2024-2025学年广西玉林市八校高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西玉林市八校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（）A.1 B. C. D.3【答案】D【解析】在梯形中，，则该梯形的高为，梯形的面积为，在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的，所以平面图形的面积.故选：D2.已知向量，，且，则（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，整理得．故选：B．3.复数的共轭复数为，且满足，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】设，所以即为，整理得：，所以，解得，所以，，.故选：A4.已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（）A. B.0 C.12 D.【答案】D【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，，因为，，，所以，所以当时，取得最大值.故选:D.5.已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，当点位于位置时，直线与直线相交，故A错误；对于D，当点位于位置时，直线与直线相交，故D错误；对于B，当点位于的中点时，如图，因为四边形为平行四边形，所以也为的中点，因为，所以四点共面，所以与共面，故B错误；对于C，直线平面，直线平面，点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，故C正确；故选：C.6.已知和是两个平面，是三条不同的直线，且，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，，所以，又，，所以成立，当时，若a与c相交，则b与c异面，不能推导出，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.7.对于平面内个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（）A.垂直 B.反向平行 C.同向平行 D.无法确定【答案】B【解析】根据题意可得，所以，所以与的位置关系为反向平行.故选：B.8.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，扇形的弧长，所以该圆锥的底面圆的半径，所以该圆锥的高．设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示：则依题意得，所以，所以该球的体积V的最大值是．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图所示的圆台，在轴截面中，，则（）A.该圆台的高为1B.该圆台轴截面面积为C.该圆台的体积为D.一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5【答案】BCD【解析】对于A，在梯形中，即代表圆台的高，利用勾股定理计算可得，所以A错误；对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确；对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为；所以该圆台的体积为，可得C正确；对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示：易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，；由弧长公式可知，解得；所以可得，设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短，易知，且，由勾股定理可知，可知D正确.故选：BCD10.已知复平面内的四个点构成平行四边形，顶点对应复数，，则点D对应的复数可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】分三种情况：①当时，，所以；②当时，，所以；③当时，，所以，所以点对应的复数为或或.故选：ABD.11.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（）A.若，，，则有一解B.若，则是钝角三角形C.若为锐角三角形，则D.若，则为等腰三角形【答案】BC【解析】对A：由，所以有两解，故A错误；对B：由余弦定理：，所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确；对C：因为三角形为锐角三角形，所以，即，故C正确；对D：因为，由正弦定理得：，则，所以，所以或，即或，所以为等腰或直角三角形，故D错误．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为________．【答案】12【解析】当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分；当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时，可以把空间分为6个部分；当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分；当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分，所以三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分．将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题，故，，所以．故答案为：1213.已知，则向量在向量上的投影向量为__________．【答案】【解析】因为，所以，解得，所以，向量在向量上的投影向量为故答案为：14.正方体的棱长为，点是棱的中点，过三点作正方体的截面，则该截面的面积为___________.【答案】【解析】取中点，延长交于点，如图，四边形的面积即为所求，是一个等腰梯形，由几何关系可得为的中位线，则，，，设梯形的高为则，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.如图，在长方体中，分别为，，的中点，．求证：（1）平面；（2）平面平面．解：（1）如图，取的中点，分别连接，，因为分别是的中点，所以且，在长方体中，是的中点，则且，所以且，所以四边形是平行四边形，故，又平面，所以平面；（2）因为分别是的中点，所以且，由，得且，又是的中点，则，所以且，所以四边形为平行四边形，故，又平面，所以平面，由(1)知平面，结合平面，平面，，所以平面平面.16.如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点．（1）若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积；（2）若，，，求四面体外接球的表面积．解：（1）若四面体各棱长均为，则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，所以，；（2）由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点，所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球，设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，则，解得，设长方体外接球的半径为，则，则，所以外接球的表面积为．17.在锐角中，已知，，且．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．解：（1）由于，所以，即，即，由于是锐角，所以，所以.（2）依题意，，由正弦定理得，，所以，由于，所以，所以，所以当时，取得最大值为.18.如图，在平面四边形中，为定点，是动点，，，和的面积分别为和，若．（1）求的取值范围．（2）用表示．（3）当取最大值时，求的值．解：（1）在中，，在，，（2）如图，过作交于点．，（3），当时，此时，，又是三角形的内角19.（1）对于平面向量，，求证：，并说明等号成立的条件；（2）我们知道求的最大值可化为求的最大值，也可以利用向量的知识，将构造为两个向量的数量积形式，即：令，，则转化为，求出最大值．利用以上向量的知识，完成下列问题：①对于任意的，求证：；②求的最值．解：（1）设，所以当且仅当时，即或，等号成立（2）①设，则∵，∴两边平方得：．②，所以，所以因为点在以圆点为圆心，1为半径的单位圆上的，即第一象限及，；当时，在上的投影最小，即的最小值为3；当共线同向时取得最大值，即的最大值为5，当且仅当时取得最大值．广西玉林市八校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（）A.1 B. C. D.3【答案】D【解析】在梯形中，，则该梯形的高为，梯形的面积为，在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的，所以平面图形的面积.故选：D2.已知向量，，且，则（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，整理得．故选：B．3.复数的共轭复数为，且满足，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】设，所以即为，整理得：，所以，解得，所以，，.故选：A4.已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（）A. B.0 C.12 D.【答案】D【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，，因为，，，所以，所以当时，取得最大值.故选:D.5.已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，当点位于位置时，直线与直线相交，故A错误；对于D，当点位于位置时，直线与直线相交，故D错误；对于B，当点位于的中点时，如图，因为四边形为平行四边形，所以也为的中点，因为，所以四点共面，所以与共面，故B错误；对于C，直线平面，直线平面，点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，故C正确；故选：C.6.已知和是两个平面，是三条不同的直线，且，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，，所以，又，，所以成立，当时，若a与c相交，则b与c异面，不能推导出，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.7.对于平面内个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（）A.垂直 B.反向平行 C.同向平行 D.无法确定【答案】B【解析】根据题意可得，所以，所以与的位置关系为反向平行.故选：B.8.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，扇形的弧长，所以该圆锥的底面圆的半径，所以该圆锥的高．设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示：则依题意得，所以，所以该球的体积V的最大值是．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图所示的圆台，在轴截面中，，则（）A.该圆台的高为1B.该圆台轴截面面积为C.该圆台的体积为D.一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5【答案】BCD【解析】对于A，在梯形中，即代表圆台的高，利用勾股定理计算可得，所以A错误；对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确；对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为；所以该圆台的体积为，可得C正确；对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示：易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，；由弧长公式可知，解得；所以可得，设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短，易知，且，由勾股定理可知，可知D正确.故选：BCD10.已知复平面内的四个点构成平行四边形，顶点对应复数，，则点D对应的复数可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】分三种情况：①当时，，所以；②当时，，所以；③当时，，所以，所以点对应的复数为或或.故选：ABD.11.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（）A.若，，，则有一解B.若，则是钝角三角形C.若为锐角三角形，则D.若，则为等腰三角形【答案】BC【解析】对A：由，所以有两解，故A错误；对B：由余弦定理：，所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确；对C：因为三角形为锐角三角形，所以，即，故C正确；对D：因为，由正弦定理得：，则，所以，所以或，即或，所以为等腰或直角三角形，故D错误．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为________．【答案】12【解析】当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分；当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时，可以把空间分为6个部分；当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分；当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分，所以三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分．将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题，故，，所以．故答案为：1213.已知，则向量在向量上的投影向量为__________．【答案】【解析】因为，所以，解得，所以，向量在向量上的投影向量为故答案为：14.正方体的棱长为，点是棱的中点，过三点作正方体的截面，则该截面的面积为___________.【答案】【解析】取中点，延长交于点，如图，四边形的面积即为所求，是一个等腰梯形，由几何关系可得为的中位线，则，，，设梯形的高为则，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.如图，在长方体中，分别为，，的中点，．求证：（1）平面；（2）平面平面．解：（1）如图，取的中点，分别连接，，因为分别是的中点，所以且，在长方体中，是的中点，则且，所以且，所以四边形是平行四边形，故，又平面，所以平面；（2）因为分别是的中点，所以且，由，得且，又是的中点，则，所以且，所以四边形为平行四边形，故，又平面，所以平面，由(1)知平面，结合平面，平面，，所以平面平面.16.如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点．（1）