2024-2025学年江苏省连云港市高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省连云港市2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题纸相应位置上.1.已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）A.或 B. C. D.【答案】D【解析】因为复数（）是纯虚数，所以，由，得或，由，得，所以.故选：D.2.若向量，，则与的夹角为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，设与夹角的余弦值为，，所以．故选：．3.若均为第二象限角，满足，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为均为第二象限角，满足，，所以，所以.故选：D.4.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量与向量共线，设，故，解得.故选：B5.某地为响应关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则间的直线距离约为（）A.6千米 B.7千米 C.8千米 D.5千米【答案】B【解析】由余弦定理，，解得.故选：B.6.的内角的对边分别为，，，且，，，则的面积为（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】由已知，，，则.故选:B.7.已知，是方程的两根，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，则，因，则，故.故选：C.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，而，故选：A.二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的每项2分，有选错的得0分）9.下列式子中成立的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】对于A选项，，A错；对于B选项，因为，所以，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，，D对．故选：BCD．10.已知中，角的对边分别为，则以下四个命题正确的有（）A.当，，时，满足条件的三角形共有1个B.若则这个三角形的最大角是C.若，则为锐角三角形D.若，则三角形为等腰三角形【答案】BD【解析】对于A，由正弦定理，，则，故不存在满足条件的三角形，即A错误；对于B，由正弦定理，，设，则，由余弦定理，，因，则，故这个三角形的最大角是，即B正确；对于C，因，由余弦定理，，因，故角为锐角，但不能说明为锐角三角形，故C错误；对于D，由和正弦定理，可得，即，因，故，所以，即，三角形为等腰三角形，故D正确.故选：BD11.下列说法中正确的是（）A.若，则，且方向相同B.若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为C.对任意向量，，，都有D.是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍【答案】ABD【解析】对于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正确；对于B，依题意，，则向量在向量上的投影向量为，故B正确；对于C，对任意向量，，，与结果均为实数，设为，，则，，而与关系不明确，故得不到，即C错误；对于D，如图，分别取，则，即得，故，因，则，故，即的面积是的面积的2倍，故D正确.故选：ABD.三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分，请把答案直接填写在答题纸）12.已知，则______.【答案】【解析】.故答案为：13.已知，，则________．【答案】【解析】因为，则，则，又，所以，则，所以.故答案为：14.如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于________________【答案】【解析】为的中点，且为的中点，所以，，，.因此，，故答案为：.四、解答题：共5小题，共77分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，，为虚数单位．（1）求（2）若，求的共轭复数；（3）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．解：（1）（2），，，．（3）在复平面上对应的点在第四象限，，解得，故实数的取值范围为．16.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若求的值；（3）若向量，若与共线，求解：（1）因为，所以，则，解得，故，.（2）因为，所以，则，.（3），，若与共线，则，解得，即，故.17.在中，、、分别为角所对应的边，已知，，.（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的长.解：（1）由余弦定理可得，，由正弦定理可得，，则.（2）由，可知为钝角，则，在中，由正弦定理，，则.18.（1）在中，角所对的边分别为、、，若，，且.求；（2）已知函数的最大值为3，求的值.（3）在（2）的前提下，若，，求的值.解：（1）在中，由余弦定理得，整理得，则，所以.（2）函数，则，所以.（3）由（2）知，由，得，解得，由，得，，，，所以.19.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且．（1）求小岛与小岛之间的距离；（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；（3）记为，为，求的值．解：（1），且为钝角，，在中，由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．小岛与小岛之间的距离为2nmile．（2）四点共圆，与互补，则．在中，由余弦定理得：，，得，解得（舍去）或．（平方海里），四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．（3）在中，由正弦定理得：，即，解．，为锐角，则，又，，．江苏省连云港市2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题纸相应位置上.1.已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）A.或 B. C. D.【答案】D【解析】因为复数（）是纯虚数，所以，由，得或，由，得，所以.故选：D.2.若向量，，则与的夹角为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，设与夹角的余弦值为，，所以．故选：．3.若均为第二象限角，满足，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为均为第二象限角，满足，，所以，所以.故选：D.4.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量与向量共线，设，故，解得.故选：B5.某地为响应关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则间的直线距离约为（）A.6千米 B.7千米 C.8千米 D.5千米【答案】B【解析】由余弦定理，，解得.故选：B.6.的内角的对边分别为，，，且，，，则的面积为（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】由已知，，，则.故选:B.7.已知，是方程的两根，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，则，因，则，故.故选：C.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，而，故选：A.二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的每项2分，有选错的得0分）9.下列式子中成立的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】对于A选项，，A错；对于B选项，因为，所以，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，，D对．故选：BCD．10.已知中，角的对边分别为，则以下四个命题正确的有（）A.当，，时，满足条件的三角形共有1个B.若则这个三角形的最大角是C.若，则为锐角三角形D.若，则三角形为等腰三角形【答案】BD【解析】对于A，由正弦定理，，则，故不存在满足条件的三角形，即A错误；对于B，由正弦定理，，设，则，由余弦定理，，因，则，故这个三角形的最大角是，即B正确；对于C，因，由余弦定理，，因，故角为锐角，但不能说明为锐角三角形，故C错误；对于D，由和正弦定理，可得，即，因，故，所以，即，三角形为等腰三角形，故D正确.故选：BD11.下列说法中正确的是（）A.若，则，且方向相同B.若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为C.对任意向量，，，都有D.是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍【答案】ABD【解析】对于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正确；对于B，依题意，，则向量在向量上的投影向量为，故B正确；对于C，对任意向量，，，与结果均为实数，设为，，则，，而与关系不明确，故得不到，即C错误；对于D，如图，分别取，则，即得，故，因，则，故，即的面积是的面积的2倍，故D正确.故选：ABD.三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分，请把答案直接填写在答题纸）12.已知，则______.【答案】【解析】.故答案为：13.已知，，则________．【答案】【解析】因为，则，则，又，所以，则，所以.故答案为：14.如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于________________【答案】【解析】为的中点，且为的中点，所以，，，.因此，，故答案为：.四、解答题：共5小题，共77分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，，为虚数单位．（1）求（2）若，求的共轭复数；（3）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．解：（1）（2），，，．（3）在复平面上对应的点在第四象限，，解得，故实数的取值范围为．16.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若求的值；（3）若向量，若与共线，求解：（1）因为，所以，则，解得，故，.（2）因为，所以，则，.（3），，若与共线，则，解得，即，故.17.在中，、、分别为角所对应的边，已知，，.（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的长.解：（1）由余弦定理可得，，由正弦定理可得，，则.（2）由，可知为钝角，则，在中，由正弦定理，，则.18.（1）在中，角所对的边分别为、、，若，，且.求；（2）已知函数的最大值为3，求的值.（3）在（2）的前提下，若，，求的值.解：（1）在中，由余弦定理得，整理得，则，所以.（2）函数，则，所以.（3）由（2）知，由，得，解得，由，得，，，，所以.19.如图，我国南海某处的一个圆形海