a元，每台B型健身器材的销售利润为b元，由表格得：25a+15b=675030a+20b2解：①由题意得：购进B型健身器材300−x台，则y=150x+200300−x=−50x+60000，即y与x的关系式是y=−50x+60000；②∵B型健身器材的进货量不超过A型健身器材的1.5倍，∴300−x≤12.【正确答案】（1）①4,0；②见详解；2①3；②抛物线L​′为y=【考点】二次函数的应用——图形问题二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合——面积问题（1）①用和合对称二次函数图像与x轴交点相同即可求解；

②用圆滑的曲线，按描点画图的要求作图即可；

（2）①当m=−1时，抛物线L:y=−x2−2x，可求其与x轴交点和顶点P坐标，设抛物线L′:y=ax2+bx，两