2024-2025学年广东省天天向上联盟高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省天天向上联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（）A.2 B.-2 C. D.【答案】D【解析】直线的斜率为2，两直线垂直，故直线的斜率，即.故选：D．2.圆

被轴所截得的弦长为（）A. B. C.4 D.【答案】D【解析】的圆心和半径分别为，，因此圆被轴所截得的弦长为，故选：D.3.已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】定点，，故，所以；故：，所以，所以点到直线的距离．故选：C．4.已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，所以，又，所以，又的周长为10，所以，解得，所以，解得，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A.5.下列说法正确的有（）个①若三点在一条直线上，，，，则.②过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为.③圆，Px0,y0为圆上任意一点，④圆与圆外切，则实数的值为1.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】对于①：若三点在一条直线上，则斜率等于斜率，即，解得，故①错误；对于②：若直线过原点，则方程为；若直线不过原点，则设直线的方程为，由题意，解得，所以直线方程为，即，综上，直线的方程为或，故②错误；对于③：由知，所以的最大值为，故③错误；对于④：由题知，且，即，解得或，故④错误.故选：A.6.如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，则，，因为是的中点，所以，因为，所以，所以，即线段的长为，故选B.7.已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将代入得，将代入得，所以A，B不在直线l上，又上，所以点p在线段AB上，直线AB的方程为：，由，解得，直线方程，即为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，则，所以，即，因为，所以，故选：D.8.已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意椭圆，为两个焦点，可得，则①，即，由余弦定理得，，故，②联立①②，解得：，而，所以，即，故选：B.三、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的德6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量，，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.不存在实数，使得 D.若，则【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，解得，故A正确；对于B，因为，所以，所以，故B错误；对于C，假设，则，所以，该方程组无解，故C正确；对于D，因为，所以，解得，所以，，所以，故D错误.故选：AC.10.下列结论正确的有（）A.直线关于对称的直线为B.若一直线的方向向量为，则此直线倾斜角为60°C.若直线与直线垂直，则D.双曲线与椭圆有不同的焦点.【答案】ABC【解析】A选项：联立方程组解得交点坐标为，在直线取点，过点作的垂线，联立方程组解得交点坐标为，所以点关于的对称点为，∴对称直线为：，化简得：，∴直线关于对称的直线为，A选项正确；B选项：直线倾斜角为，，∴，B选项正确；C选项：，，∵两直线垂直，∴，∴，C选项正确；D选项：，，，且两曲线焦点均在x轴，D选项错误；故选：ABC.11.如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）A.在中点时，平面平面B.异面直线所成角的余弦值为C.在同一个球面上D.，则点轨迹长度为【答案】ACD【解析】对于选项A：取的中点，连接，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，易知，平面，在面内，所以，面，面，，所以面，面，所以，连接，是正方形，，因为面，面，所以，因为面，面，，所以面，因为面，所以，综上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正确；对于选项B：取的中点，连接，则，所以是异面直线所成的角，又，则，故B错误；对于选项C：记正方体的中心为点，则，所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；对于选项D：因为，且为的中点，所以，故，所以点轨迹是过点与平行的线段，且，所以，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，，则实数__________.【答案】【解析】因为，所以，即.又因为，，所以，即.13.设，若直线与直线之间的距离为，则的值为________．【答案】2或【解析】由题意可得，解得或.14.已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为____________．【答案】【解析】设椭圆的左焦点为，连接，，，，由直线交椭圆于两点﹐及，结合椭圆的对称性可得，所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，设，则，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，将代入①得，即，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，.（1）试用向量，，表示向量：（2）求OE的长.解：（1）依题意，，即.（2）因为，所以，即OE的长.16.已知直线.（1）求原点到直线l距离的最大值：（2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程.解：（1）直线可化为，令，解得，，即直线恒过定点；当时，原点到直线的距离最大，此时最大值；（2）设直线的方程为，，因为直线过定点，所以，由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得，故面积，即面积的最小值为4，此时直线方程为，即．17.已知圆C过点和点.并且圆心在直线上，点，过点P作圆C的切线l.（1）求圆C的标准方程；（2）求切线l的方程.解：（1）设圆C的标准方程为，圆心为，半径为，依题意可得，解之得，所以圆C的标准方程为.（2）切线斜率存在时，设切线l的斜率为，则切线l的方程为，即，所以，解得，所以切线l的方程为，又因为圆心到直线的距离为，所以直线也为圆圆C的切线.故切线l的方程为和.18.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.（1）证明：因为平面，平面，所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：，，因为，所以，即，（2）解：设平面的法向量为，，所以有，因为直线与平面所成角为，所以，解得，即，因为，所以点到平面的距离为：.19.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆C上.（1）求椭圆的方程；（2）过坐标原点的两条直线分别与椭圆C交于四点，且直线斜率之积为，求证：四边形的面积为定值.（1）解：由题意，又∵点是椭圆上一点，∴，又，解得，因此，椭圆的方程为.（2）证明：当直线斜率不存在时，由对称性不妨设，则，又，解得，根据椭圆的对称性，不妨取,则，则,所以;当直线斜率存在时，设直线的方程为，设点联立，得1+2k2则，因为，得，即，所以，，解得，，原点到直线的距离为，因为，且，所以（定值），综上述四边形的面积为定值．广东省天天向上联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（）A.2 B.-2 C. D.【答案】D【解析】直线的斜率为2，两直线垂直，故直线的斜率，即.故选：D．2.圆

被轴所截得的弦长为（）A. B. C.4 D.【答案】D【解析】的圆心和半径分别为，，因此圆被轴所截得的弦长为，故选：D.3.已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】定点，，故，所以；故：，所以，所以点到直线的距离．故选：C．4.已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，所以，又，所以，又的周长为10，所以，解得，所以，解得，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A.5.下列说法正确的有（）个①若三点在一条直线上，，，，则.②过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为.③圆，Px0,y0为圆上任意一点，④圆与圆外切，则实数的值为1.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】对于①：若三点在一条直线上，则斜率等于斜率，即，解得，故①错误；对于②：若直线过原点，则方程为；若直线不过原点，则设直线的方程为，由题意，解得，所以直线方程为，即，综上，直线的方程为或，故②错误；对于③：由知，所以的最大值为，故③错误；对于④：由题知，且，即，解得或，故④错误.故选：A.6.如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，则，，因为是的中点，所以，因为，所以，所以，即线段的长为，故选B.7.已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将代入得，将代入得，所以A，B不在直线l上，又上，所以点p在线段AB上，直线AB的方程为：，由，解得，直线方程，即为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，则，所以，即，因为，所以，故选：D.8.已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意椭圆，为两个焦点，可得，则①，即，由余弦定理得，，故，②联立①②，解得：，而，所以，即，故选：B.三、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的德6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量，，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.不存在实数，使得 D.若，则【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，解得，故A正确；对于B，因为，所以，所以，故B错误；对于C，假设，则，所以，该方程组无解，故C正确；对于D，因为，所以，解得，所以，，所以，故D错误.故选：AC.10.下列结论正确的有（）A.直线关于对称的直线为B.若一直线的方向向量为，则此直线倾斜角为60°C.若直线与直线垂直，则D.双曲线与椭圆有不同的焦点.【答案】ABC【解析】A选项：联立方程组解得交点坐标为，在直线取点，过点作的垂线，联立方程组解得交点坐标为，所以点关于的对称点为，∴对称直线为：，化简得：，∴直线关于对称的直线为，A选项正确；B选项：直线倾斜角为，，∴，B选项正确；C选项：，，∵两直线垂直，∴，∴，C选项正确；D选项：，，，且两曲线焦点均在x轴，D选项错误；故选：ABC.11.如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）A.在中点时，平面平面B.异面直线所成角的余弦值为C.在同一个球面上D.，则点轨迹长度为【答案】ACD【解析】对于选项A：取的中点，连接，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，易知，平面，在面内，所以，面，面，，所以面，面，所以，连接，是正方形，，因为面，面，所以，因为面，面，，所以面，因为面，所以，综上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正确；对于选项B：取的中点，连接，则，所以是异面直线所成的角，又，则，故B错误；对于选项C：记正方体的中心为点，则，所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；对于选项D：因为，且为的中点，所以，故，所以点轨迹是过点与平行的线段，且，所以，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，，则实数__________.【答案】【解析】因为，所以，即.又因为，，所以，即.13.设，若直线与直线之间的距离为，则的值为________．【答案】2或【解析】由题意可得，解得或.14.已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为____________．【答案】【解析】设椭圆的左焦点为，连接，，，，由直线交椭圆于两点﹐及，结合椭圆的对称性可得，所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，设，则，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，将代入①得，即，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，.（1）试用向量，，表示向量：（2）求OE的长.解：（1）依题意，，即.（2）因为，所以，即OE的长.16.已知直线.（1）求原点到直线l距离的最大值：（2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程.解：（1）直线可化为，令，解得，，即直线恒过定点；当时，原点到直线的距离最大，此时最大值；（2）设直线的方程为，，因为