人教版高二数学（上）选择性必修第一册1.1.2空向量数量积的运算【教学设计】

第第页人教版高二数学（上）选择性必修第一册1.1.2空向量数量积的运算教学设计课题1.1.2空间向量数量积的运算课型新授课课时2学习目标1.结合立体几何与空间向量的特征,知道投影向量的概念.2.类比平面向量,能进行空间向量的数量积运算.3.类比平面向量并借助空间图形,知道空间向量的有关运算律,能运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.学习重点两个向量的数量积的计算方法及其应用.学习难点将立体几何问题转化为向量的计算问题.学情分析学生在高一上学期已经学过平面向量的数量积运算，空间向量的数量积运算，是继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅.核心知识两个向量的数量积的计算方法及其应用.教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）教师个人复备情景引入回忆平面向量的数量积相关内容研探新知1.空间向量的夹角如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则角AOB叫作向量a,b的,记作.

2.夹角的取值范围:a与b的夹角的取值范围是,其中当<a,b>=0时,a与b方向;当<a,b>=π时,a与b方向;当<a,b>=时,a与b.反之,若a∥b,则<a,b>=0或π;若a⊥b,则<a,b>=.

3.数量积的相关概念及性质已知两个非零向量a,b,则叫作a,b的数量积,记作a·b,即a·b=.

特别地,零向量与任意向量的数量积为0.4.空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b=.

(2)a2=a·a=|a||a|cos<a,a>=.

(3)cos<a,b>=.

5.投影向量的概念如下表格总结概念图形表示符号表示向量a在向量b上的投影向量c向量a在直线l上的投影向量向量a在平面β上的投影向量A注:向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.6.空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b=,λ∈R.

(2)a·b=(交换律).

(3)(a+b)·c=(分配律).

例题及练习例1如图所示,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:例2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求与的夹角;(2)求异面直线BC1与CA所成角的大小.练习在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E，F分别是D′D，DB的中点，G在棱CD上，CG＝eq\f(1,4)CD，H为C′G的中点.（1）求证：EF⊥B′C；（2）求EF与C′G所成角的余弦值；（3）求FH的长．课堂小结1．知识收获：空间向量的夹角的定义、表示方法、取值范围；两个空间向量的数量积运算和运算法则；利用空间向量的数量积证明共线和垂直以及求夹角和距离．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、转化变形方法．3．思维收获：类比思想、转化思想．板书设计空间向量的夹角空间向量的数量积空间向量的投影向量例题及练习课堂小结作业作业设计课本第8页1-4题教学反思1.学生在理解空间向量数量积概念时，可能对其几何意义（与向量长度、夹角的关系）理解不深入，教学中可通过具体图形、实例，如力做功模型（力与位移的数量积表示功），帮助学生理解.2.对于空间向量数量积运算律，学生可能受实数乘法运算律影响，错误类比结合律，教学中通过反例说明结合律不成立，加深学生印象.3.在利用空间向量数量积解