2018年全国高三理数联考试题详解

引言2018年全国高三理科数学联合考试紧扣《普通高中数学课程标准》，既覆盖函数、立体几何、解析几何、概率统计等核心板块，又在思维深度与方法迁移上设置梯度。本文从考点溯源、思路拆解、步骤推演三个维度，对典型试题分层解析，为师生复盘知识体系、优化解题策略提供参考。一、选择题详解（典型例题选析）例题1：函数单调性与导数应用（第8题）题目情境：已知函数\(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x\)，若其在定义域内单调递减，求实数\(a\)的取值范围。考点定位：函数单调性与导数的关系、二次函数恒成立问题、分类讨论思想。解题思路：函数单调递减等价于\(f'(x)\leq0\)在定义域\((0,+\infty)\)上恒成立。先对\(f(x)\)求导，再通过构造函数、分析极值（或最值）推导\(a\)的范围。详细解答：1.求导分析单调性条件：函数定义域为\((0,+\infty)\)，求导得：\[f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2ax+2a\]由“单调递减”知\(f'(x)\leq0\)对\(x>0\)恒成立，即\(\lnx\leq2a(x-1)\)。2.构造函数并分析极值：令\(g(x)=\lnx-2a(x-1)\)，则\(g(1)=0\)，求导得\(g'(x)=\frac{1}{x}-2a\)。当\(a\leq0\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)在\((0,+\infty)\)单调递增，故\(x>1\)时\(g(x)>g(1)=0\)，不满足“\(g(x)\leq0\)恒成立”，舍去。当\(a>0\)时，令\(g'(x)=0\)，得临界点\(x=\frac{1}{2a}\)：若\(\frac{1}{2a}\leq1\)（即\(a\geq\frac{1}{2}\)），\(g(x)\)在\((0,\frac{1}{2a})\)递增，\((\frac{1}{2a},+\infty)\)递减，最大值为\(g\left(\frac{1}{2a}\right)=2a-\ln(2a)-1\)。令\(\varphi(a)=2a-\ln(2a)-1\)，求导得\(\varphi'(a)=2-\frac{1}{a}\)，当\(a=\frac{1}{2}\)时\(\varphi(a)=0\)，且\(a>\frac{1}{2}\)时\(\varphi(a)>0\)（不满足），故\(a=\frac{1}{2}\)时\(g(x)\leq0\)恒成立。若\(\frac{1}{2a}>1\)（即\(0<a<\frac{1}{2}\)），\(g(x)\)在\((1,\frac{1}{2a})\)递增，故\(x\in(1,\frac{1}{2a})\)时\(g(x)>g(1)=0\)，不满足。3.结论：实数\(a\)的取值范围为\(\boldsymbol{\left[\frac{1}{2},+\infty\right)}\)。例题2：双曲线离心率（第10题）题目情境：已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的右焦点为\(F\)，过\(F\)且斜率为\(\sqrt{3}\)的直线与双曲线右支交于\(A\)，与\(y\)轴交于\(B\)，若\(\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}\)，求离心率。考点定位：双曲线几何性质、向量共线的坐标表示、直线方程。解题思路：利用向量关系转化为坐标关系，结合直线方程与双曲线的交点，建立\(a,b,c\)的等式，进而求离心率\(e=\frac{c}{a}\)。详细解答：1.确定点的坐标：右焦点\(F(c,0)\)，直线方程为\(y=\sqrt{3}(x-c)\)，令\(x=0\)得\(B(0,-\sqrt{3}c)\)。2.利用向量关系设\(A\)点坐标：由\(\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}\)，设\(A(x,y)\)，则\((c-x,-y)=4(-c,-\sqrt{3}c)\)，解得\(x=5c\)，\(y=4\sqrt{3}c\)，即\(A(5c,4\sqrt{3}c)\)。3.代入双曲线方程：\(A\)在双曲线上，故\(\frac{(5c)^2}{a^2}-\frac{(4\sqrt{3}c)^2}{b^2}=1\)。结合\(b^2=c^2-a^2\)、\(e=\frac{c}{a}\)（\(e>1\)），令\(c=ae\)，\(b^2=a^2(e^2-1)\)，代入得：\[25e^2-\frac{48e^2}{e^2-1}=1\]4.解方程求\(e\)：通分整理得\(25e^4-74e^2+1=0\)，令\(t=e^2\)（\(t>1\)），解得\(t=\frac{37+8\sqrt{21}}{25}\)（舍去负根），故\(e=\frac{4+\sqrt{21}}{5}\)（化简后）。二、填空题详解（典型例题选析）例题3：数列递推与求和（第14题）题目情境：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2\sqrt{a_n}+1\)，求\(a_n\)的通项公式。考点定位：数列递推公式的变形（配方法）、等差数列的判定。解题思路：观察递推式结构，通过配方法转化为等差数列形式，进而求解通项。详细解答：1.变形递推式：递推式可配方为：\[a_{n+1}=(\sqrt{a_n}+1)^2\]因为\(a_n\geq0\)（由\(a_1=1\)递推），两边开方得\(\sqrt{a_{n+1}}=\sqrt{a_n}+1\)。2.构造等差数列：令\(b_n=\sqrt{a_n}\)，则\(\{b_n\}\)是首项\(b_1=\sqrt{a_1}=1\)、公差为1的等差数列，故\(b_n=1+(n-1)\times1=n\)。3.求\(a_n\)的通项：由\(b_n=\sqrt{a_n}=n\)，得\(a_n=n^2\)。三、解答题详解（典型例题选析）例题4：立体几何——面面垂直与体积（第18题）题目情境：在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(E\)是\(PD\)的中点，\(PA=AD=2\)，\(AB=1\)。(1)证明：\(AE\perp\)平面\(PCD\)；(2)求三棱锥\(E-ACD\)的体积。(1)证明：\(AE\perp\)平面\(PCD\)解题思路：要证线面垂直，需证\(AE\)垂直于平面\(PCD\)内的两条相交直线（\(PD\)和\(CD\)）。详细证明：证\(AE\perpPD\)：由\(PA=AD=2\)，\(E\)是\(PD\)中点，\(\trianglePAD\)为等腰直角三角形，故\(AE\perpPD\)（等腰三角形三线合一）。证\(AE\perpCD\)：由\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，得\(PA\perpCD\)；又底面\(ABCD\)是矩形，故\(CD\perpAD\)。因\(PA\capAD=A\)，且\(PA,AD\subset\)平面\(PAD\)，故\(CD\perp\)平面\(PAD\)。又\(AE\subset\)平面\(PAD\)，故\(CD\perpAE\)。结论：因\(PD\capCD=D\)，且\(PD,CD\subset\)平面\(PCD\)，\(AE\perpPD\)且\(AE\perpCD\)，故\(AE\perp\)平面\(PCD\)。(2)求三棱锥\(E-ACD\)的体积解题思路：利用等体积法，结合\(E\)是\(PD\)中点的性质，转化为\(V_{E-ACD}=\frac{1}{2}V_{P-ACD}\)。详细解答：底面\(\triangleACD\)的面积：\(ABCD\)是矩形，\(AD=2\)，\(CD=AB=1\)，故\(S_{\triangleACD}=\frac{1}{2}\timesAD\timesCD=\frac{1}{2}\times2\times1=1\)。点\(P\)到底面的距离（高）：由\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，得\(PA=2\)为\(P\)到底面的距离。三棱锥\(P-ACD\)的体积：\[V_{P-ACD}=\frac{1}{3}\timesS_{\triangleACD}\timesPA=\frac{1}{3}\times1\times2=\frac{2}{3}\]三棱锥\(E-ACD\)的体积：因\(E\)是\(PD\)中点，故\(E\)到底面的距离为\(PA\)的一半（\(1\)），体积为\(V_{E-ACD}=\frac{1}{2}V_{P-ACD}=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)。四、试题总结与复习建议2018年联考试题在考查基础的同时，注重数学思维（分类讨论、数形结合）与核心能力（逻辑推理、数学运算）的测评。复习建议：