2024-2025学年广东省佛山市S6高质量发展联盟高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等比数列中，，，则与的等比中项为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以与的等比中项为.故选：D2.已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）A. B.C D.【答案】C【解析】由题意可得，而且在点的左侧附近，，此时，排除B、D；在点的右侧附近，，此时，排除A，所以函数的图象可能是C．故选：C3.一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（）A.480种 B.1200种 C.2400种 D.5040种【答案】C【解析】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序；再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序.根据分步乘法计数原理可知，共有2400种不同的演出顺序.故选：C.4.已知数列满足，，则（）A.510 B.512 C.1022 D.1024【答案】B【解析】由,得，，，，以上各式相加得，，所以，所以.故选：B.5.若直线为函数且的图象的一条切线，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设切点为，因为且，则，由导数的几何意义可得，所以，即，故，所以，解得，故选：B.6.已知函数在处取得极小值10，则的值为（）A.2或 B.或 C. D.【答案】C【解析】

，

，又

在

处取得极小值10，则有

，可得

，解得，

或，当

，

时，

，当

时，

，当

时，

，

在处取得极小值；当

，

时，

，

当

时，

，当

时，

，

在处取得极大值，不合题意.所以，，

则有故选：C.7.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同安排方法种数为（）A72 B.96 C.114 D.124【答案】C【解析】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种.将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种.故不同的安排方法共有种.故答案为：C.8.设函数（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，由得，所以.令，由题意得，函数和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，无最小值，由得，，若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则由,即且，得.故选：A.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（）A.没有空盒子的方法共有24种B.可以有空盒子的方法共有128种C.恰有1个盒子不放球的方法共有144种D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种【答案】ACD【解析】对于A：4个球全放4个盒中，没有空盒子的放法共种，A正确；对于B：可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共种，B错误；对于C：恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球，先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，再排列共种，C正确；对于D：恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒子，另外3个球3个盒标号不能对应，则共种，故D正确．故选：ACD10.若数列是公比为的等比数列，则下列说法不正确的是（）A.若数列是递增数列，则，B.若数列是递减数列，则，C.若，则D.若，则是等比数列【答案】ABC【解析】若数列是递增数列，也可以，，故选项A错误；若数列是递减数列，也可以，，故选项B错误；若，则，所以选项C错误；，，所以是等比数列，故选项D正确故选：ABC.11.已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（）A. B.C.在上是增函数 D.存在最小值【答案】ABC【解析】设，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，A选项，因为，所以，即，A正确；B选项，因为，所以，即，B正确；C选项，，则，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在单调递增，又，故恒成立，所以在上恒成立，故在上是增函数，C正确；D选项，由C选项可知，函数在上单调递增，故无最小值.故选：ABC三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.设等差数列满足，，若，则项数n的最大值是______．【答案】8【解析】由，而，所以，故等差数列递减，所以，对于等差数列，要使最大n值为8.故答案为：813.某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有___________种（用数字作答）.【答案】【解析】依题意，将8个名额排成一列，有7个间隔，在这7个间隔中插入3个隔板，可将8个名额分成4组，依次对应4个班级，所以有种分配方法.故答案为：14.设函数,其中,若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】设，，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，而当时，，，故当且，解之得故答案为：．四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，令，即，解得或，且当时，，当时，，所以的单调递增区间为和，递减区间为；（2）由（1）知的单调递增区间为和，递减区间为；且，，所以在上的最大值为，因为关于x的不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立，即，所以，所以的取值范围为．16.已知等差数列的前n项和为，且.（1）求；（2）求数列的前n项和.解：（1）由①所以当时，②①②得：，整理得：，所以.（2）由（1）知，所以，所以.17.如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇所用的时间，（单位：）表示小船停靠点距点的距离.（1）将表示为的函数，并注明定义域；（2）此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少？解：（1）由题意可得：（2），由解得在上递增，列表如下：0+单调递减最小值单调递增所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.18.设数列的前项和为，，且.（1）设，求证数列为等差数列；（2）求；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1），即，所以数列是首项为，公差为1的等差数列；（2）由（1）得，即，，，①，②①-②，得，所以；（3）不等式即为，化简得，对任意恒成立，令，则，所以时，，即；时，，即；时，，即；所以，所以的最大项为，所以.19.已知函数，其中．(1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值．(2)若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围．(3)若不等式对恒成立，求a的取值范围．解：(1)函数定义域为，，依题意：，解得；(2)由(1)知，，令，则，时，时，即在上递减，在上递增，时，即，所以a的取值范围是；(3)，，令，则，令，则令，则，即在(0，1]上递减，而，存在有，时，即，时，即，于是在上递增，在上递减，而，则时，时，则(0，1]上递增，，即，所以a的取值范围是广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等比数列中，，，则与的等比中项为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以与的等比中项为.故选：D2.已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）A. B.C D.【答案】C【解析】由题意可得，而且在点的左侧附近，，此时，排除B、D；在点的右侧附近，，此时，排除A，所以函数的图象可能是C．故选：C3.一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（）A.480种 B.1200种 C.2400种 D.5040种【答案】C【解析】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序；再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序.根据分步乘法计数原理可知，共有2400种不同的演出顺序.故选：C.4.已知数列满足，，则（）A.510 B.512 C.1022 D.1024【答案】B【解析】由,得，，，，以上各式相加得，，所以，所以.故选：B.5.若直线为函数且的图象的一条切线，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设切点为，因为且，则，由导数的几何意义可得，所以，即，故，所以，解得，故选：B.6.已知函数在处取得极小值10，则的值为（）A.2或 B.或 C. D.【答案】C【解析】

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在

处取得极小值10，则有

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在处取得极小值；当

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在处取得极大值，不合题意.所以，，

则有故选：C.7.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同安排方法种数为（）A72 B.96 C.114 D.124【答案】C【解析】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种.将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种.故不同的安排方法共有种.故答案为：C.8.设函数（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，由得，所以.令，由题意得，函数和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，无最小值，由得，，若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则由,即且，得.故选：A.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（）A.没有空盒子的方法共有24种B.可以有空盒子的方法共有128种C.恰有1个盒子不放球的方法共有144种D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种【答案】ACD【解析】对于A：4个球全放4个盒中，没有空盒子的放法共种，A正确；对于B：可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共种，B错误；对于C：恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球，先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，再排列共种，C正确；对于D：恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒子，另外3个球3个盒标号不能对应，则共种，故D正确．故选：ACD10.若数列是公比为的等比数列，则下列说法不正确的是（）A.若数列是递增数列，则，B.若数列是递减数列，则，C.若，则D.若，则是等比数列【答案】ABC【解析】若数列是递增数列，也可以，，故选项A错误；若数列是递减数列，也可以，，故选项B错误；若，则，所以选项C错误；，，所以是等比数列，故选项D正确故选：ABC.11.已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（）A. B.C.在上是增函数 D.存在最小值【答案】ABC【解析】设，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，A选项，因为，所以，即，A正确；B选项，因为，所以，即，B正确；C选项，，则，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在单调递增，又，故恒成立，所以在上恒成立，故在上是增函数，C正确；D选项，由C选项可知，函数在上单调递增，故无最小值.故选：ABC三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.设等差数列满足，，若，则项数n的最大值是______．【答案】8【解析】由，而，所以，故等差数列递减，所以，对于等差数列，要使最大n值为8.故答案为：813.某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有___________种（用数字作答）.【答案】【解析】依题意，将8个名额排成一列，有7个间隔，在这7个间隔中插入3个隔板，可将8个名额分成4组，依次对应4个班级，所以有种分配方法.故答案为：14.设函数,其中,若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】设，，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，而当时，，，故当且，解之得故答案为：．四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，令，即，解得或，且当时，，当时，，所以的单调递增区间为和，递减区间为；（2）由（1）知的单调递增区间为