《第1章 有理数》单元测试-培优卷（解析版）

第1章有理数（B卷·培优卷）考试时间：120分钟，满分：120分一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．某校九年1班期末考试数学的平均成绩是82分，小明得了90分，记作+8分，若小亮的成绩记作﹣4分，表示小亮得了（）分．A．16 B．76 C．78 D．74【考点】正数和负数．【答案】C【分析】设与平均分相差1分记x分，则（90﹣82）x＝8，求得x＝1，可知每超过平均分1分记+1分，则每低于平均分1分记﹣1分，即可求出小亮得了78分，于是得到问题的答案．【解答】解：设与平均分相差（1分）记x分，根据题意得（90﹣82）x＝8，解得x＝1，∴每超过平均分（1分）记+（1分），则每低于平均分（1分）记﹣（1分），∴82﹣4＝78（分），∴小亮得了7（8分），故选：C．【点评】此题重点考查正数与负数、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识，正确地理解正数与负数的概念是解题的关键．2．对于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（）甲：有理数不是正有理数就是负有理数；乙：有理数不是整数就是分数；丙：一个分数不是正的就是负的．A．甲对乙错 B．甲错丙对 C．乙错丙对 D．乙对丙错【考点】有理数．【答案】B【分析】根据有理数的分类可得答案．【解答】解：甲：有理数不是正有理数就是负有理数，还有0，故甲错误；乙：有理数不是整数就是分数，故乙正确；丙：一个分数不是正的就是负的，故丙正确．故选：B．【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是关键．3．在﹣8，﹣15，，，0，0.2，6这些数中，有理数有m个，整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】有理数．【答案】D【分析】整数和分数统称有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数，根据以上内容求出m、n、k的值，再代入m﹣n+k求出答案即可．【解答】解：在﹣8，﹣15，，，0，0.2，6这些数中，有理数有：﹣8，﹣15，，，0，0.2，6，整数有：﹣8，﹣15，0，6，分数有：，，0.2，所以m＝7，n＝4，k＝3，即m﹣n+k＝7﹣4+3＝6．故选：D．【点评】本题考查有理数的有关概念，关键是掌握并理解有理数，整数，分数的概念．4．有下列说法，正确的个数是（）个．①0是最小的整数②一个有理数不是正数就是负数③若a是正数，则﹣a是负数④自然数一定是正数⑤一个整数不是正整数就是负整数⑥非负数就是指正数A．0 B．1 C．2 D．3【考点】有理数；正数和负数．【答案】B【分析】根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得．【解答】解：①0不是最小的整数，如负整数﹣1＜0，则原说法错误；②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误；③若a是正数，则﹣a是负数，则原说法正确；④自然数0不是正数，则原说法错误；⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误；⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误；综上，正确的个数是1个，故选：B．【点评】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．5．如图，点A，C分别表示数﹣1与5，点B在线段AC上，且AB＝2BC，则点B对应的数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】数轴．【答案】C【分析】根据数轴上两点之间的距离进行列式计算即可．【解答】解：设B点对应的数是x，由AB＝2BC，可知x﹣（﹣1）＝5﹣x，解得：x＝3，故选：C．【点评】本题主要考查了数轴上点的有关知识，题目难度不大，掌握数轴上两点之间的距离计算方法是解答该题的关键．6．有理数a的相反数可以表示成（）A． B．﹣a C． D．0【考点】相反数．【答案】B【分析】根据相反数的定义即可求解．只有符号不同的两个数互为相反数．【解答】解：有理数a的相反数可以表示成﹣a．故选：B．【点评】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．7．下列每一对数：+（﹣6）和﹣6，﹣2和|﹣2|，﹣（﹣7）和+（﹣7），﹣（+3）和﹣|﹣3|，﹣2和中，互为相反数的有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【考点】绝对值；相反数．【答案】A【分析】根据相反数的定义：绝对值相等，符号不同的两个数．据此解题即可．【解答】解：+（﹣6）＝﹣6，不互为相反数；|﹣2|＝2，2与﹣2互为相反数；﹣（﹣7）＝7，+（﹣7）＝﹣7，互为相反数；﹣（+3）＝﹣3，﹣|﹣3|＝﹣3，不互为相反数；﹣2与﹣不互为相反数；故互为相反数只有2对．故选：A．【点评】本题考查绝对值和相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．8．已知，|a|＝|b|，则b的值是（）A． B． C．0 D．【考点】绝对值．【答案】B【分析】根据绝对值的性质即可求解．【解答】解：∵，|a|＝|b|，∴．故选：B．【点评】本题主要考查有理数的性质，解题的关键是熟知绝对值的性质．9．若|a﹣1|+|b﹣2|＝0，那么2ab＝（）A．﹣4 B．+4 C．﹣8 D．+8【考点】非负数的性质：绝对值．【答案】B【分析】根据非负数的性质列出算式求出a、b的值，代入计算即可．【解答】解：由题意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得，a＝1，b＝2，2ab＝4．故选：B．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．10．﹣a、b两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（）A．a＞0，b＜0 B．a＜b C．|a|＝﹣a，|b|＝﹣b D．|a|＞|b|【考点】数轴；绝对值．【答案】C【分析】依据题意，根据﹣a，b两数在数轴的位置，确定a，b的符号，并利用得到的结论对四个选项进行逐一判断．【解答】解：由题意：﹣a＞0，b＜0，b的绝对值大于﹣a的绝对值．∵﹣a＞0，∴a＜0．∴A选项不正确．∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，b＜0，a＜0，∴a＞b．∴B选项不正确．∵﹣a＞0，b＜0，∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b．∴C选项正确．∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，∴|b|＞|a|．∴D选项不正确．故选：C．【点评】本题主要考查了数轴和绝对值．解题的关键是应用绝对值的几何意义判断数轴上的点对应的数的符号．二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．某种零件，标明要求是φ30±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是29.9mm，该零件不合格（填“合格”或“不合格”）．【考点】正数和负数．【答案】见试题解答内容【分析】根据零件的要求判断即可．【解答】解：∵零件，标明要求是φ30±0.02mm，即29.98mm≤xmm≤20.02mm，∴直径是29.9mm的零件不合格，故答案为：不合格【点评】此题考查了正数和负数，弄清零件要求的范围是解本题的关键．12．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是﹣7和3，C是线段AB的中点，则点C所表示的数是﹣2．【考点】数轴．【答案】﹣2．【分析】根据数轴上两点间的距离公式计算出线段AB，根据C是线段AB的中点，可知AC＝BC，即可得出点C所表示的数．【解答】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是﹣7和3，∴线段AB＝3﹣（﹣7）＝10，∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC＝5，∴点C所表示的数为﹣7+5＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键．13．比较大小：﹣＜﹣．（填“＞”，“＜”号）【考点】有理数大小比较．【答案】见试题解答内容【分析】先把﹣和﹣化成同分母的分数，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小进行比较，即可得出答案．【解答】解：∵﹣＝﹣，﹣＝﹣，又∵，∴﹣＜﹣；故答案为：＜．【点评】此题考查了有理数的大小比较，解题的关键掌握好两个负数比较大小，绝对值大的反而小，是一道基础题．14．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣4、1，若BC＝2，则AC等于7或3．【考点】数轴．【答案】见试题解答内容【分析】根据点C的位置，分两种情况进行解答，首先确定点C所表示的数，再求AC的长．【解答】解：当点C在点B的右侧时，点C表示的数是3，此时AC＝|3﹣（﹣4）|＝7，当点C在点B的左侧时，点C所表示的数为﹣1，此时AC＝|﹣1﹣（﹣4）|＝3，故答案为：7或3．【点评】考查数轴、绝对值的意义，分类讨论解答是常用的方法．15．数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的数如图所示，若BC＝3，则AC的中点所表示的数是1.5或4.5．【考点】数轴．【答案】1.5或4.5．【分析】先求出点C在数轴上表示的数，再根据中点计算方法进行计算即可．【解答】解：∵点B表示的数为5，BC＝3，∴点C表示的数为2或8，∵点A所表示的数为1，∴AC的中点所表示的数为＝4.5或＝1.5，故答案为：1.5或4.5．【点评】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点中点所表示的数的计算方法是正确解答的前提．三．解答题（共8小题，共75分）16．（6分）把下列各数填入相应的集合中：﹣23，0.5，﹣，，﹣5.2．【考点】有理数．【答案】见解析．【分析】根据有理数的分类解答即可．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键．17．（9分）如图，数轴上的点A、B、C、D、E分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？【考点】相反数；数轴．【答案】见试题解答内容【分析】根据数轴上各点到原点的距离估计出各数的值，再根据相反数的定义解答即可．【解答】解：由数轴上各点到原点的距离的大小可知各点所表示的数大致为：A、﹣3.8；B、﹣2.2；C、﹣0.8；D、0.8；E、2.2．故互为相反数的数有B和E；C和D两组．【点评】本题比较简单，考查的是同学们对数轴上各数的估算能力及相反数的定义．18．（9分）化简：（1）﹣（+3）（2）+（﹣1.5）（3）+（+5）（4）﹣（﹣12）（5）﹣[﹣（+3.2）]（6）﹣[﹣（﹣3.2）]．【考点】相反数．【答案】见试题解答内容【分析】根据相反数的定义进行化简即可．【解答】解：（1）﹣（+3）＝﹣3；（2）+（﹣1.5）＝﹣1.5；（3）+（+5）＝5；（4）﹣（﹣12）＝12；（5）﹣[﹣（+3.2）]＝3.2；（6）﹣[﹣（﹣3.2）]＝﹣3.2．【点评】本题考查了利用相反数的定义化简，是基础题，熟记概念是解题的关键．19．（9分）请根据你对数轴的理解，解答下列问题：（1）请在图①的数轴上表示下列各数：﹣3.5，，﹣2，2.5，并按从大到小的顺序用“＞”把它们连接起来；（2）如图②所示，数a和b在数轴上的位置如图所示，将﹣a，﹣b表示在数轴上，并比较它们的大小；（3）如图③所示，点A，B，C为数轴上的三个点，当点A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5；若以点B为原点，则点A表示的数是﹣2；点C表示的数是3；若点A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是﹣0.5．【考点】有理数大小比较；正数和负数；数轴；相反数．【答案】（1）数轴表示见解析，；（2）数轴表示见解析，a＜﹣b＜b＜﹣a；（3）﹣2；3；﹣0.5．【分析】（1）先在数轴上表示出各数，再根据轴上左边的数小于右边的数用大于号将各数连接起来即可；（2）根据题意可得a＜0，|a|＞|b|，则a＜﹣b＜b＜﹣a﹣b||，据此在数轴上表示出对应的数即可；（3）先算出AB＝2，BC＝3，AC＝5，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可．【解答】解：（1）数轴表示如下所示：∴（2）数轴表示如下所示：∴a＜﹣b＜b＜﹣a；（3）∵原本点A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5，∴AB＝2，BC＝3，AC＝5，∴若以点B为原点，则点A表示的数是﹣2；点C表示的数是3；若点A，C表示的两个数互为相反数，∴AC的中点表示的数为0，∵∴点B表示的数是2﹣2.5＝﹣0.5，故答案为：﹣2；3；﹣0.5．【点评】【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数轴上两点的距离计算，熟知数轴上左边的数小于右边的数以及数轴上两点距离计算公式是解题的关键．20．（8分）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）：星期一二三四五六日分拣情况（单位：万件）+60﹣4+5﹣1+7﹣6（1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六；最少的一天是星期日；最多的一天比最少的一天多分拣13万件包裹；（2）该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？【考点】正数和负数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）依据超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负，可知周六最多，周日最少，用最多减去最少可得差值；（2）求出本周内的分拣总量，然后再求平均值即可．【解答】解：（1）由表可知：本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日，最多的一天比最少的一天多分拣：7﹣（﹣6）＝13（万件），故答案为：六，日，13；（2）＝＝＝21（万件）．答：该仓库本周实际平均每天分拣21万件包裹．【点评】本题考查了正负数的实际应用、有理数的混合运算；理解正负数的实际意义并正确计算是解题的关键．21．（9分）已知在纸面上有一数轴（如图所示）．（1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数﹣4的点重合；（2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：①表示数9的点与表示数﹣5的点重合；②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．【考点】数轴．【答案】（1）﹣4；（2）①﹣5；②A点表示的数是﹣3，B点表示的数是7；③x的值为﹣4或8．【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数为原点，由此可得结论；（2）先根据中点坐标公式得折叠点对应的数为2；①设9表示的点所对应点表示的数为y，根据中点坐标公式列方程可得y的值，可得结论；②根据折叠的性质可得结论；③根据PA+PB＝12列出方程，求解方程可得出x的值．【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为＝0，则表示4的点与表示﹣4的点重合；故答案为：﹣4；（2）折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，折叠点对应的数为＝2，①设表示9的点与表示y的点重合，于是有＝2，解得y＝﹣5，即表示9的点与表示﹣5的点重合；故答案为：﹣5；②点A表示的数为2﹣＝﹣3，点B表示的数为2+＝7，答：A点表示的数是﹣3，B点表示的数是7；③∵PA+PB＝12，∴|x+3|+|x﹣7|＝12，当﹣3≤x≤7时，x+3﹣x+7＝10≠12，不符合题意；当x＜﹣3时，﹣x﹣3﹣x+7＝12，解得x＝﹣4；当x＞4时，x+3+x﹣7＝12，解得x＝8，综上所述，x的值为﹣4或8．【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，知道数轴上两个数的中点所表示数的计算方法是解决问题的关键．22．（12分）如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．（1）直尺AB的长为20个单位长度；（2）若直尺AB在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的数为﹣5或﹣50；（3）当A点对应的数为20时，作为起始位置，直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为4；②当t＝15时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值．【考点】数轴．【答案】（1）20；（2）﹣5或﹣50；（3）m的值是2或或3或或4．【分析】（1）根据题意可得OA＝AB＝BC，即得AB＝20；（2）根据AB＝20，OC＝60，BC＝3OB，即得OB＝60×＝15或OB＝60×＝30，进而求得A点表示的数；（3）①B、C重合时t＝＝10，即得10m＝60﹣20，故m＝4；②t＝15时，运动后B表示的数是40+15×2＝70，P表示的数是20+15m，C表示的数是60，分五种情况：（Ⅰ）当B是P、C中点时，（Ⅱ）当B与P重合时，（Ⅲ）当P是B、C中点时，（Ⅳ）当P与C重合时，（Ⅴ）当C是P、B中点时，分别列出方程，即可解得答案．【解答】解：（1）∵当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，∴AB＝BC，∵当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．∴OA＝AB，∴OA＝AB＝BC，∵OC＝60，∴AB＝60×＝20，故答案为：20；（2）∵OC＝60，∴OB+BC＝60或BC﹣OB＝60，∵BC＝3OB，∴OB＝60＝15或OB＝30，∴A点对应的数是15﹣20＝﹣5或﹣30﹣20＝﹣50，即A点对应的数是﹣5或﹣50；（3）①当A点对应的数为20时，∴B运动前表示的数是20+20＝40，∵直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，∴B、C重合时t＝（60﹣40）÷2＝10（秒），∵点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，∴10m＝60﹣20，∴m＝4，故答案为：4；②t＝15时，运动后B表示的数是40+15×2＝70，P表示的数是20+15m，C表示的数是60，（Ⅰ）当B是P、C中点时，依题意有20+15m+60＝70×2，解得m＝4；（Ⅱ）当B与P重合时，依题意有20+15m＝70，解得m＝；（Ⅲ）当P是B、C中点时，依题意有70+60＝2（20+15m），解得m＝3；（Ⅳ）当P与C重合时，20+15m＝60；解得m＝，（Ⅴ）当C是P、B中点时，依题意有20+15m+70＝60×2，解得m＝2．综上所述，m的值是2或或3或或4．【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是掌握线段和差及点运动后表示的数与运动前表示的数的关系．23．（13分）根据所学数轴知识，解答下面的问题：（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示．①A点表示的数是﹣2；AB之间的距离是4；②将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是﹣2；（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1c